初中數(shù)學同步九年級上冊滬科版《壓軸題》專題11反比例函數(shù)與六類特殊圖形含答案及解析

專題11反比例函數(shù)與六類特殊圖形目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、反比例函數(shù)與等腰三角形 1類型二、反比例函數(shù)與直角三角形 4類型三、反比例函數(shù)與平行四邊形 6類型四、反比例函數(shù)與矩形 12類型五、反比例函數(shù)與菱形類型六、反比例函數(shù)與正方形壓軸能力測評（10題） 131反比例函數(shù)與三角形綜合的方法涉及到面積問題時，往往利用割補法求三角形的面積；比較函數(shù)大小時，通過圖像即可比較得出；利用待定系數(shù)法求解析式，解決不等式時也通過圖形即可得出。涉及到等腰三角形的存在和直角三角形的存在時，一般要分類討論，根據(jù)各類情況情況進行分析，涉及到的知識點涵蓋：兩點間的距離公式，勾股定理等。直角三角形時，如下圖：6，等腰三角形時，如下圖：畫弧法：以等腰三角形確定邊兩端點分別為圓心，確定邊長度為半徑畫弧，與動點所在直線的交點即為所求點，另外確定邊的垂直平分線與動點所在直線的交點即為所求點。2反比例函數(shù)與四邊形綜合三角形面積，平行四邊形性質等，解題關鍵是運用分類討論思想解決問題。2，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象與不等式的關系、菱形的性質以及利用三角形三邊關系解決最值問題，同時也會用到等腰三角形的性質、中位線和直角三角形的性質。3，平行四邊形的存在性問題利用線段長解析式=定值長（平行四邊形對邊平行且相等）列方程求值類型一反比例函數(shù)與等腰三角形結合例．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點．(1)根據(jù)圖象求k的值；(2)根據(jù)圖象時，寫出自變量的取值范圍；(3)點P在y軸上，且滿足以點A、O、P為頂點的三角形是等腰三角形，直接寫出點P所有可能的坐標．【變式訓練1】．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，連結，．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)求的面積；(3)根據(jù)函數(shù)圖象，寫出不等式的解集：．(4)點是軸上的一個動點，連結、，當是等腰三角形時，直接寫出點坐標．【變式訓練2】．如圖，已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如下圖，已知點A在第一象限，且同時在上述兩個函數(shù)的圖象上，求點A的坐標；(3)利用（2）的結果為條件，請問：在x軸上是否存在點P，使是以為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標．【變式訓練3】．如圖，在坐標平面中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點．(1)求這個反比例函數(shù)的解析式；(2)當時，結合函數(shù)圖象，請直接寫出不等式的解集；(3)點為軸上一個點，連接，當為以為腰的等腰三角形時，請直接寫出點的坐標，不必寫出理由．類型二反比例函數(shù)與直角三角形結合例．如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點A，B（點A在點B的左側），已知點A的縱坐標是1．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)如圖，將直線向上平移2個單位長度后得到新的直線，點M在直線上，設點M的橫坐標為．連接，．①求的面積；②當是直角三角形時，求點M的坐標．【變式訓練1】．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，其中點A的坐標為(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若點P在x軸上，且是直角三角形，求點P的坐標．【變式訓練2】．如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，點的橫坐標為．(1)求反比例函數(shù)的表達式及點的坐標；(2)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集；(3)點是軸上一點，連接，，當是直角三角形且以AB為直角邊時，直接寫出點的坐標．【變式訓練3】．一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點，與軸交于點，其中．(1)求反比例函數(shù)表達式；(2)已知，請結合圖象，直接寫出時，的取值范圍；(3)若點在軸上，且是直角三角形，求點的坐標．類型三反比例函數(shù)與平行四邊形結合例．如圖，在平行四邊形中，點在軸正半軸上，點是的中點，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，且的面積為，則．

