廣東省湛江市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

湛江市2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研考試高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知兩條直線和相互垂直，則（）A2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)兩直線垂直的公式列式計(jì)算即可.【解析】由，可得，所以.故選：D.2.已知空間向量，若，則實(shí)數(shù)（）A.0 B.2 C.-1 D.-2【答案】D【解析】【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【解析】當(dāng)時(shí)，，顯然不平行.當(dāng)時(shí)，，則，解得.故選：.3.若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則（）A.2 B.10 C.12 D.6【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的定義即可求解.【解析】由題意得，而，解得或10.而，所以.故選：B.4.已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且，則（）A.9 B.18 C.16 D.27【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.【解析】因?yàn)閿?shù)列與均為等差數(shù)列，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，.故選：A.5.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到軸的距離大2，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，由幾何關(guān)系得到，化簡后得，即可求解.【解析】設(shè)，由題意得，所以，兩邊平方得，，即，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，綜上，故C正確.故選：C.6.已知圓，過點(diǎn)且與圓相切的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A.9 B.20 C.16 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)在圓上，根據(jù)直線與圓相切求出切線方程，并求出與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到三角形面積.【解析】由，所以點(diǎn)在圓上，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知圓心為，半徑為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為此時(shí)圓心到直線距離為，此時(shí)直線與圓相交，不符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得，所以直線的方程為.設(shè)點(diǎn)分別為直線與軸?軸的交點(diǎn).令，得，即，令，得，即，所以.故選：C.7.已知為橢圓上的點(diǎn)，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，的平分線交線段于點(diǎn)，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】已知，，由正弦定理得，設(shè)，求出后代入中化簡即可.【解析】因?yàn)榈钠椒志€交線段于點(diǎn)，所以，由正弦定理得，，.又因?yàn)?，，所以，?不妨設(shè)，則，解得，所以.故選：A.8.已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別利用等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差，等比數(shù)列的首項(xiàng)及公比表示已知條件，求、，然后結(jié)合等差與等比的通項(xiàng)逐項(xiàng)判斷可得答案.【解析】設(shè)數(shù)列公差為，數(shù)列的公比為，對(duì)于C，由，得，故，解得或，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以，若，則，與為等比數(shù)列矛盾，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以，若，則，與為等比數(shù)列矛盾，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以成立，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以D正確.故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.雙曲線的離心率為B.到雙曲線的一條漸近線的距離為1C.雙曲線與雙曲線有相同的漸近線D.過點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線有兩條【答案】BD【解析】【分析】求出雙曲線的離心率可判斷A；由點(diǎn)到直線的距離可判斷B；求出雙曲線與雙曲線的漸近線可判斷C；由直線與雙曲線的位置關(guān)系可判斷D.【解析】由雙曲線的方程可得雙曲線的實(shí)半軸長，虛半軸長，半焦距，所以雙曲線的離心率，故A錯(cuò)誤；由題意得，雙曲線的漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式得，到雙曲線的漸近線的距離，故B正確；雙曲線的漸近線方程為，故C錯(cuò)誤；點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，所以過點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條，一條和漸近線平行，一條與右支相切，故D正確.故選：BD.10.已知是圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.直線與圓相切B.直線與圓相交C.D.若，，則【答案】BCD【解析】【分析】分析可知，，利用直線與圓的位置關(guān)系可判斷AB選項(xiàng)；利用勾股定理可判斷C選項(xiàng)；利用等面積法可判斷D選項(xiàng).【解析】對(duì)于AB選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，則，原點(diǎn)到直線的距離為，所以，直線與圓相交，A錯(cuò)B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由圓的幾何性質(zhì)可知，，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，由切線長定理可知，，又因?yàn)椋?，所以，，所以，，所以，，且為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，故，所以，故D正確.故選：BCD.11.若數(shù)列滿足從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即成立，我們稱之為斐波那契—盧卡斯數(shù)列.已知數(shù)列是斐波那契—盧卡斯數(shù)列，且為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.數(shù)列存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列B.數(shù)列存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列C.D.【答案】AC【解析】【分析】舉例說明判斷A；由數(shù)列的特性，結(jié)合已知建立方程無有理根判斷B；由累加法結(jié)合前n項(xiàng)和求解判斷CD.【解析】依題意，，顯然成等差數(shù)列，A正確；由，，可得數(shù)列各項(xiàng)都是正整數(shù)，則是有理數(shù)，假設(shè)成等比數(shù)列，則，又，消去得，顯然此方程無有理根，假設(shè)不成立，即不成等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；由，得，則，C正確；由C選項(xiàng)知，，D錯(cuò)誤.故選：AC12.如圖，在棱長為6的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的有（）A.存在點(diǎn)，使得B.存在點(diǎn)，使得C.面積的最小值是D.若，則三棱錐體積的最大值是【答案】BCD【解析】【分析】利用線面垂直得出矛盾可判定A,利用空間向量的垂直表示，點(diǎn)線距的求解方法及軌跡的求解可判斷BCD.【解析】如圖1，連接，在正方體中，平面，所以;若，因?yàn)?，所以平面，則，因?yàn)辄c(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，顯然不存在這樣的點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；如圖2，建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，所以，所以.