方法技巧專題16 函數(shù)中恒成立與存在性問題(解析版)

方法技巧專題16函數(shù)中恒成立與存在性問題解析篇一、函數(shù)中恒成立與存在性問題知識框架二、函數(shù)中恒成立問題【一】分離參數(shù)法利用分離參數(shù)法來確定不等式利用分離參數(shù)法來確定不等式,（,為實參數(shù)）恒成立中參數(shù)的取值范圍的基本步驟:=1\*GB3①將參數(shù)與變量分離,即化為（或）恒成立的形式；=2\*GB3②求在上的最大（或最?。┲?；=3\*GB3③解不等式(或),得的取值范圍.1.例題【例1】不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．【解析】對恒成立，即對恒成立，從而求，的最小值，而故即當時，等號成立，方程在內(nèi)有根，故，所以，故選D.【例2】已知函數(shù)的圖象在點（為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為．(1)求實數(shù)的值；(2)若對任意成立,求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)∵,∴,又∵的圖象在點處的切線的斜率為,∴,即,∴；(2)由（1）知,,∴對任意成立對任意成立,令,則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值,,令,解得,當時,,∴在上是增函數(shù)；當時,,∴在上是減函數(shù)．故在處取得最大值,∴即為所求.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知函數(shù),,其中且,．(1)若,且時,的最小值是－2,求實數(shù)的值；(2)若,且時,有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵,∴易證在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,∴,,∴當時,,由,解得（舍去）當時,,由,解得.綜上知實數(shù)的值是.(2)∵恒成立,即恒成立,∴.又∵,,∴,∴恒成立,∴.令,∴.故實數(shù)的取值范圍為.【練習(xí)2】若，恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè),則，原不等式等價于恒成立，設(shè)是單調(diào)遞增的，零點為,函數(shù)y的最小值為1，故，，零點是在上單調(diào)遞增，故，故.故選C.【練習(xí)3】已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，即，當時，，當時，，故當時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當函數(shù)單增，當函數(shù)單減，故，所以.當時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C.【二】函數(shù)性質(zhì)法利用函數(shù)性質(zhì)求解恒成立問題，常見的是利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值。因含有參數(shù)，大多要分類討論.利用函數(shù)性質(zhì)求解恒成立問題，常見的是利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值。因含有參數(shù)，大多要分類討論.=1\*GB3①?x∈D,均有f(x)>A恒成立,則f(x)min>A；=2\*GB3②?x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,則f(x)max<A；=3\*GB3③?x∈D,均有f(x)>g(x)恒成立,則F(x)=f(x)-g(x)>0,∴F(x)min>0；=4\*GB3④?x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,則F(x)=f(x)-g(x)<0,∴F(x)max<0；=5\*GB3⑤?x1∈D,?x2∈E,均有f(x1)>g(x2)恒成立,則f(x)min>g(x)max；=6\*GB3⑥?x1∈D,?x2∈E,均有f(x1)<g(x2)恒成立,則f(x)max<g(x)min.1.例題【例1】定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為當時，不等式恒成立，所以，當時，當時，，當時，，因此當時，，選B.【例2】若對，，且，都有，則的取值范圍是（）注:（為自然對數(shù)的底數(shù)，即…）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為對于,定義域為,所以當滿足時,成立化簡可得,移項合并后可得,即因為,所以可等價于即滿足為減函數(shù)，，因為為減函數(shù)，所以,即，則，因為對，，且，都有所以,即的取值范圍為，故選C.【例3】已知函數(shù)，對任意x∈[1，＋∞)，當恒成立時實數(shù)m的最大值為1，則實數(shù)a的取值范圍是．【解析】對任意x∈[1，＋∞)，有f(x)≥mx恒成立，即恒成立，即，又當f(x)≥mx恒成立時實數(shù)m的最大值為1，所以.因為所以問題等價轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即在上恒成立.設(shè)（），①當時，因為，所以，因此在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即在上恒成立；②當時，在上，有；在上，有，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，在上為單調(diào)遞增函數(shù).