【變式訓練1】．如圖，平行四邊形的頂點A，B在函數(shù)的圖象上，邊與y軸交于點D，軸于點E．若的面積為8，則的值為．【變式訓練2】．已知點A、B分別在反比例函數(shù)和的圖像上，四邊形為平行四邊形．將沿y軸向上平移，使點C落在反比例函數(shù)的圖像上的D點，則兩個平行四邊形重疊部分的面積為．【變式訓練3】．如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點O是坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點C在函數(shù)的圖象上，點B在函數(shù)的圖象上．若，則的值為．類型四反比例函數(shù)與矩形結合例．如圖，點在函數(shù)的圖像上，過作軸于點，交直線于點，作軸于點，交直線于點，分別在矩形的外側構造矩形，．若是的中點，圖中陰影部分的面積為7，則的值為．【變式訓練1】．如圖，、是反比例函數(shù)（）的圖象上兩點，點、、、分別在坐標軸上，若正方形的面積為6，則矩形的面積為．【變式訓練2】．如圖，四邊形為矩形，點A在第二象限，點A關于的對稱點為點D，點B，D都在函數(shù)的圖象上，軸于點E．若的延長線交x軸于點F，當矩形的面積為時，的值為，點F的坐標為．【變式訓練3】．如圖，矩形的頂點，分別為反比例函數(shù)與，點，在軸上，，分別交軸于點，，則陰影部分的面積為．類型五反比例函數(shù)與菱形結合例．如圖，在菱形中，，，菱形的一個頂點C在反比例函數(shù)的圖象上，則反比例函數(shù)的解析式為．【變式訓練1】．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點在軸正半軸上，點在一個反比例函數(shù)的圖象上，若，且菱形的面積為12，則該反比例函數(shù)的表達式為．【變式訓練2】．如圖，菱形的頂點的坐標為頂點在軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點B，則的值為．【變式訓練3】．如圖所示，四邊形是菱形，邊在x軸上，點，點，雙曲線與直線交于點D，點E，則的面積為．類型六反比例函數(shù)與正方形結合例．如圖，正方形放置在直角坐標系中，點A的坐標為2,0，點B的坐標為反比例函數(shù)經(jīng)過點C，將正方形向上平移m個單位長度后，點D恰好落在雙曲線上，則m值為．【變式訓練1】．如圖，四邊形是矩形，是正方形，點C在y軸的正半軸上，點F在上，點B和點E在的圖象上，，，則正方形的邊長為．【變式訓練2】．如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于A點，交y軸于B點，以為邊作正方形（C、D在第一象限）其中頂點D恰好落在雙曲線上，現(xiàn)將正方形沿x軸向右平移a個單位，使得頂點B落在雙曲線上，則a的值為．【變式訓練3】．如圖，正方形的頂點分別在反比例函數(shù)和的圖象上，若軸，點的橫坐標為2，則的值為．1．如圖，菱形的頂點A，分別在軸，軸上，軸，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為．2．如圖，把邊長為2的菱形放在平面直角坐標系中，邊在x軸上，，點A的坐標是2,0，E是邊的中點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點E，則k的值是3．如圖，矩形的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點D在上，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D及矩形的對稱中心M，順次連接點D、O、M．若的面積為4，則k的值為．4．如圖，矩形的頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D及矩形的對稱中心M，連接．若的面積為3，則k的值為．5．如圖，已知點是反比例函數(shù)的圖象上的一點，連接并延長，交雙曲線的另一支于點，點是軸上一動點，若是等腰三角形，則點的坐標是．6．如圖，是面積為4的等腰三角形，底邊在軸上，若反比例函數(shù)圖象過點，則該反比例函數(shù)的表達式為．

7．如圖，直線與反比例函數(shù)圖象交于點A，B為的中點，過點B作y軸的平行線交雙曲線于點D，交x軸于點C，連接．若為等腰三角形，則．8．如圖，在平面直角坐標系中，為直角三角形，，，．若反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過的中點，交于點，則．9．如圖，直線與函數(shù)的圖象交于點，過點作軸的平行線與函數(shù)的圖象交于點，直線與圖象交于點，當為直角三角形時，的值為．10．如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形的頂點在原點，直角邊在軸上，，反比例函數(shù)的圖象分別交邊于點，連接，若，，則的值為．

