廣東省肇慶市2023-2024學年高二上學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題

高二年級期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡的指定位置上.2．回答選擇題時，寫出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點關(guān)于平面對稱時，橫坐標,縱坐標不變，豎坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)即可得到答案.【解析】根據(jù)點關(guān)于平面對稱時，橫坐標,縱坐標不變，豎坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)可知，點關(guān)于平面的對稱點為，故選：C.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得，進一步計算即可.【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，所以，則，故選：D.3.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三邊邊長分別稱為“勾”“股”“弦”．如圖一直角三角形ABC的“勾”“股”分別為6，8，以AB所在的直線為軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，則以A，B為焦點，且過點C的雙曲線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實半軸長、半焦距即可求解.【解析】依題意，雙曲線焦點在x軸上，焦距，即，實軸長，即，于是虛半軸長，所以所求雙曲線方程為.故選：A4.如圖，平行六面體中，E為BC的中點，，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量線性運算求解即得.【解析】在平行六面體中，E為BC的中點，所以.故選：B5.直線l：與y軸的交點為A，把直線l繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線l：的傾斜角為，可得，從而利用兩角和的正切公式求出直線的斜率，由直線的點斜式方程，即可得答案.【解析】設(shè)直線l：的傾斜角為，則，由題意可得，直線的傾斜角為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故選：C6.數(shù)列的前n項和為，滿足，則數(shù)列的前n項積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出，進而求出數(shù)列通項，借助單調(diào)性求解即得.【解析】依題意，，，則，當時，，兩式相減得，即，因此數(shù)列是以512為首項，為公比的等比數(shù)列，于是，顯然數(shù)列單調(diào)遞減，當時，，當，，所以當或時，數(shù)列的前n項積最大，最大值為.故選：B7.已知圓：（），圓：，若圓上存在點P關(guān)于直線的對稱點Q在圓上，則r的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得圓關(guān)于直線的對稱圓，則圓與圓有交點，利用圓心距和半徑的關(guān)系列式求解即可.【解析】圓：,方程化為，，則圓心坐標為，半徑為5,設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則,解得，則，所以圓關(guān)于直線的對稱圓方程為，，由題中條件可知，圓與圓有交點，,,則，即，解得，故選：D.8.拋物線有這樣一個重要性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上一點（不同于拋物線的頂點）反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸．若拋物線（）的焦點為F，從點F發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上點M反射后，其反射光線過點，且，則△FMN的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形及拋物線的定義求出值，再利用三角形面積公式計算即得.【解析】由拋物線的對稱軸為軸，得軸，設(shè)拋物線的準線與軸交于點，反向延長交拋物線的準線于點，則，由拋物線的定義得，由，得，因此為等邊三角形，在直角中，，，于是，從而，所以的面積為.故選：A【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：涉及拋物線的幾何特性的問題，根據(jù)條件畫出圖形，再結(jié)合拋物線定義進行求解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在同一平面直角坐標系中，直線與圓的位置可能為（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】求出直線所過的定點并判斷與圓的位置關(guān)系即可得解.【解析】直線過定點，顯然點在圓內(nèi)，因此直線與圓必相交，C錯誤；而直線表示平面內(nèi)過點的除直線外的任意直線，因此選項ABD都可能.故選：ABD10.對于方程，下列說法正確的是（）A.當時，該方程表示圓B.當時，該方程表示焦點在x軸上的橢圓，且長軸長為C.當時，該方程表示焦點在x軸上的雙曲線，且漸近線方程為D.