方法技巧專題12 函數單調性、極值、最值與導數問題（解析版）

方法技巧專題12函數單調性、極值、最值與導數問題解析篇一、函數單調性、極值、最值知識框架二、函數單調性、極值、最值問題題型【一】判斷函數單調性1.例題【例1】已知函數判斷函數的單調性。【解析】由題意可求，1.當時，在上為減函數；2.當時，令，解得,令，解得于是在為增函數，在為減函數；【例2】已知函數，其中a∈R，討論并求出f(x)在其定義域內的單調區(qū)間．【解析】，設g(x)＝x2－ax＋1，∵x＞0，∴①當a＜0時，g(x)＞0，f′(x)＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立，此時函數f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增；②當a＞0時，.當1－≥0，即0＜a≤2時，g(x)＞0，f′(x)＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立，此時函數f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增；當a＞2時，方程g(x)＝0的兩根分別為，且0＜x1＜x2，∴當x∈(0，x1)時，g(x)＞0，f′(x)＞0，故函數f(x)在(0，x1)上單調遞增；當x∈(x1，x2)時，g(x)＜0，f′(x)＜0，故函數f(x)在(x1，x2)上單調遞減；當x∈(x2，＋∞)時，g(x)＞0，f′(x)＞0，故函數f(x)在(x2，＋∞)上單調遞增．綜上所述，當a≤2時，函數f(x)的單調增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；當a＞2時，函數f(x)的減區(qū)間為；增區(qū)間為(0，x1)，(x2，＋∞)．2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知函數，.設，討論函數的單調性；【解析】因為，所以，①若，.∴在上單調遞減.②若，則，當，或時，，當時，，∴在，上單調遞減，在上單調遞增.③若，則，當，或時，，當時，.∴在，上單調遞減，在上單調遞增.【練習2】已知，求單調區(qū)間.【解析】該函數定義域為（第一步：對數真數大于0求定義域）令，解得（第二步，令導數等于0，解出兩根）（1）當時，單調增，單調減（第三步，在不在進行分類，當其不存在得到；第四步數軸穿根或圖像判斷正負）（2）當時即單調增，（第五步，x1在區(qū)間時，進行比較大小，當得到第四步圖像判斷正負）①當時，即單調增，單調減（當得到；第四步圖像判斷正負）②當時，即單調增，單調減（得到；第四步圖像判斷正負）綜上可知：，單調增，單調減；，單調增單調增，單調減，單調增，單調減【二】根據單調性求參數1.例題【例1】（1）若函數在區(qū)間上是減函數，則實數的取值范圍是.（2）函數在區(qū)間上不單調，實數的范圍是（）（3）若函數在區(qū)間內單調遞增，則實數的取值范圍為.（4）若函數存在增區(qū)間，則實數的取值范圍為.【解析】（1）因為函數的單調減區(qū)間為，又函數在區(qū)間上是減函數，則，則，解得：，（2），，令，得.當或時，；當時，.所以，函數的極大值點為，極小值點為.由題意可得或，解得或.（3）由，即，解得.二次函數的對稱軸為.由復合函數單調性可得函數的單調遞增區(qū)間為．要使函數在區(qū)間內單調遞增，則，即，解得.（4）若函數不存在增區(qū)間，則函數單調遞減，此時在區(qū)間恒成立，可得，則，可得，故函數存在增區(qū)間時實數的取值范圍為．【例2】已知函數恰有三個單調區(qū)間，則實數a的取值范圍為（）A． B．C． D．【解析】（1），∴有三個單調區(qū)間，∴，解得且．故選B．2.鞏固提升綜合練習【練習1】函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得：在上單調遞增等價于：在上恒成立即：當時，本題正確選項：【練習2】已知函數f(x)=x3+ax2+x+1（a∈R）在A．(0,3] B．(?∞,3] C．【答案】C【解析】f'x=3x2+2ax+1假設f(x)在(?23,?13)內不存在單調遞減區(qū)間，而f(x)又不存在常函數情況，所以f(x)在(?2恒成立，解得a≤3，所以函數f(x)在(?23,?1【練習3】若函數在區(qū)間上是單調函數，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】單調遞增，單調遞減.函數在區(qū)間上是單調函數區(qū)間上是單調遞減不滿足只能區(qū)間上是單調遞增.故故答案選B【三】函數的極值問題(1)函數的極小值：函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其它點的函數值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．(2)函數的極大值：函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近的其他點的函數值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．1.例題【例1】(1)函數的極大值點是_______，極大值是________。(2)函數的極大值為，則實數__________．