專題11反比例函數(shù)與六類特殊圖形目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 4類型一反比例函數(shù)與等腰三角形結合 4類型二反比例函數(shù)與直角三角形結合 10類型三反比例函數(shù)與平行四邊形結合 18類型四反比例函數(shù)與矩形結合 23類型五反比例函數(shù)與菱形結合 28類型六反比例函數(shù)與正方形結合 32壓軸能力測評 371反比例函數(shù)與三角形綜合的方法涉及到面積問題時，往往利用割補法求三角形的面積；比較函數(shù)大小時，通過圖像即可比較得出；利用待定系數(shù)法求解析式，解決不等式時也通過圖形即可得出。涉及到等腰三角形的存在和直角三角形的存在時，一般要分類討論，根據(jù)各類情況情況進行分析，涉及到的知識點涵蓋：兩點間的距離公式，勾股定理等。直角三角形時，如下圖：6，等腰三角形時，如下圖：畫弧法：以等腰三角形確定邊兩端點分別為圓心，確定邊長度為半徑畫弧，與動點所在直線的交點即為所求點，另外確定邊的垂直平分線與動點所在直線的交點即為所求點。2反比例函數(shù)與四邊形綜合三角形面積，平行四邊形性質等，解題關鍵是運用分類討論思想解決問題。2，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象與不等式的關系、菱形的性質以及利用三角形三邊關系解決最值問題，同時也會用到等腰三角形的性質、中位線和直角三角形的性質。3，平行四邊形的存在性問題利用線段長解析式=定值長（平行四邊形對邊平行且相等）列方程求值類型一反比例函數(shù)與等腰三角形結合例．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點．(1)根據(jù)圖象求k的值；(2)根據(jù)圖象時，寫出自變量的取值范圍；(3)點P在y軸上，且滿足以點A、O、P為頂點的三角形是等腰三角形，直接寫出點P所有可能的坐標．【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、求函數(shù)解析式、運用圖像求不等式的解集，等腰三角形的性質等知識點，掌握兩函數(shù)圖像的交點坐標必滿足兩函數(shù)解析式成為解題的關鍵．（1）先利用正比例函數(shù)求出，然后代入反比例函數(shù)解析式即可解答；（2）先求出反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的另外一個交點，直接根據(jù)函數(shù)圖像即可解答；（3）設，則，分，三種情況討論即可．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：聯(lián)立，令，則，解得：或，根據(jù)題意，根據(jù)函數(shù)圖象得：時，或；（3）解：設，則，，當時，則，解得：或，點P的坐標為或；當時，則，解得：或（舍去），點P的坐標為；當時，則，解得：，點P的坐標為；綜上，點P的坐標為或或或．【變式訓練1】．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，連結，．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)求的面積；(3)根據(jù)函數(shù)圖象，寫出不等式的解集：．(4)點是軸上的一個動點，連結、，當是等腰三角形時，直接寫出點坐標．【答案】(1)一次函數(shù)解析式為：，反比例函數(shù)解析式為：；(2)(3)或(4)點坐標為或或或或．【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合應用，分類討論是解答本題的關鍵．（1）將，坐標代入兩個函數(shù)解析式即可得到兩個解析式；（2）設直線與軸交于點，利用代入數(shù)據(jù)計算即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出不等式的解集即可；（4）分三種情況①當時，②當時，③當時，利用勾股定理建立方程求出點橫坐標即可．【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，，，，，，，一次函數(shù)解析式為：，反比例函數(shù)解析式為：；（2）解：設直線與軸交于點，令，則，，．（3）解：根據(jù)函數(shù)圖象，不等式的解集為：或．故答案為：或；（4）解：，，，分三種情況討論，①當時，設則有：整理得：，解得，即，，或；②當時，，設，則有：，，解得，，或；③當時，設，則有，則有：，整理得：，．綜上分析，點坐標為或或或或．【變式訓練2】．如圖，已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如下圖，已知點A在第一象限，且同時在上述兩個函數(shù)的圖象上，求點A的坐標；(3)利用（2）的結果為條件，請問：在x軸上是否存在點P，使是以為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）把過一次函數(shù)的兩個點代入一次函數(shù)，即可求得k，進而求得反比例函數(shù)的解析式．