江蘇省南京市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試 數(shù)學(xué)

第一學(xué)期高一期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.2.命題“存在，”否定為（）A.存在， B.存在，C.任意， D.任意，3若角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則A. B. C. D.4.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.4 D.125.函數(shù)的減區(qū)間為（）A. B. C. D.6.可以用尺規(guī)作圖畫出正五角星，作法如下：以任意一點(diǎn)為圓心，以1為半徑畫圓，在圓內(nèi)作互相垂直的直徑和.取線段的中點(diǎn)，以為圓心，以為半徑作弧，交于.以為圓心，以為半徑在圓上依次截取相等的圓弧，連接，，，，，得到如圖所示的正五角星，則圖中扇形的面積為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，，則（）A. B. C. D.8.已知，，則（）A.2 B.3 C.4 D.5二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象10.已知正數(shù)，滿足，則（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)滿足：①對(duì)任意，；②若，則.則（）A.的值為2 B.C.若，則 D.若，則三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)______.14.已知，則______.15.已知二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下：1246014則關(guān)于的不等式的解集為______.16.設(shè)是正整數(shù)，集合.當(dāng)，集合有______個(gè)元素；若集合有100個(gè)元素，則______.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.求下列各式值：（1）；（2）.18.設(shè)集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；（2）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.已知函數(shù)，正數(shù)，滿足，（1）求的取值范圍；（2）求的最小值.21.已知函數(shù).（1）判斷在上的單調(diào)性，并證明；（2）若，且，，都正數(shù)，求證：.22.已知偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）從“①；②”兩個(gè)條件中選一個(gè)合適的條件，使得函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有公共點(diǎn)，并說(shuō)明理由；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍關(guān)注公眾號(hào)《品數(shù)學(xué)》2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期高一期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接由交集的概念即可得解.【解析】由題意集合，，則.故選：B.2.命題“存在，”的否定為（）A.存在， B.存在，C.任意， D.任意，【答案】D【解析】【分析】由命題的否定的定義即可得解.【解析】由題意命題“存在，”的否定為任意，.故選：D.3.若角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則A B. C. D.【答案】B【解析】【解析】分析：利用三角函數(shù)的定義，即可求出.解析：角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則由余弦函數(shù)的定義可得故選B.小結(jié)：本題考查三角函數(shù)的定義，屬基礎(chǔ)題.4.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.4 D.12【答案】C【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)代入求值即可.【解析】由題意是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.5.函數(shù)的減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得解.【解析】由題意在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，若要單調(diào)遞減，只需關(guān)于單調(diào)遞減，所以函數(shù)的減區(qū)間為.故選：B.6.可以用尺規(guī)作圖畫出正五角星，作法如下：以任意一點(diǎn)為圓心，以1為半徑畫圓，在圓內(nèi)作互相垂直的直徑和.取線段的中點(diǎn)，以為圓心，以為半徑作弧，交于.以為圓心，以為半徑在圓上依次截取相等的圓弧，連接，，，，，得到如圖所示的正五角星，則圖中扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖，連接OG，OM，OH，則，由得，結(jié)合扇形的面積公式計(jì)算即可求解.【解析】如圖，連接OG，OM，OH，則，又，所以，化為弧度為，所以扇形的面積為.故選：A.7.已知函數(shù)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及平方關(guān)系即可得解.【解析】由題意，所以，所以.故選：C.8.已知，，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算即可得解.【解析】由題意，所以，所以.故選：D.【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：關(guān)鍵是都對(duì)已知等式兩邊同時(shí)取以6為底的對(duì)數(shù)，由此即可順利得解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，由周期公式驗(yàn)算即可；對(duì)于BC，由代入檢驗(yàn)法即可判斷；對(duì)于D，由平移變換法則驗(yàn)算即可.【解析】對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知正數(shù)，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)結(jié)合逐一判斷每一個(gè)選項(xiàng)即可.【解析】對(duì)于A，由題意，所以，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，令，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】分別求出值域，根據(jù)值域的并集為建立不等式，逐項(xiàng)判斷即可.【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，由題意的值域?yàn)椋?，所以，記，且，在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象，如圖：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，要使，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，實(shí)數(shù)的值可以是，.故選：BD12.已知函數(shù)滿足：①對(duì)任意，；②若，則.則（）A.的值為2 B.C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】分析】對(duì)于A，令，結(jié)合“若，則”即可判斷；對(duì)于B，由基本不等式相關(guān)推理結(jié)合即可判斷；對(duì)于C，令得，，由此即可判斷；對(duì)于D，令，即可判斷.