當時，該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，且焦距為【答案】BC【解析】【分析】舉例當時，方程無意義，判斷A；根據(jù)條件，將方程化為標準形式，根據(jù)橢圓標準方程以及長軸長可判斷B；根據(jù)條件，將方程化為標準形式，結(jié)合雙曲線的標準方程以及幾何性質(zhì)，可判斷C，D.【解析】對于A，當時，方程不能表示圓，A錯誤；對于B，當時，，方程為，表示焦點在x軸上的橢圓，且長軸長為，B正確；對于C，當時，方程為，方程表示焦點在x軸上的雙曲線，且，故漸近線方程為，C正確；對于D，當時，方程為，方程表示焦點在y軸上雙曲線，且，故焦距為，D錯誤，故選：BC11.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，分別是，的中點，則（）A.∥平面B.三棱錐與三棱錐的體積之比為C.∥D.A，E，G，F(xiàn)四點共面【答案】ABD【解析】【分析】A項，通過證明∥即可得出結(jié)論；B項，求出的面積關(guān)系和點到底面的高之間的關(guān)系，即可求出體積之比；C項，通過證明兩向量不平行，即可得出結(jié)論；D項，通過求解三向量之間的關(guān)系。即可得出結(jié)論.【解析】由題意，A項，在中，，分別是，的中點,∴∥,∵面，面，∴∥平面，A正確；B項，在三棱錐中，設(shè)點到的距離為，，在三棱錐中，設(shè)點到的距離為，∵，，分別是，的中點,∴,,，∴,故B正確，對C項，,∴與不平行，與不平行，C錯誤；D項，由幾何知識得，，,∴即，∴三向量共面，即A，E，G，F(xiàn)四點共面，故D正確故選：ABD.【小結(jié)】關(guān)鍵點小結(jié)：本題考查線面平行，等體積法，線線平行的判定，向量法證明四點共面，考查學生分析和處理問題的能力，具有很強的綜合性.12.已知正項數(shù)列滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.若，則B.若，則的值有3種情況C.若數(shù)列滿足，則D.若為奇數(shù)，則（）【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出前幾項探討周期性計算判斷A；按的奇偶性求出的值判斷B；由的奇偶性，結(jié)合周期求出判斷C；借助反證法的思想推理判斷D.【解析】對于A，，則該數(shù)列為，則，，而，因此，A錯誤；對于B，，若為偶數(shù)，則，于是或；若為奇數(shù)，則，于是，因此的值會出現(xiàn)3種情況，B正確；對于C，由數(shù)列滿足，得數(shù)列是周期為2的數(shù)列，有當為偶數(shù)時，，則，解得，或，無正數(shù)解；當為奇數(shù)時，，則，解得，因此或都滿足，C錯誤；對于D，若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，與為奇數(shù)矛盾，因此為偶數(shù)，即，則，D正確.故選：BD【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：由數(shù)列遞推公式探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)的問題，關(guān)鍵是正確理解給出的關(guān)系式，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.寫出一個過點，的圓的標準方程_____________．【答案】（形式不唯一，只要符合：，其中即可）【解析】【分析】確定圓心滿足的條件和半徑，可直接寫出滿足條件的圓的方程.【解析】由題意：設(shè)圓心為：，半徑為：，則；.取可得滿足條件的一個圓的標準方程：故答案為：（答案不唯一）14.等差數(shù)列的公差為，前n項和為，且是與的等比中項，則_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比中項性質(zhì)，列式求得等差數(shù)列的首項，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，即可得答案.【解析】由題意知等差數(shù)列的公差為，由于是與的等比中項，故，即，解得，故，故答案為：15.2023年11月5至10日，中國國際進口博覽會在上海舉辦，被譽為“黃皮火龍果”的厄瓜多爾麒麟果（圖1）首次來到進博展臺，其軸截面輪廓可近似看成橢圓（圖2），A，C，B，D為橢圓的四個頂點，且，則該橢圓的離心率為_____________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)表示出，利用余弦定理即可求得的關(guān)系，即可求得答案.【解析】設(shè)橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，則，，則，故橢圓離心率為，故答案為：16.在正方體中，，點平面，點F是線段的中點，若，則當?shù)拿娣e取得最小值時，_____________．【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點坐標，設(shè)，根據(jù)，結(jié)合數(shù)量積運算，求得，進而表示出的面積，結(jié)合面積有最小值即可求得，即可求得答案.