（2）同時在這兩個函數(shù)解析式上，讓這兩個函數(shù)組成方程組求解即可．（3）先求出的距離，然后根據(jù)：，，分情況討論解決．【詳解】（1）將，代入得，解得∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）由解得，∵點A在第一象限∴將代入∴點A的坐標為；（3）設，∵點A的坐標為∴，與x軸所夾銳角為，∵為腰∴當時，∴∴∴P點坐標為或；當時，∴∴或0（舍去）∴P點坐標為綜上所述，P點坐標為或或．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰三角形的定義等知識，解題的關鍵是利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式．【變式訓練3】．如圖，在坐標平面中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點．(1)求這個反比例函數(shù)的解析式；(2)當時，結合函數(shù)圖象，請直接寫出不等式的解集；(3)點為軸上一個點，連接，當為以為腰的等腰三角形時，請直接寫出點的坐標，不必寫出理由．【答案】(1)；(2)；(3)或或【分析】（1）先求出點A的坐標，再代入計算即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象寫出結果即可；（3）分和兩種情況求解．【詳解】（1）把代入得，，∴，∴，把代入得，，∴；（2）由函數(shù)圖象可知，當時，成立；（3）當時，作軸于點D，

∵，∴D1,3當時，，∴，∴B?2,0∵，軸∴，∴，∴．當時，∵，∴，∴或，∴或．綜上可知，或或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，求反比例函數(shù)解析式，利用函數(shù)圖象解不等式，等腰三角形的性質，分類討論是解（3）的關鍵．類型二反比例函數(shù)與直角三角形結合例．如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點A，B（點A在點B的左側），已知點A的縱坐標是1．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)如圖，將直線向上平移2個單位長度后得到新的直線，點M在直線上，設點M的橫坐標為．連接，．①求的面積；②當是直角三角形時，求點M的坐標．【答案】(1)(2)①4；②或【分析】本題主要考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像和性質，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像和性質是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意求出，代入反比例函數(shù)即可求出答案；（2）①過點M作軸交直線于點N，則，根據(jù)對稱性質得到，分情況計算出面積即可；②分當時，當時兩種情況分類討論即可．【詳解】（1）解：把代入，得又∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于點A，B故反比例函數(shù)的表達式為（2）解：①如圖，過點M作軸交直線于點N，則，由對稱性可知，當時，當時，綜上所述，的面積為4②由題意可知，直線的函數(shù)表達式為，令，則；令，則直線與x軸的交點為，與y軸的交點為0,2，點M在直線的第一象限圖象上，當是直角三角形時，存在以下兩種情況.（i）當時，設，過點作一條直線平行軸，過點作垂線交直線于點，使．根據(jù)坐標系可知，，根據(jù)勾股定理可得，，，由①得：，解得，；（ii）當時，設，連接是直角三角形，且點O是線段的中點，.整理，得，解得，（舍去）綜上所述，當是直角三角形時，點M的坐標為或2,1．【變式訓練1】．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，其中點A的坐標為(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若點P在x軸上，且是直角三角形，求點P的坐標．【答案】(1)(2)或【分析】（1）把代入求出，再把代入求出k的值即可；（2）當時，得到；當時，過點A作軸于點D，得到，根據(jù)直線的表達式為和，推出，推出，得到，推出，得到，得到．【詳解】（1）解：將代入，得，，∴,∴，將代入，得，，∴，∴反比例函數(shù)表達式為；（2）解：①當時，軸，∴；②當時，如圖，過點A作軸于點D，則，∵，∴，，∵直線的表達式為，∴當時，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合．熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形性質，分類討論，是解題的關鍵．【變式訓練2】．如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，點的橫坐標為．(1)求反比例函數(shù)的表達式及點的坐標；(2)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集；(3)點是軸上一點，連接，，當是直角三角形且以AB為直角邊時，直接寫出點的坐標．【答案】(1)，(2)或(3)或【分析】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題．（1）根據(jù)正比例函數(shù)的表達式求出點的坐標，再將點坐標代入反比例函數(shù)表達式求出的值，即可得出反比例函數(shù)的表達式；根據(jù)與關于原點對稱，點橫坐標與縱坐標分別與點橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)；（2）根據(jù)圖象分析，不等式即的解集即為一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象上方所對應的x的取值范圍；（3）設，根據(jù)勾股定理表示出，，進而根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵點的橫坐標為，代入正比例函數(shù)，得，∴,∴，解得：∴反比例函數(shù)，∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，∴與關于原點對稱，則；（2）解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，不等式，即的解集為：或；（3）解：設，∵,，∴，，，當是直角三角形且以為直角邊時，則或即或，解得：或，∴或．【變式訓練3】．一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點，與軸交于點，其中．(1)求反比例函數(shù)表達式；(2)已知，請結合圖象，直接寫出時，的取值范圍；(3)若點在軸上，且是直角三角形，求點的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合．熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)與方程與不等式，等腰直角三角形性質，分類討論，是解題的關鍵．（1）把代入求出，再把代入求出k的值即可；（2）結合圖象即可得時，x的取值范圍；（3）當時，得到；當時，過點A作軸于點D，得到，根據(jù)直線的表達式為和，推出，推出，得到，推出，得到，得到．【詳解】（1）將代入，得，，∴，∴，將代入，得，，∴，∴反比例函數(shù)表達式為；（2）∵，，∴觀察圖象可得：當時，；（3）①當時，軸，∴；②當時，如圖，過點A作軸于點D，則，

∵，∴，，∵直線的表達式為，∴當時，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或．類型三反比例函數(shù)與平行四邊形結合例．如圖，在平行四邊形中，點在軸正半軸上，點是的中點，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，且的面積為，則．

【答案】【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質、平行四邊形的性質，數(shù)形結合是解題的關鍵．延長交點軸于，由的面積，可求，設點坐標為，可得，進而求解坐標，由中點坐標公式得到坐標，由都在反比例函數(shù)圖象上列等式，即可求解．【詳解】解：如圖，

延長交點軸于，的面積為，點是的中點，設點坐標為，，，，根據(jù)中點坐標公式可得，都在反比例函數(shù)圖象上，，解得，．故答案為：．【變式訓練1】．如圖，平行四邊形的頂點A，B在函數(shù)的圖象上，邊與y軸交于點D，軸于點E．若的面積為8，則的值為．【答案】2【分析】本題主要考查平行四邊形的性質以及反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義；根據(jù)題意得，，，則由，化簡得到，結合反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得，即可求得答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，的面積為8，，即，，，，即；點在函數(shù)的圖象上，，即，，；故答案為：2．【變式訓練2】．已知點A、B分別在反比例函數(shù)和的圖像上，四邊形為平行四邊形．將沿y軸向上平移，使點C落在反比例函數(shù)的圖像上的D點，則兩個平行四邊形重疊部分的面積為．【答案】【分析】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質，直線與雙曲線的交點的求法．