廣東省東莞市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試 數(shù)學(xué)

高中期末考試試卷注意事項：本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級、考生號、姓名和座號填寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.作答必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.寓言故事“龜兔賽跑”說的是：兔子和烏龜比賽跑步.剛開始，兔子在前面飛快地跑著，烏龜拼命地爬著.不一會兒，兔子就拉開了烏龜好大一段距離.兔子認為比賽太輕松了，就決定先睡一會.而烏龜呢，它一刻不停地爬行.當烏龜快到達終點的時候，兔子才醒來，于是它趕緊去追，但結(jié)果還是烏龜贏了.下圖“路程一時間”的圖像中，與“龜兔賽跑”的情節(jié)相吻合的是（）A. B.C. D.4.下列命題中，真命題的是（）A. B.C.，使得 D.，使得5.設(shè)計如圖所示的四個電路圖，條件p：“燈泡L亮”；條件q：“開關(guān)S閉合”，則p是q的必要不充分條件的電路圖是（）A. B.C. D.6.若，則（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)，若方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個實數(shù)根，則的取值范圍為（）A. B.C. D.8.已知是定義在上且不恒為零的函數(shù)，對于任意實數(shù)滿足，若，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B.C D.10.已知不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.11.下列關(guān)于函數(shù)的說法中，正確的有（）A.函數(shù)圖像是軸對稱圖形 B.函數(shù)的圖像是中心對稱圖形C.函數(shù)的值域為 D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是12.設(shè)集合是實數(shù)集的子集，如果滿足：，使得，則稱為集合的一個聚點.在下列集合中，以0為一個聚點的集合有（）A. B.C D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在直徑為6的圓中，弧度的圓心角所對的弧長為_____________.14.已知函數(shù)，則，則_____________.15.已知冪函數(shù)的圖象過點，若，則的取值范圍是_____________.16.若，則的最大值是_____________.（注：表示中的較小值）四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合.（1）若，求實數(shù)的值及集合；（2）若且，求實數(shù)和滿足的關(guān)系式.18.已知，且是第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.19.已知二次函數(shù).（1）若，求在上的值域；（2）求在上的最小值.20.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在上的奇偶性，并證明之；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義法證明；（3）寫出在上的值域（不用書寫計算推導(dǎo)過程）.21.下表是我國1964年到1971年期間的人口數(shù)及增長情況：年份人口數(shù)（單位：億）增長量（單位：億）增長率1964705--19657.250.200.02819667.450.200.02819677.640.190.02619687850.210.02719698.080.230.02919708.300.220.02719718.520.220.027（1）根據(jù)上表，假設(shè)以1964年為起點，以1964年到1971年的人口平均增長率作為恒定增長率，記為經(jīng)過時間年后的人口數(shù)，請你建立我國的人口增長模型（即：人口數(shù)與時間之間的關(guān)系）；（2）對照你所建立的模型和馬爾薩斯的人口指數(shù)增長模型：，指出其中的值；（3）如果按照以上模型和數(shù)據(jù)，預(yù)測2025年我國的人口數(shù)（保留兩位小數(shù)），并根據(jù)預(yù)測的數(shù)據(jù)，談?wù)勀銓η懊婺Ｐ偷睦斫饣蛘哂惺裁葱枰倪M的方面.（參考數(shù)據(jù)：；）22.已知函數(shù).（1）當時，求的零點個數(shù)，并求出相應(yīng)的零點；（2）討論關(guān)于的方程的解的個數(shù).高中期末考試試卷（2024.1）高一數(shù)學(xué)注意事項：本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級、考生號、姓名和座號填寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.作答必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合中元素范圍，進而可求其補集，最后再求交集即可.【解析】因為，所以，又，所以.故選：D.2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式變形計算即可.【解析】.故選：A.3.寓言故事“龜兔賽跑”說的是：兔子和烏龜比賽跑步.剛開始，兔子在前面飛快地跑著，烏龜拼命地爬著.不一會兒，兔子就拉開了烏龜好大一段距離.兔子認為比賽太輕松了，就決定先睡一會.