高考數(shù)學(xué)熱點專題7之3立體幾何中的翻折問題（原卷版）

立體幾何中的翻折問題思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)一．在考查立體幾何的高考解答題中，翻折問題與探索性問題也是?？碱}型，考查熱點仍是點、線、面的位置關(guān)系的判斷和空間角的計算，解題的關(guān)鍵是明確翻折前后不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目條件合理引入?yún)?shù)，利用方程的思想解題．二．翻折問題的兩個解題策略確定翻折前后變與不變的關(guān)系畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點、線、面之間的位置關(guān)系會發(fā)生變化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決確定翻折后關(guān)鍵點的位置所謂的關(guān)鍵點，是指翻折過程中運(yùn)動變化的點．因為這些點的位置移動，會帶動與其相關(guān)的其他的點、線、面的關(guān)系變化，以及其他點、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化．只有分析清楚關(guān)鍵點的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點，確定其他點、線、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與計算三．三步解決平面圖形翻折問題母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)【典例】(2019·全國Ⅲ卷)圖①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖②.(1)證明：圖②中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖②中的二面角B－CG－A的大小.【解題指導(dǎo)】【解題技法】1.折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的關(guān)系，尤其是隱含的垂直關(guān)系.一般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.2.由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心展開，這是解決空間垂直問題的技巧.【跟蹤訓(xùn)練】（2022··鹽城中學(xué)模擬預(yù)測）圖1是直角梯形，，，，以為折痕將折起，使點到達(dá)的位置，且，如圖2.（1）求證：平面平面；（2）已知點為線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為4的正三角形中，為邊的中點，過作于.把沿翻折至的位置，連接?.(1)為邊的一點，若，求證：平面；(2)當(dāng)四面體的體積取得最大值時，求平面與平面的夾角的余弦值.2．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，是邊上的高，以為折痕，將折至的位置，使得.(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖1，在平面四邊形ABCD中，，，于點E，于點F，且與AB交于點G，，將沿DG折起，使得平面平面BCDG，得到四棱錐，如圖2，P，Q分別為CD，AF的中點．(1)求證：平面ABP；(2)若，求直線DQ與平面QBP所成角的正弦值．4．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點.(1)求四面體的體積；(2)是否存在側(cè)棱上一點，使面與面所成角的正切值為？若存在，請描述點的位置；若不存在，請說明理由.5．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖（1），在梯形中，，，，為中點，現(xiàn)沿將折起，如圖（2），其中分別是的中點.(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.6．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）如圖1，在直角梯形BCDE中，，，A為DE的中點，且，，將沿AB折起，使得點E到達(dá)P處（P與D不重合），記PD的中點為M，如圖2．(1)在折疊過程中，PB是否始終與平面ACM平行？請說明理由；(2)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時，求CD與平面ACM所成角的正弦值．7．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┰谥苯翘菪?如圖1)，，，AD＝8，AB＝BC＝4，M為線段AD中點．將△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到幾何體B－ACD(如圖2)．(1)求證：CD⊥平面ABC；(2)求AB與平面BCM所成角的正弦值．8．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖①，在等腰直角三角形中，分別是上的點，且滿足.將沿折起，得到如圖②所示的四棱錐.(1)設(shè)平面平面，證明：⊥平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.9．（2023·吉林·東北師大附中?？级＃┤鐖D，等腰梯形中，//，，，為中點，以為折痕把折起，使點到達(dá)點的位置（平面）.(1)證明：；(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.10．（2019·山東·校聯(lián)考三模）已知正方形的邊長為4，E、F分別為AD、BC的中點，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖所示的60°的二面角，點M在線段AB上．(1)若M為