當，有，即在上不恒成立.綜合①②得：實數(shù)的取值范圍是.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知函數(shù)，，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為所以即，即當時，恒成立，所以在內(nèi)是一個增函數(shù)，設(shè)，則有即，設(shè)則有，當時，即，當時，即所以當時，最小，即，故選D.【練習(xí)2】已知定義在上的偶函數(shù)在上遞減，若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)可得，則原不等式可化為，即，也即在上恒成立，由于，因此，令，則，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，當時，函數(shù)，所以，應(yīng)選答案D.【練習(xí)3】若，滿足恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】（1），顯然成立；（2）時，由，由在為增在恒成立，由在為增，，，綜上，，故答案為.【三】數(shù)形結(jié)合法對于參數(shù)不能單獨放在一側(cè)的,即不能用分離參數(shù)法解決問題時，可以利用函數(shù)圖象來解：對于參數(shù)不能單獨放在一側(cè)的,即不能用分離參數(shù)法解決問題時，可以利用函數(shù)圖象來解：利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題,應(yīng)先構(gòu)造函數(shù),作出符合已知條件的圖形,再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系,得出答案或列出條件,求出參數(shù)的范圍.（1）對于一次函數(shù)有：對于二次函數(shù),上恒成立；上恒成立.1.例題【例1】已知函數(shù),在恒有,求實數(shù)的取值范圍.【解析】令,則對恒成立,而是開口向上的拋物線.當圖象與x軸無交點滿足,即,解得.當圖象與x軸有交點,且在時,則由二次函數(shù)根與系數(shù)的分布知識及圖象可得：，解得,故由①②知.【例2】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－|x3－2x2＋x|，x<1，,lnx，x≥1，))若對于?t∈R，f(t)≤kt恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是________．【答案】[eq\f(1,e)，1]【解析】令y＝x3－2x2＋x，x<1，則y′＝3x2－4x＋1＝(x－1)·(3x－1)，令y′>0，即(x－1)(3x－1)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>1.又因為x<1，所以x<eq\f(1,3).令y′<0，得eq\f(1,3)<x<1，所以y的增區(qū)間是(－∞，eq\f(1,3))，減區(qū)間是(eq\f(1,3)，1)，所以y極大值＝eq\f(4,27).根據(jù)圖像變換可作出函數(shù)y＝－|x3－2x2＋x|，x<1的圖像．又設(shè)函數(shù)y＝lnx(x≥1)的圖像經(jīng)過原點的切線斜率為k1，切點(x1，lnx1)，因為y′＝eq\f(1,x)，所以k1＝eq\f(1,x1)＝eq\f(lnx1－0,x1－0)，解得x1＝e，所以k1＝eq\f(1,e).函數(shù)y＝x3－2x2＋x在原點處的切線斜率k2＝1.因為?t∈R，f(t)≤kt，所以根據(jù)f(x)的圖像，數(shù)形結(jié)合可得eq\f(1,e)≤k≤1.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知定義在上的奇函數(shù)滿足:當時,,若不等式對任意實數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C.D．【答案】A【解析】當時,在上是增函數(shù)對任意實數(shù)恒成立對任意實數(shù)恒成立,結(jié)合二次函數(shù)圖象可得,故選A.【練習(xí)2】若不等式對任意恒成立,實數(shù)x的取值范圍是.【答案】【解析】可轉(zhuǎn)化為,設(shè),則是關(guān)于m的一次型函數(shù),要使恒成立,只需,解得.【練習(xí)3】已知函數(shù)若不等式對任意上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得：設(shè)，易得，可得，與x軸的交點為，①當，由不等式對任意上恒成立，可得臨界值時，相切，此時，，可得，可得切線斜率為2，，，可得切點坐標（3，3），可得切線方程：，切線與x軸的交點為,可得此時，，綜合函數(shù)圖像可得；②同理，當，由相切，（1）當，，可得，可得切線斜率為-2，，，可得切點坐標（1，3），可得切線方程，可得，綜合函數(shù)圖像可得，（2）當，，相切，可得，此時可得可得切線斜率為-2，，，可得切點坐標,可得切線方程：，可得切線與x軸的交點為，可得此時，，綜合函數(shù)圖像可得，綜上所述可得，故選C.三、函數(shù)中存在性問題=1\*GB3=1\*GB3①.,使得成立,則；=2\*GB3②.,使得成立,則；=3\*GB3③.,使得成立,設(shè),∴；=4\*GB3④.,使得成立,設(shè),∴；=5\*GB3⑤.,,使得成立,則；=6\*GB3⑥.,,均使得成立,則.