先將點A，B代入和，求出反比例函數(shù)解析式，利用平行四邊形性質求出，設C點往上平移后為，代入，求出，根據(jù)平移的性質求出點坐標，由此可求出兩個平行四邊形重疊部分的平行四邊形的面積．【詳解】解：把點A代入，得，即為，把B代入，得，即為，點A、B，，，，設C點往上平移后為，在上，，∴，平行四邊形沿y軸向上平移個單位，設直線的解析式為，代入A，得，即直線的解析式為，如圖，當時，，則點，到距離為，重疊的陰影部分的面積為．故答案為：．【變式訓練3】．如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點O是坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點C在函數(shù)的圖象上，點B在函數(shù)的圖象上．若，則的值為．【答案】6【分析】本題考查了等腰三角形的性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質，表示出點的坐標是解題的關鍵．作于，由等腰三角形三線合一的性質得出，利用平行四邊形的性質可知，故設，則，代入即可求得的值．【詳解】解：作于，，，，設，則，點在函數(shù)的圖象上．，故答案為：6．類型四反比例函數(shù)與矩形結合例．如圖，點在函數(shù)的圖像上，過作軸于點，交直線于點，作軸于點，交直線于點，分別在矩形的外側構造矩形，．若是的中點，圖中陰影部分的面積為7，則的值為．【答案】6【分析】設，則，，根據(jù)陰影部分的面積為7，列出方程求出值，從而計算出值，即可得值．【詳解】解：設，則，，陰影部分的面積為7，，解得（舍去）或，當時，，，點在反比例函數(shù)圖象上，．故答案為：6．【點睛】本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)的幾何意義、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、矩形的性質，熟練掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關鍵．【變式訓練1】．如圖，、是反比例函數(shù)（）的圖象上兩點，點、、、分別在坐標軸上，若正方形的面積為6，則矩形的面積為．【答案】6【分析】本題主要考查反比例函數(shù)中比例系數(shù)的幾何意義和函數(shù)圖象的對稱性，難易程度適中，是中考較常見的考查點．根據(jù)雙曲線的圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的四邊形的面積的關系即，進行解答即可．【詳解】解：，．故答案為：6．【變式訓練2】．如圖，四邊形為矩形，點A在第二象限，點A關于的對稱點為點D，點B，D都在函數(shù)的圖象上，軸于點E．若的延長線交x軸于點F，當矩形的面積為時，的值為，點F的坐標為．【答案】【分析】連接，作軸，設點，，根據(jù)矩形的面積得出三角形的面積，將三角形的面積轉化為梯形的面積，從而得出a，b的等式，將其分解因式，從而得出a，b的關系，進而在直角三角形中，根據(jù)勾股定理列出方程，進而求得B，D的坐標，進一步可求得結果．【詳解】解：如圖，作軸于G，連接，設和交于I，設點，，由對稱性可得：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴(，∴，∴，∴，（舍去），∴），即：，在中，由勾股定理得，，∴，∴，∴，∵直線的解析式為：，∴直線的解析式為：，當時，，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案為：，．【點睛】本題考查了矩形性質，軸對稱性質，反比例函數(shù)的“k”的幾何含義，勾股定理，一次函數(shù)及其圖象性質，分解因式等知識，解決問題的關鍵是變形等式，進行分解因式．【變式訓練3】．如圖，矩形的頂點，分別為反比例函數(shù)與，點，在軸上，，分別交軸于點，，則陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，反比例函數(shù)的圖象上點的坐標特征，矩形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．設點，求出的長，根據(jù)相似三角形的判定和性質以及三角形的面積公式即可得到答案．【詳解】解：設點，則，的縱坐標為，，，的橫坐標為，，，，，，故答案為：．類型五反比例函數(shù)與菱形結合例．如圖，在菱形中，，，菱形的一個頂點C在反比例函數(shù)的圖象上，則反比例函數(shù)的解析式為．【答案】【分析】此題是反比例函數(shù)和幾何綜合題，過C作于E，利用菱形的性質和含角的直角三角形的性質求出點C的坐標，再根據(jù)頂點C在反比例函數(shù)的圖象上求出k的值，即可得到答案．【詳解】解：過C作于E，∵在菱形中，，∴，∵，∴，∴，∴∴點C的坐標為，∵頂點C在反比例函數(shù)的圖象上，∴，得，即，故答案為：．