而烏龜呢，它一刻不停地爬行.當烏龜快到達終點的時候，兔子才醒來，于是它趕緊去追，但結(jié)果還是烏龜贏了.下圖“路程一時間”的圖像中，與“龜兔賽跑”的情節(jié)相吻合的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先確定兔子的圖象，然后根據(jù)開始兔子快，烏龜慢，以及最終烏龜贏了即可得答案.【解析】由于兔子睡了一下，所以所有選項中有一段不發(fā)生變化的折線為兔子的“路程一時間”的圖像一開始，兔子快，烏龜慢，排除選項CD，最后烏龜贏了，即烏龜先到達終點，選項B符合.故選：B.4.下列命題中，真命題的是（）A. B.C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】【分析】通過舉例來判斷ABD，利用三角函數(shù)的有界性判斷C.【解析】對于A：當時，，A錯誤；對于B：當時，，B錯誤；對于C：根據(jù)三角函數(shù)的有界性，，故不存在，使，C錯誤；對于D：當時，，故，使得，D正確.故選：D.5.設(shè)計如圖所示的四個電路圖，條件p：“燈泡L亮”；條件q：“開關(guān)S閉合”，則p是q的必要不充分條件的電路圖是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)各電路的特點，判斷兩個命題之間的邏輯關(guān)系，即可判斷出答案.【解析】對于A，燈泡L亮，可能是閉合，不一定是S閉合，當S閉合時，必有燈泡L亮，故p是q的必要不充分條件，A正確；對于B，由于S和L是串聯(lián)關(guān)系，故燈泡L亮，必有S閉合，S閉合，燈泡L亮，即p是q的充要條件，B錯誤；對于C，燈泡L亮，則開關(guān)和S必都閉合，當開關(guān)S閉合打開時，燈泡L不亮，故p是q的充分不必要條件，C錯誤；對于D，燈泡L亮，與開關(guān)S閉合無關(guān)，故p是q的既不充分也不必要條件，D錯誤，故選：A6.若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)的單調(diào)性及運算性質(zhì)，通過與中間量的大小比較確定答案.【解析】，，，，所以.故選：A.7.已知函數(shù)，若方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個實數(shù)根，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出方程的由小到大排列的3個正根，再根據(jù)題意列出不等式即得.【解析】函數(shù)，由，得，當時，或或，解得或或，顯然是方程的由小到大排列的3個正根，因為方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個實數(shù)根，則有，所以的取值范圍為.故選：D8.已知是定義在上且不恒為零的函數(shù)，對于任意實數(shù)滿足，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對于賦值，求出，，，，確定奇偶性，通過奇偶性可得答案.【解析】當時，，當時，，可得，當時，，可得，函數(shù)是定義在上且不恒為零的函數(shù)，令，可得，則函數(shù)是奇函數(shù)，令，,得，所以，所以.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義逐一分析各選項即可得解.【解析】由題意，A項，在中，,，為偶函數(shù)；B項，在中，,，為奇函數(shù)；C項，在中，,，為奇函數(shù)；D項，在中，,，為偶函數(shù)；故選：AD.10.已知不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)二次不等式解集與二次方程的根的關(guān)系列式求解.【解析】因為不等式的解集為，所以，解得，所以，選項ABC正確；又，所以，選項D錯誤；故選：ABC.11.下列關(guān)于函數(shù)的說法中，正確的有（）A.函數(shù)的圖像是軸對稱圖形 B.函數(shù)的圖像是中心對稱圖形C.函數(shù)的值域為 D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】ACD【解析】【分析】對于AB：先猜想函數(shù)的圖像是軸對稱圖形，然后證明即可；對于C：根據(jù)的范圍可判斷；對于D：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則來判斷.【解析】對于AB：函數(shù)的定義域為，，即，猜測函數(shù)的圖像是軸對稱圖形，證明：，，所有，即函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，故A正確，B錯誤；對于C：當時，，則的值域為，C正確；對于D：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，D正確.故選：ACD.12.設(shè)集合是實數(shù)集的子集，如果滿足：，使得，則稱為集合的一個聚點.在下列集合中，以0為一個聚點的集合有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給出的聚點定義逐項進行判斷即可得出答案．【解析】對于A，集合中的元素除了第一項0之外，其余的都至少比0大，則當?shù)臅r候，不存在滿足得的x，