=7\*GB3⑦.,,均使得成立,則.（其中、）1.例題【例1】已知函數(shù)f(x)＝xeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2－a))，若存在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2))，使得f(x)<2，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(－1,5)【解析】解法1當x∈[1,2]時，f(x)<2，等價于|x3－ax|<2，即－2<x3－ax<2，即x3－2<ax<x3＋2，得到x2－eq\f(2,x)<a<x2＋eq\f(2,x)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))min<a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))max，得到－1<a<5.解法2原問題可轉(zhuǎn)化為先求：對任意x∈[1,2]，使得f(x)≥2時，實數(shù)a的取值范圍．則有x|x2－a|≥2，即|a－x2|≥eq\f(2,x).(1)當a≥4時，a≥x2＋eq\f(2,x)≥22＋eq\f(2,2)＝5，得到a≥5.(2)當a≤1時，x2－a≥eq\f(2,x)，有a≤x2－eq\f(2,x)≤1－eq\f(2,1)＝－1，得到a≤－1.(3)當1<a<4時，|a－x2|≥0，與eq\f(2,x)>0矛盾．那么有a≤－1或a≥5，故原題答案為－1<a<5.【例2】已知,,若存在,使得,求實數(shù)的取值范圍；【答案】【解析】在上都是增函數(shù),所以的值域的值域.若存在,使得,則,即4,所以.實數(shù)的取值圍是.【例3】已知,,若存在,使得,求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】在上都是增函數(shù),所以的值域的值域.若存在使得,則,∴且,∴實數(shù)的取值圍是.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的值為______．【答案】【解析】函數(shù)f（x）=（x+a）2+（ex+）2，函數(shù)f（x）可以看作是動點M（x，ex）與動點N（-a，-）之間距離的平方，動點M在函數(shù)y=ex的圖象上，N在直線y=x的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由y=ex得，y′=ex=，解得x=-1，所以曲線上點M（-1，）到直線y=x的距離最小，最小距離d=，則f（x）≥，根據(jù)題意，要使f（x0）≤，則f（x0）=，此時N恰好為垂足，由KMN=-e，解得a=．故答案為：．【練習(xí)2】已知函數(shù)，若、，，使得成立，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．或【答案】B【解析】當時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，則：、，，使得成立.當時，，函數(shù)在上遞增，在也遞增，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時一定不存在、，，使得成立.故選B.【練習(xí)3】已知函數(shù)，，若存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，當時，，當且僅當時取“=”，當時，函數(shù)，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)增，所以，綜上可得，因為存在實數(shù)，使得成立，則，即，即，解得或，故實數(shù)的取值范圍為，故選D.【練習(xí)4】已知函數(shù),.（1）函數(shù)的圖象與的圖象無公共點,求實數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實數(shù),使得對任意的,都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在,請求出整數(shù)的最大值；若不存在,請說理由.（參考數(shù)據(jù)：,,）.【解析】（1）函數(shù)與無公共點,等價于方程在無解令,則令得＋0－增極大值減因為是唯一的極大值點,故……………4分故要使方程在無解,當且僅當,故實數(shù)的取值范圍為（2）假設(shè)存在實數(shù)滿足題意,則不等式對恒成立.即對恒成立.令,則,令,則,∵在上單調(diào)遞增,,,且的圖象在上連續(xù),∴存在,使得,即,則,∴當時,單調(diào)遞減；當時,單調(diào)遞增,則取到最小值,∴,即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.,∴存在實數(shù)滿足題意,且最大整數(shù)的值為.四、函數(shù)中恒成立與存在性的綜合問題=1\*GB3=1\*GB3①.,,使得成立,則=2\*GB3②.,,使得成立,則.=3\*GB3③.,,均使得成立,則.（其中、）1.例題【例1】已知函數(shù)，，，總，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】∵，∴∵，∴，∴∴要使，總，使得成立，則需滿足：∴，解得或∴的取值范圍是.【例2】已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋1，g(x)＝eq\f(a,x)，其中a>0，x≠0.