【變式訓練1】．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點在軸正半軸上，點在一個反比例函數(shù)的圖象上，若，且菱形的面積為12，則該反比例函數(shù)的表達式為．【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，延長交軸于點D，過B點作于E點，先求出，然后根據(jù)求出，然后再根據(jù)圖象的位置解題即可．【詳解】解：延長交軸于點D，過B點作于E點，∵是菱形，∴，∴，∴，∴，∴，同理，∴，又∵圖象在第二象限，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為，故答案為：．【變式訓練2】．如圖，菱形的頂點的坐標為頂點在軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點B，則的值為．【答案】【分析】此題考查了菱形的性質以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，由菱形的頂點的坐標為，可求得，繼而求得點的坐標，然后由待定系數(shù)法即可求得的值，注意根據(jù)菱形的性質求得點的坐標是關鍵．【詳解】解：∵點的坐標為頂點在軸的正半軸上，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴點的坐標為，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點B，∴，故答案為：．【變式訓練3】．如圖所示，四邊形是菱形，邊在x軸上，點，點，雙曲線與直線交于點D，點E，則的面積為．【答案】35【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，勾股定理，菱形的性質，先利用勾股定理求出，再由菱形的性質得到，則，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式為，直線的解析式為，然后聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出，再根據(jù)，進行求解即可．【詳解】解：∵點，點，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，把代入中得，∴反比例函數(shù)解析式為，設直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，∴，∴，故答案為：35．類型六反比例函數(shù)與正方形結合例．如圖，正方形放置在直角坐標系中，點A的坐標為2,0，點B的坐標為反比例函數(shù)經(jīng)過點C，將正方形向上平移m個單位長度后，點D恰好落在雙曲線上，則m值為．【答案】【分析】作于E，于F，利用證明，得，可得點C、D的坐標，從而得出反比例函數(shù)的解析式，進一步求得平移的距離．【詳解】解：作于E，于F，∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，同理，∴，∵點A的坐標為2,0，點B的坐標為0,4．∴，∴，∴，∵反比例函數(shù)經(jīng)過點C，∴，∴，把代入得，，∴．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征等知識，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．【變式訓練1】．如圖，四邊形是矩形，是正方形，點C在y軸的正半軸上，點F在上，點B和點E在的圖象上，，，則正方形的邊長為．【答案】2【分析】本題考查了正方形和矩形的性質，反比例函數(shù)的圖象上點的坐標特征，先求出B點坐標為，可得反比例函數(shù)解析式為，設，則，所以E點坐標為，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得，解方程求出t的值即可．【詳解】解：∵，四邊形是矩形，∴，∴B點坐標為，把代入中，得，∴反比例函數(shù)解析式為，設，則，∵四邊形是正方形，∴，∴E點坐標為，∵點E在上，∴，整理得：，解得：（舍去），，∴正方形的邊長為2，故答案為：2．【變式訓練2】．如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于A點，交y軸于B點，以為邊作正方形（C、D在第一象限）其中頂點D恰好落在雙曲線上，現(xiàn)將正方形沿x軸向右平移a個單位，使得頂點B落在雙曲線上，則a的值為．【答案】43/【分析】依據(jù)題意，作軸于H，可證，從而求得D的坐標，代入反比例函數(shù)解析式求出k，由正方形向右平移B落在雙曲線上，利用B的縱坐標不變代入反比例函數(shù)解析式進而求出此時橫坐標，即得a的值．【詳解】解：如圖，作軸于H，在中，令，解得：，即B的坐標是0,3．令，解得：，即A的坐標是1,0．則．∵，∴，又∵直角中，，∴．又，∴．∴．∴．把代入，∴．