0不是集合的聚點，A不是；對于B，集合中的元素，對于任意的，取，當時，，則0是集合的聚點，B是；對于C，，，對于任意的，由，得，于是對于任意的，取，當時，，則0是集合的聚點，C是；對于D，，，因此當時，不存在滿足的，則0不是集合的聚點，D不是.故選：BC【小結(jié)】思路小結(jié)：集合新定義問題，命題新穎，且存在知識點交叉，常常會和函數(shù)性質(zhì)結(jié)合，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進行解決.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在直徑為6的圓中，弧度的圓心角所對的弧長為_____________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)弧長公式求解即可.【解析】弧長為.故答案為：.14.已知函數(shù)，則，則_____________.【答案】或【解析】【分析】分和兩種情況代入解方程即可.【解析】因為，當時，，解得，當時，，解得.綜合得或.故答案為：或15.已知冪函數(shù)的圖象過點，若，則的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】先求的值，再利用奇偶性與單調(diào)性即可求解取值范圍.【解析】由冪函數(shù)的圖象過點得，解得，則，定義域為.由可得為偶函數(shù)，又冪函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.于是等價于，解得或.所以的取值范圍是.故答案為：.16.若，則的最大值是_____________.（注：表示中的較小值）【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)給定條件，借助基本不等式求出的最大值即得.【解析】令，，于是，，則，當且僅當時取等號，而，當且僅當，即時取等號，因此當，且，即時，，所以的最大值為.故答案為：【小結(jié)】思路小結(jié)：令，由此建立不等式，再利用不等式性質(zhì)變形，借助基本不等式求解.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合.（1）若，求實數(shù)值及集合；（2）若且，求實數(shù)和滿足的關(guān)系式.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）直接將代入集合計算即可；（2）求出集合中元素，代入集合計算即可.【小問1解析】若，則，所以，解得，所以，綜上：，；【小問2解析】若，則，此時，又，所以，即，所以，所以實數(shù)和滿足的關(guān)系式為.18.已知，且是第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系計算即可；（2）先將分式變形為關(guān)于弦的二次齊次式，然后通過分子分母同時除以轉(zhuǎn)化為用表示的式子，然后代入的值計算即可.【小問1解析】，且是第二象限角，，；【小問2解析】.19.已知二次函數(shù).（1）若，求在上的值域；（2）求在上的最小值.【答案】19.20.【解析】【分析】（1）先確定單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求值域；（2）分，，討論，確定單調(diào)性即可得最小值.【小問1解析】若，則，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以在上的值域為；【小問2解析】二次函數(shù)，對稱軸為，當，即時，在上單調(diào)遞增，，當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當，即時，在上單調(diào)遞減，，綜上：.20.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在上的奇偶性，并證明之；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義法證明；（3）寫出在上的值域（不用書寫計算推導(dǎo)過程）.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析（2）單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）通過計算來證明；（2）任取，通過計算來證明；（3）以為基礎(chǔ)可得函數(shù)值域.【小問1解析】函數(shù)在上是奇函數(shù).證明：，即函數(shù)在上是奇函數(shù)；【小問2解析】函數(shù)在上的單調(diào)遞增函數(shù).證明：任取，則，因為，所以，即，又，所以即函數(shù)在上的單調(diào)遞增函數(shù)；【小問3解析】，即在上的值域為.21.下表是我國1964年到1971年期間的人口數(shù)及增長情況：年份人口數(shù)（單位：億）增長量（單位：億）增長率19647.05--19657.250.200.02819667.450.200.02819677.640.190.02619687.850.210.02719698.080.230.02919708.300.220.02719718.520.220.027（1）根據(jù)上表，假設(shè)以1964年為起點，以1964年到1971年的人口平均增長率作為恒定增長率，記為經(jīng)過時間年后的人口數(shù)，請你建立我國的人口增長模型（即：人口數(shù)與時間之間的關(guān)系）；（2）對照你所建立的模型和馬爾薩斯的人口指數(shù)增長模型：，指出其中的值；（3）如果按照以上模型和數(shù)據(jù)，預(yù)測2025年我國的人口數(shù)（保留兩位小數(shù)），并根據(jù)預(yù)測的數(shù)據(jù)，談?wù)勀銓η懊婺Ｐ偷睦斫饣蛘哂惺裁葱枰倪M的方面.（參考數(shù)據(jù)：；）【答案】（1）；（2），；（3）億，理解見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定信息，結(jié)合平均增長率問題列式即得.（2）對照馬爾薩斯的人口指數(shù)增長模型，求出.（3）利用模型計算，與實際人口數(shù)比對，