(1)對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)對任意，任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)對任意，存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍；(4)存在，任意，使成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】（1）因為對任意x∈[1,2]，都有f(x)>g(x)恒成立，即對任意x∈[1,2]，x2－2ax＋1>eq\f(a,x)恒成立，所以a<eq\f(x3＋x,2x2＋1)在x∈[1,2]上恒成立．令φ(x)＝eq\f(x3＋x,2x2＋1)，則φ′(x)＝eq\f(2x4＋x2＋1,(2x2＋1)2)>0，所以φ(x)min＝φ(1)＝eq\f(2,3)，所以a<eq\f(2,3).又因為a>0，所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))).（2）函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2在區(qū)間[1,2]上的最小值有以下三種情況：①當0<a≤1時，f(x)min＝f(1)＝2－2a；②當1<a<2時，f(x)min＝f(a)＝a2－2a2＋1＝1－a2；③當a≥2時，f(x)min＝f(2)＝5－4a.函數(shù)g(x)的最大值為eq\f(a,2).當0<a≤1時，由f(x)min>eq\f(a,2)，即2－2a>eq\f(a,2)，解得0<a<eq\f(4,5)；當1<a<2時，由f(x)min＝1－a2>eq\f(a,2)，無解；當a≥2時，f(x)min＝5－4a>eq\f(a,2)，無解．綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5))).（3）函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2在區(qū)間[1,2]上的最小值有以下三種情況：①當0<a≤1時，f(x)min＝f(1)＝2－2a；②當1<a<2時，f(x)min＝f(a)＝a2－2a2＋1＝1－a2；③當a≥2時，f(x)min＝f(2)＝5－4a.函數(shù)g(x)的最小值為當0<a≤1時，由f(x)min>，即2－2a>，解得0<a<；當1<a<2時，由f(x)min＝1－a2>，無解；當a≥2時，f(x)min＝5－4a>，無解．綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.（4）函數(shù)g(x)的最大值為eq\f(a,2).函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2在區(qū)間[1,2]上的最大值有以下三種情況：①當0<a≤時，，解得0<a<；②當時，，無解.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+cx2∈0,2，使得f【解析】由題意，對任意的x1∈0,2，存在x所以fmin因為a+b+c=0，所以fx=ax①當?b2a<0即ba>0所以fminx所以ba②當0≤?b2a<1fx在0,?b2a上遞減，在所以fmin所以由?b24a③當1≤?b2a<2fx在0,?b2a上遞減，在?所以fmin所以由?b24a所以?4<b④當?b2a≥2即ba≤?4所以fmin所以ba綜上所述：所以ba<?4+2【練習(xí)2】已知函數(shù)fx（1）若曲線y=fx在x=1和x=3處的切線互相平行，求a（2）求fx（3）設(shè)gx=x2?2x，若對x1∈0,2【解析】（1）f?x由題意知f?1即a?2a+1+2=3a?2a+1

（2）f?x①當a≤0時，因為x>0，所以ax?1<0，在區(qū)間0,2上，f?x在區(qū)間2,+∞上，f?x<0故fx的單調(diào)遞增區(qū)間是0,2，單調(diào)遞減區(qū)間是2,+∞．②當0<a<12時，1a>2，在區(qū)間0,2和在區(qū)間2,1a上故fx的單調(diào)遞增區(qū)間是0,2和1a,+∞③當a=12時，f?x=x?2④當a>12時，0<1a<2，在區(qū)間0,在區(qū)間1a,2上，故fx的單調(diào)遞增區(qū)間是0,1a和2,+∞

（3）由題意知，在0,2上有fx由已知得gxmax①當a≤12時，fx故fx所以?2a?2+2ln2<0，解得故ln2?1<a≤②當a>12時，fx在1a故fx由a>12可知所以2lna>?2，即?2ln所以fx綜上所述，a>ln五、課后自我檢測1．已知函數(shù)的圖象在點（為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為．(1)求實數(shù)的值；(2)若對任意成立,求實數(shù)的取值范圍.(2)由（1）知,,∴對任意成立對任意成立,令,則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值,,令,解得,當時,,∴在上是增函數(shù)；當時,,∴在上是減函數(shù)．故在處取得最大值,∴即為所求.2.已知函數(shù),,其中且,．(1)若,且時,的最小值是－2,求實數(shù)的值；(2)若,且時,有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).(2)∵恒成立,即恒成立,∴.又∵,,∴,∴.令,∴.故實數(shù)的取值范圍為.3.設(shè)函數(shù),其中,若存在唯一的整數(shù),使得,則的取值范圍是（）A．B．C．