江蘇省常州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷

常州市教育學(xué)會學(xué)業(yè)水平監(jiān)測高二數(shù)學(xué)2024年1月注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A.63 B.10 C.21 D.0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)公式及組合數(shù)公式計(jì)算可得.【解析】由題意得，故C正確.故選：C.2.用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則（）A.11 B.13 C.63 D.78【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線性回歸方程為一定過點(diǎn)，先求出，代入回歸方程即可得出，進(jìn)而可得的值.【解析】依題意，因?yàn)?，所以，因?yàn)榫€性回歸方程為一定過點(diǎn)，所以，所以.故選：D.3.方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)在軸上，可得的不等式組，解不等式組即可得的取值范圍．【解析】由題意知焦點(diǎn)在軸上，則，解得，故D正確.故選：D.4.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，，則（）A.13 B.10 C.1 D.13或1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解．【解析】由題意得焦距為，由雙曲線定義可得，所以或，又因?yàn)樵陔p曲線中，所以，故A正確.故選：A.5.定義：“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如116，431，則所有幸運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.21 B.35 C.36 D.45【答案】C【解析】【分析】根據(jù)定義分類討論首位數(shù)字,再應(yīng)用計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【解析】“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，故首位最大為8，且首位不為0，則有：若首位為8，則剩余兩位均為0，共有1個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為7，則剩余兩位為，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為6，則剩余兩位為，或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為5，則剩余兩位為，或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為4，則剩余兩位為，或，或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為3，則剩余三位為，或，或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為2，則剩余三位為，或，或，或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為1，則剩余三位為，或，或，或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；綜上所述：共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”.故選：C.6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由已知可得出，可得出，化簡得出，利用基本不等式可求得的最小值.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.7.已知圓和圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】取線段的中點(diǎn)，連接，將的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為的范圍問題，通過將圓的方程做差得到公共弦的方程，求出，結(jié)合圓的性質(zhì)可得的范圍.【解析】圓，即，其圓心，半徑，圓，即，其圓心，半徑，取線段的中點(diǎn)，連接，則，將圓與圓的方程做差可得公共弦的方程為，則，則，所以.故選：B.8.經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)作該雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，且交另一條漸近線于點(diǎn)，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，設(shè)，則，利用二倍角的正切公式求出的值，計(jì)算出、，由可求得的值.【解析】如下圖所示：設(shè)，則，則，雙曲線的漸近線方程為，則到直線的距離為，因?yàn)?，則，故，由勾股定理可得，因?yàn)?，整理可得，又因?yàn)?，解?故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．9.點(diǎn)、，過、的直線為，下列說法正確的有（）A.若，則直線的方程為B.若，則直線的傾斜角為C.任意實(shí)數(shù)，都有D.存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，能使直線在、軸上的截距互為相反數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】利用點(diǎn)斜式可判斷A選項(xiàng)；利用斜率公式以及傾斜角與斜率的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可判斷C選項(xiàng)；利用截距式方程可判斷D選項(xiàng).【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)，則，此時(shí)，直線的方程為，即，A對；對于B選項(xiàng)，若，則，又因?yàn)辄c(diǎn)，，設(shè)直線的傾斜角為，則，且，則，即直線的傾斜角為，B對；對于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，若直線過原點(diǎn)，則直線的斜率為，此時(shí)，直線的方程為，即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，解得，若直線不經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，此時(shí)，直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，解得.