假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，整理得，解得（舍去）或，故存在點(diǎn)，使得，故B正確；由上知，所以點(diǎn)在上的射影為，所以點(diǎn)到的距離為，所以當(dāng)時(shí)，，故面積的最小值是，故C正確；由題易知，所以.又，所以，得，在平面內(nèi)以為軸，的垂直平分線為軸建系，如圖3.根據(jù)題意可得.設(shè)，因?yàn)椋?，故，整理得圓.在正方形內(nèi)（包括邊界），是以為圓心，半徑的圓上的點(diǎn).令，可得，當(dāng)為圓與線段的交點(diǎn)時(shí)，到底面的距離最大，最大距離為，所以三棱錐體積的最大值是，故D正確.故選:BCD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線的傾斜角為，則__________.【答案】##【解析】【分析】求出直線的斜率，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式計(jì)算即可.【解析】由題意，得直線的斜率為，故，且為鈍角，又1，所以.故答案為：.14.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則面積的最小值為__________.【答案】2【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線，借助韋達(dá)定理表示出面積，求出最小值即可.【解析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的面積的最小值為2.故答案為：2.15.如圖，在平行六面體中，四邊形是邊長為2的菱形，且.若直線與平面所成的角的正弦值為，則__________.【答案】3【解析】【分析】證明平面平面，證得就是與平面所成的角，用空間向量求出，在中，求得，再由正弦定理求得即可.【解析】如圖，連接與相交于點(diǎn)，連接，，，四邊形是邊長為2的菱形，點(diǎn)為與的中點(diǎn)，且，，，，則，，，，平面，平面，平面，得平面平面，因?yàn)?，所以與平面所成的角等于與平面所成的角.連接，過作于.由平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以就是與平面所成的角，即為與平面所成的角.由已知得，，因?yàn)樗倪呅问沁呴L為2的菱形，且，由余弦定理，，所以，所以.在平行四邊形中，，.在中，.在中，由正弦定理得，，即，得，所以當(dāng)3時(shí)，直線與平面所成的角的正弦值為.故答案為：316.已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合雙曲線定義與勾股定理可得，由余弦定理可得與、有關(guān)齊次式，即可得離心率.【解析】由題意，設(shè)，則，在直角中，，則，故或（舍去），所以，則，故，所以在中，由余弦定理得，整理得，故.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案；（2）先利用錯(cuò)位相減法求出，再根據(jù)的特點(diǎn)可證結(jié)論.【小問1解析】設(shè)數(shù)列的公比為.因?yàn)?，所以，故，解得?又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以舍去，故，所以.【小問2解析】證明：由（1），得，則，，兩式相減得，因?yàn)?，所?18.過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)取最大值時(shí)，求直線方程；（2）用坐標(biāo)法證明：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)直線過圓的圓心時(shí)，最大，求出斜率，寫出直線方程即可;（2）聯(lián)立直線和圓，利用韋達(dá)定理結(jié)合向量的運(yùn)算求解即可，注意對(duì)斜存在與否進(jìn)行討論.【小問1解析】由得，所以圓是以為圓心，3為半徑的圓，當(dāng)直線過圓的圓心時(shí)，最大，所以直線的斜率為，所以當(dāng)最大時(shí)，直線的方程為.【小問2解析】設(shè)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為，所以，所以，所以,當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則.又，所以.綜上，為定值11.19.下圖是一座拋物線拱形拉索大橋，拱形最高點(diǎn)與橋的距離為，拋物線拱形橋的縱截面曲線為拋物線C，拋物線C與橋面的交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn)，.（1）求拋物線C的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離；（2）已知P?Q兩點(diǎn)為拋物線拱形橋的縱截面拋物線C與水面的交點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A在拋物線C對(duì)稱軸的同側(cè)，從點(diǎn)B俯瞰點(diǎn)P，俯角的正切值為，求橋面與水面的距離.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后設(shè)出拋物線方程，代點(diǎn)計(jì)算即可得；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算即可得.【小問1解析】以拋物線拱形對(duì)應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)對(duì)應(yīng)拋物線的方程為，則點(diǎn)在拋物線上，所以，所以，即，故拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為；【小問2解析】由（1）可知拋物線方程為，由拋物線對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)，則.由題意，解得，故，所以橋面與水面的距離為.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且數(shù)列是以3為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，從而得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式，從而求出；（2）首先求出，即可求出的通項(xiàng)公式，從而得到，再根據(jù)計(jì)算可得.【小問1解析】因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，所以，由，得，兩式相減得，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.若為奇數(shù)，設(shè)，則；若為偶數(shù)，設(shè)，則.綜上，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.【小問2解析】由數(shù)列是以3為公差的等差數(shù)列，可得，又，所以，故，解得.又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，所以，即，所以.當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，所以21.如圖，在四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，底面為平行四邊形，且.（1）證明：平面平面.（2）棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，或【解析】【分析】（1）利用線面垂直知識(shí)證明平面，從而求解.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由平面與平面夾角為，從而求出，即可求解.【小問1解析】證明：如圖，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，交的延長線于點(diǎn)，連接，所以.又平面，所以平面.又平面，所以，即.由，所以.又，所以，故.又為等邊三角形，所以.又，所以.又，所以.又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.【小問2解析】存在，理由如下：由（1）知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易得，所以.設(shè)存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為，且，故，所以，故.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有即，令，可得.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有即，令，可得，所以，解得或，所以當(dāng)或時(shí)，平面與平面的夾角為.22.已知，動(dòng)點(diǎn)滿足：直線與直線的斜率之積為常數(shù).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知，設(shè)直線與直線交軌跡于另兩點(diǎn)，記和的面積分別為，求的取值范