∴反比例函數(shù)解析式為，∵B0,3∵正方形向右平移a個單位，∴平移后B點的坐標為．由平移后在雙曲線上，∴．∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定與性質，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確求得平移后B的坐標是關鍵．【變式訓練3】．如圖，正方形的頂點分別在反比例函數(shù)和的圖象上，若軸，點的橫坐標為2，則的值為．【答案】8【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象及應用，涉及正方形的性質，解題的關鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關點坐標．連接交于E，延長交x軸于F，連接、，由四邊形是正方形，設，，由軸，可以表示點A，B的坐標，可求得m，a的關系，再由在反比例函數(shù)（）的圖象上，在（）的圖象上，即可解答本題．【詳解】解：連接交于E，延長交x軸于F，連接、，如圖：∵四邊形是正方形，∴．設，，∵軸，∴，．∵A，B都在反比例函數(shù)（）的圖象上，∴．∵，∴，∴．∵在反比例函數(shù)（）的圖象上，在（）的圖象上，∴，∴，故答案為：8．1．如圖，菱形的頂點A，分別在軸，軸上，軸，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為．【答案】5【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象，菱形的性質，正確理解反比例函數(shù)的圖象是解題的關鍵．設菱形的對角線，相交于點E，則根據(jù)菱形的性質可求出點B的坐標，代入反比例函數(shù)關系式求解，即得答案．【詳解】設菱形的對角線，相交于點E，則，，軸，軸，，把代入，得，．故答案為：5．2．如圖，把邊長為2的菱形放在平面直角坐標系中，邊在x軸上，，點A的坐標是2,0，E是邊的中點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點E，則k的值是【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，連接，由菱形的性質以及，證得是等邊三角形，由E是邊的中點，得出，解直角三角形求得E的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．【詳解】解：連接，∵菱形的邊長為2，，∴，∴是等邊三角形，∵E是邊的中點，則，∴，∴，，∵點A的坐標是，∴，∴，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點E，∴，故答案為：．3．如圖，矩形的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點D在上，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D及矩形的對稱中心M，順次連接點D、O、M．若的面積為4，則k的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，利用中心對稱的性質可得，則，再根據(jù)比例關系得到，從而計算出，繼而求出k值．【詳解】如圖，M是矩形的對稱中心，延長必過點B，則，∵的面積為4，∴∵，∴，∴，∴．故答案為：．4．如圖，矩形的頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D及矩形的對稱中心M，連接．若的面積為3，則k的值為．【答案】4【分析】本題考查了矩形的性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．設點的坐標為，根據(jù)矩形對稱中心的性質得出延長恰好經(jīng)過點)，確定，然后結合圖形及反比例函數(shù)的意義，得出，代入求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，設點的坐標為，∵矩形的對稱中心，∴延長恰好經(jīng)過點，∵點在上，且，∴，∴，∴，∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵，∴，∴，故答案為：4．5．如圖，已知點是反比例函數(shù)的圖象上的一點，連接并延長，交雙曲線的另一支于點，點是軸上一動點，若是等腰三角形，則點的坐標是．【答案】或或或【分析】本題主要考查等腰三角形的性質和反比例函數(shù)的對稱性，勾股定理的應用，判斷出只有或兩種情況是解題的關鍵，注意方程思想的應用．由對稱性可知為的中點，則當為等腰三角形時只能有或，設點坐標為，可分別表示出和，從而可得到關與的方程，可求得，可求得點坐標．【詳解】解：反比例函數(shù)圖象關于原點對稱，、兩點關于對稱，為的中點，且，當為等腰三角形時有或，設點坐標為，，，，，，當時，則有，解得或10，此時點坐標為或；當時，則有，解得或，此時點坐標為或；綜