【解析】對(duì)于A，令，得，解得或，若，令，得，即，但這與②若，則矛盾，所以只能，故A正確；對(duì)于B，令，結(jié)合得，，解得或，又，所以，所以只能，故B正確；對(duì)于C，若，令得，，所以，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，取，則且單調(diào)遞增，滿足，但，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是構(gòu)造，由此即可證偽.三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】直接代入坐標(biāo)即可求解.【解析】由題意，所以.故答案為：.14.已知，則______.【答案】【解析】【分析】由商數(shù)關(guān)系切弦互換即可求解.【解析】由題意有.故答案為：.15.已知二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下：1246014則關(guān)于的不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】利用已知條件求出具體二次函數(shù)，再解不等式即可.【解析】由已知得必過(guò),代入函數(shù)中得，，，解得，，，故，令，解得，即關(guān)于的不等式的解集為.故答案為：16.設(shè)是正整數(shù)，集合.當(dāng)，集合有______個(gè)元素；若集合有100個(gè)元素，則______.【答案】①.2②.198或199【解析】【分析】第一空：當(dāng)，，由此即可得解；第二空：原問(wèn)題等價(jià)于單位圓盤等分后，相應(yīng)橫坐標(biāo)的所有可能數(shù)與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，值得注意的是考慮上半圓盤以及即可.【解析】由題意當(dāng)，，周期為，所以，經(jīng)過(guò)去重得此時(shí)，即此時(shí)集合有2個(gè)元素；原問(wèn)題等價(jià)于單位圓盤等分后，相應(yīng)橫坐標(biāo)的所有可能數(shù)與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由對(duì)稱性可知，只需考慮上半圓盤以及，所以如果集合有100個(gè)元素，即相應(yīng)橫坐標(biāo)的所有可能數(shù)為100，則可能是，和上半圓盤與下半圓盤各99個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)（它們關(guān)于軸對(duì)稱），即此時(shí)，還有一種可能：即和，以及上半圓盤與下半圓盤各98個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)（它們關(guān)于軸對(duì)稱），也就是，綜上所述，若集合有100個(gè)元素，則或.故答案為：2；198或199.【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：第二空的關(guān)鍵是研究單位圓盤等分后，相應(yīng)橫坐標(biāo)的所有可能數(shù)與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此即可順利得解.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）直接由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算即可得解.（2）直接由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解.【小問(wèn)1解析】.【小問(wèn)2解析】.18.設(shè)集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解對(duì)數(shù)不等式得到，根據(jù)并集概念求出答案；（2）根據(jù)必要不充分條件得到?，從而得到不等式，求出，得到答案.【小問(wèn)1解析】時(shí)，，解得，故，，故；【小問(wèn)2解析】，，解得，故，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以?，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；（2）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得，由此即可得解.（2）由題意得在上單調(diào)遞增，由此列出不等式即可得解.【小問(wèn)1解析】由題意當(dāng)時(shí)，，若，則，所以在上的值域?yàn)?【小問(wèn)2解析】由題意，所以時(shí)，，且關(guān)于單調(diào)遞增，若在上單調(diào)遞增，則由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，所以，解得，即取值范圍為.20.已知函數(shù)，正數(shù)，滿足，（1）求的取值范圍；（2）求最小值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）先利用基本不等式求出，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解范圍即可；（2）先利用基本不等式求解的最小值，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解最小值即可.【小問(wèn)1解析】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為；【小問(wèn)2解析】，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為4.21.已知函數(shù).（1）判斷在上的單調(diào)性，并證明；（2）若，且，，都為正數(shù)，求證：.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法以及分解因式，可得答案；（2）利用分類討論的解題思想，結(jié)合基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性與奇偶性，可得答案.【小問(wèn)1解析】在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，設(shè)，，由，則，故，所以在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2解析】當(dāng)都是正數(shù)時(shí)，，當(dāng)目?jī)H當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則；當(dāng)中只有一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，則，且，由，則，由，則，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，，當(dāng)中有兩個(gè)負(fù)數(shù)或三個(gè)都是負(fù)數(shù)時(shí)，不合題意.故得證.22.已知偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）從“①；②”兩個(gè)條件中選一個(gè)合適的條件，使得函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有公共點(diǎn)，并說(shuō)明理由；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】22.①不滿足題意，②滿足題意，理由見(jiàn)解析23.【解析】【分析】（1）首先得出，結(jié)合基本不等式，以及零點(diǎn)存在定理即可進(jìn)一步求解.（2）由題意首先通過(guò)換元得出恒成立，分析得知，進(jìn)一步解不等式組即可得解.【小問(wèn)1解析】由題意，解得，①令，有，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，而此時(shí)，所以此