綜上所述，存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，能使直線在、軸上的截距互為相反數(shù)，D對.故選：ABD.10.甲、乙、丙等人排成一列，下列說法正確的有（）A.若甲和乙相鄰，共有種排法 B.若甲不排第一個(gè)共有種排法C.若甲與丙不相鄰，共有種排法 D.若甲在乙的前面，共有種排法【答案】ACD【解析】【分析】利用捆綁法可判斷A選項(xiàng)；利用特殊元素優(yōu)先可判斷B選項(xiàng)；利用插空法可判斷C選項(xiàng)；利用組合法可判斷D選項(xiàng).【解析】甲、乙、丙等人排成一列，對于A選項(xiàng)，若甲和乙相鄰，將甲和乙捆綁，形成一個(gè)大元素，與其余四個(gè)元素排序，共有種排法，A對；對于B選項(xiàng)，若甲不排第一個(gè)，則甲有種排法，其余個(gè)人全排，共有種，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，若甲與丙不相鄰，將除甲和丙以外的人全排，然后將甲與丙插入人所形成的個(gè)空中的個(gè)空，所以，共有種排法，C對；對于D選項(xiàng)，若甲在乙的前面，只需在個(gè)位置中先選兩個(gè)位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后將其余個(gè)人全排，共有種排法，D對.故選：ACD.11.已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.的最小值為C.存在點(diǎn)，使 D.存在，使【答案】AD【解析】【分析】利用圓的弦長公式判斷A、B；假設(shè)存在點(diǎn)，求出直線方程，判斷與圓的位置關(guān)系，判斷C，求出點(diǎn)的軌跡方程，可判斷D.【解析】當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離，又，解得，A正確；由上可知圓，圓心到直線的距離，則，B錯(cuò)誤；若，則直線斜率為，從而直線：，此時(shí)圓心到直線的距離，則直線與圓相離，即不存在點(diǎn)，使，C錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，則，即，化簡為，為點(diǎn)的軌跡方程，若，則，即，得，故存在存在，使，D正確.故選：AD.12.在等比數(shù)列中，，為數(shù)列的前項(xiàng)積，下列說法正確的有（）A.B.C.若，則的最大項(xiàng)為D.若，則的最小項(xiàng)為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件可得，可得出選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)?，從而判斷出選項(xiàng)B的正誤；選項(xiàng)C，利用，結(jié)合選項(xiàng)C的條件，可得，進(jìn)而有，，而，，再比較即可判斷出選項(xiàng)C的正確；選項(xiàng)D，根據(jù)條件得出，而，，再比較即可判斷出選項(xiàng)D的正誤.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，又，所以，解得，故選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，又，所以，得到，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，又，所以，又，所以，則有，，又，所以數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，所以，，又，，故選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，所以，又，，所以，又?jǐn)?shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，且，，又，，，又，而，若，則，此時(shí)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)C和D的判斷，對于選項(xiàng)C，利用條件得到，再比較即可，對于選項(xiàng)D，利用條件得到，再比較即可.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)和等知識求得正確答案.【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，所以各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為.故答案：14.已知等差數(shù)列的公差不為，其前項(xiàng)和為，且、、成等比數(shù)列，則__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，求出、，根據(jù)題意可得出，可得出、的等量關(guān)系，進(jìn)而可求得的值.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，因?yàn)?、、成等比?shù)列，則，則，所以，，可得，又因?yàn)?，則，則，則，所以，.故答案為：.15.在平面直角坐標(biāo)系中，，為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則的面積為__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，求出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出，的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，再由點(diǎn)到直線的距離公式，求出的高，即可求得的面積．【解析】由拋物線的對稱性，不妨設(shè)直線的斜率為正，如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作垂直于且交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于且交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于且交于，則，所以直線的傾斜角為，又，故直線的方程為，聯(lián)立，消整理得，即，解得或，則，，所以，又原點(diǎn)到直線的距離為，所以，當(dāng)直線的斜率為負(fù)，即直線的傾斜角為時(shí)，同理可求．故答案為：．16.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)，若橢圓上存在四個(gè)不同的點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意在軸右側(cè)要存在兩個(gè)點(diǎn)到的距離相等，不妨設(shè)軸上方橢圓上的點(diǎn)，由距離公式求出，然后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，即只需對稱軸位于，從而可求解.