【解析】以點D為坐標原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，設(shè)，則，因為，故，即，由于平面，平面，故，所以的面積為，而，故，當時，取最小值，即S最小，此時，則，故，即，故答案為：【小結(jié)】方法小結(jié)：由于是在正方體中求解線段的長，因此可以建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算結(jié)合面積最小，求出參數(shù)，即E點的坐標，從而解決問題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知橢圓C：（）經(jīng)過點，．（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的左焦點且與PQ平行的直線交橢圓C于M，N兩點，求的長．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用橢圓經(jīng)過的點，列出方程組求出即得.（2）求出直線的方程，利用弦長公式計算即得.【小問1解析】由橢圓C：經(jīng)過點，，得，而，解得，所以橢圓的方程為.【小問2解析】由（1）知，橢圓的左焦點為，而直線的斜率為，因此直線的方程為，由消去y得，顯然，設(shè)，則，，所以.18.在三棱臺中，底面，底面是邊長為2的等邊三角形，且，D為的中點．（1）證明：平面平面.（2）平面與平面的夾角能否為？若能，求出的值；若不能，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）說明，再推出，即可證明平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，設(shè)，求出相關(guān)點坐標，求出平面與平面的法向量，假設(shè)平面與平面的夾角能為，根據(jù)空間角的向量求法可得方程，根據(jù)該方程解的情況，即可得出結(jié)論.【小問1解析】因為底面是邊長為2的等邊三角形，D為的中點，故；又底面，底面，故，又平面，故平面，又平面，故平面平面；【小問2解析】由已知可知，，且D為的中點，則，即四邊形為平行四邊形，故，由底面，得底面，因為平面，所以，以D為坐標原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，結(jié)合（1）可知平面的法向量可取為；設(shè)平面的一個法向量為，而，故，即，令，則，假設(shè)平面與平面的夾角能為，則，即，此方程無解，假設(shè)不成立，即平面與平面的夾角不能為.19.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，（），圓M：．（1）若，過點A作圓M的切線，求此切線的方程；（2）若在圓M上存在唯一一點P，使，求t的值．【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的切線方程，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，列式求解，即可得答案；（2）設(shè)，由題意可求得P點的軌跡方程，根據(jù)P點的唯一性，分類討論，結(jié)合兩圓的內(nèi)切和外切，求得參數(shù)，即得答案.【小問1解析】由題意得，圓M的半徑為1，在圓M外，，過點A作圓M的切線，則切線斜率存在，設(shè)為k，則切線方程為，即，所以，解得或，故切線方程為或；【小問2解析】設(shè)，由于，所以，整理得，即，（），即P點在以為圓心，為半徑的圓上，由題意可知P是唯一的，只有當圓與圓M相切時，符合題意；當兩圓外切時，則，整理得，解得，（舍去），故；當兩圓內(nèi)切時，則，整理得，解得，（舍去），即，綜上，可得或.20.定義為數(shù)列的“勻稱值”．（1）若數(shù)列的“勻稱值”為，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，（），求數(shù)列的“勻稱值”．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用給定的定義建立等式，結(jié)合求解即得.（2）利用構(gòu)造法求出，再利用錯位相減法，結(jié)合給定定義求解即得.【小問1解析】依題意，，即，當時，，當時，，于是，整理得，符合上式，所以數(shù)列的通項公式是.【小問2解析】由，，得，而，因此是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，令，則數(shù)列的“勻稱值”，令，則，于是，兩式相減得，即，，所以數(shù)列的“勻稱值”為.21.如圖，平行四邊形中，，，為的中點，將沿折起到的位置，使．（1）求點到平面的距離；（2）點為線段上一點，與平面所成的角為，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）證明出平面平面，取的中點，連接，推導出平面，可知點到平面的距離為線段的長，求出的長，即為所求；（2）取的中點，連接，推導出，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，設(shè)，其中，求出向量的坐標，利用空間向量法結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【小問1解析】解：因為，，，所以，為等邊三角形，所以，，，因為，，則，所以，，即，又因為，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，平面平面，取的中點，連接，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因為，，因為，，則為等邊三角形，則，所以，點到平面的距離為.【小問2解析】解：取的中點，連接，因為為的中點，則，因為，所以，，又因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，所以