【解析】由題意知，在橢圓上存在四個(gè)不同的點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，由對稱性知，在直線右側(cè)要存在兩個(gè)點(diǎn)到的距離相等，不妨設(shè)軸上方橢圓上的點(diǎn)為，即，得，所以，，要滿足題意，由二次函數(shù)的對稱性可知需在內(nèi)對于總能取到兩個(gè)不同的的值，即等價(jià)于二次函數(shù)對稱軸在的范圍內(nèi)即可，所以，即，即，即，化簡得，即，即，解得，又因?yàn)?，所?故答案為：.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：本題主要是設(shè)點(diǎn)并結(jié)合距離公式求出的表達(dá)式，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)構(gòu)建出關(guān)于系數(shù)的不等式，化簡為，從而可求解.四、解答題、本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.杭州第19屆亞運(yùn)會，是繼1990年北京亞運(yùn)會、2010年廣州亞運(yùn)會之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事．中國體育代表團(tuán)獲得201金111銀71銅，共383枚獎牌，取得亞運(yùn)會參賽歷史最好成績．亞運(yùn)會結(jié)束后，某調(diào)查小組為了解杭州市不同年齡段的市民每日運(yùn)動的情況，在市民中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表所示，其中每日平均運(yùn)動低于1萬步的人數(shù)占樣本總數(shù)的，40歲以上（含40歲）的人數(shù)占樣本總數(shù)的．每日平均運(yùn)動1萬步或以上每日平均運(yùn)動低于1萬步總計(jì)40歲以上（含40歲）8040歲以下總計(jì)200（1）將題中表格補(bǔ)充完整（填寫在答題卡上）；（2）判斷是否有的把握認(rèn)為該市市民每日平均運(yùn)動的步數(shù)與年齡有關(guān)．附：，其中．0.0250.0100.00500015.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）有【解析】【分析】（1）根據(jù)題意完成列聯(lián)表即可；（2）根據(jù)列聯(lián)表求出，即可進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn).【小問1解析】由已知，40歲以上（含40歲）的人數(shù)為，40歲以下的人數(shù)為100．每日平均運(yùn)動低于1萬步的人數(shù)為．由此得如下列聯(lián)表：

每日平均運(yùn)動1萬步或以上每日平均運(yùn)動低于1萬步總計(jì)40歲以上（含40歲）802010040歲以下4060100總計(jì)12080200【小問2解析】，所以有的把握認(rèn)為該市市民每日平均運(yùn)動的步數(shù)與年齡有關(guān)．18.設(shè)是正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題中的遞推公式可得，從而可求解.（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，求得，再驗(yàn)證，從而可求解.【小問1解析】因?yàn)?，，所以，，所以，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列．【小問2解析】，且，所以．當(dāng)時(shí)，，．時(shí)，不滿足上式，所以．19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2）斜率為1的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得且結(jié)合橢圓的定義即可求得，從而可求解.（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)可得求出，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓內(nèi)及根與系數(shù)關(guān)系，從而可求解.【小問1解析】由已知得橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，所以，所以，所以．【小問2解析】設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立消去得：，所以，由，解得．因?yàn)椋?，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．【小結(jié)】方法小結(jié)：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.20.已知．（1）求的最大值；（2）求被13除的余數(shù)．【答案】（1）1792（2）9【解析】【分析】（1）由題意可得，再利用二項(xiàng)式定理展開式得，再由，從而可求解.（2）由再結(jié)合題意進(jìn)行展開從而可求解.【小問1解析】因?yàn)?，所以，．所以，，．令，則，所以的最大值為1792．【小問2解析】因?yàn)椋员怀挠鄶?shù)，即為被除的余數(shù)為．21.已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，且．（1）證明：是等比數(shù)列，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式：（2）將數(shù)列和的公共項(xiàng)從小到大排成的數(shù)列記為，求的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析，，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列公式確定，計(jì)算得到，得到證明.（2）確定，再根據(jù)分組求和法結(jié)合等比數(shù)列求和公式計(jì)算得到答案.【小問1解析】由題可知，，所以，，所以．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以（常?shù)），所以是等比數(shù)列，所以，即．【小問2解析】為從開始的奇數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，，故．．22.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線（斜率為正數(shù)）與由左至右交于、兩點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．（1）證明：；（2