【答案】(1)216(2)3【解析】(1)依題意，故函數在或時，導數小于零，函數單調遞減，在時，導數大于零，函數單調遞增，故函數在處取得極大值.即極大值點為，極大值為.(2)函數的極大值為，由題意知：，當時，有極大值，所以故答案為3 【例2】(1)函數在處有極值為7，則（）A．-3或3 B．3或-9 C．3 D．-3(2)若函數在上有小于的極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】(1)C(2)B【解析】(1)，∴，解得或，時，，當時，，當時，，是極小值點；時，，不是極值點．∴．故選C．(2)由因為在上有小于的極值點，所以有小于0的根，由的圖像如圖：可知有小于0的根需要，所以選擇B2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知函數，，若在處與直線相切．（1）求的值；（2）求在上的極值．【答案】（1）（2）極大值為，無極小值．【解析】（1）∵函數在處與直線相切，∴，即，解得；（2）由（1）得：，定義域為．，令，解得，令，得．∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴在上的極大值為，無極小值．【練習2】若函數在內有兩個不同的極值點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，，因為在內有兩個不同的極值點，所以在內有兩個不同的解，由于是的一個解，則在上只有一個不為1的解，則，即函數與的圖象在上只有一個交點，且交點的橫坐標不為1，令，求導得，則時，；時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，且在上恒成立，，，，故當，即時，函數與的圖象在上只有一個交點.當時，函數與的圖象在上只有一個交點，但不符合題意，需舍去.故時，函數在內有兩個不同的極值點.故選D.【練習3】已知函數既存在極大值又存在極小值，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，由于函數既有極大值，又有最小值，則導函數有兩個零點，，即，解得或.因此，實數的取值范圍是，故選：B.【四】函數的最值問題求函數最值的五種常用方法及其思路求函數最值的五種常用方法及其思路(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值．(2)圖像法：先作出函數的圖像，再觀察其最高點、最低點，求出最值．(3)基本不等式法：先對解析式變形，具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值．(4)導數法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值．(5)換元法：對比較復雜的函數可通過換元轉化為熟悉的函數，再用相應的方法求最值．1.例題【例1】已知函數，當時，函數有極小值.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.【解析】（1），由題意得，解得，，經檢驗為的極小值點，符合題意.（2）由（1）得當時，；當時，.所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為.因為，，所以的最大值為.所以在上的值域為.【例2】（1）已知f(x)=?13x3+x在區(qū)間a<?1B．?2≤a<3C．?2≤a<1D．?3<a<1（2）已知函數在區(qū)間上有最大值無最小值，則實數的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）C【解析】（1）因為函數f（x）=﹣13x3+x在（a，10﹣a2）上有最大值，則其最大值必是區(qū)間上的極大值f′（x）=﹣x2+1，令f′（x）=﹣x2+1=0，可得x=±1，分析易得x=1是極大值點．對于f′（x）=﹣x2+1，結合二次函數的性質可得：a＜1＜10﹣且f（a）≤f（1），解得﹣2≤a＜1,故答案為：C（2）設函數在區(qū)間上有最大值無最小值即在有零點，且滿足：即故答案選C2.鞏固提升綜合練習【練習1】若是函數的極值點，則在上的最小值為______.【答案】【解析】，則，解得，所以，則.令，得或；令，得.所以在上單調遞減；在上單調遞增.所以.【練習2】已知函數f(x)=x3?ax2【答案】（?1,∞）【解析】∵f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣2ax=x(3x-2a)，當f′（x）=0時，x=0或x=2a3（1）當2a3∈（﹣∞，﹣1]時，即a≤?32時，f(x)在（-1，0）單調遞減，在（0，1）單調遞增，此時x=0時f（（2）當-1<2a3<0時，f(x)在（-1，2a3）單調遞增，在（2a3，0）單調遞增減，在（0，1）單調遞增，由題意f(x)=則有?1<（3）當a=0時，f(x)=x3在(?1（4）當0<2a3<1時，f(x)在（-1，0）單調遞增，在（0，2a3）單調遞增減，在（2a3，1）單調遞增，由題意f(x)=則有0<（5）當2a3≥1時，即a≥32時，此時f(x)在(?1?，?1)上沒有最小值.綜上：三、課后自我檢測1．若函數不是單調函數，則實數的取值范圍是（）.A．[0,+∞） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．(0,+∞）【答案】C【解析】函數的定義域為，函數的導數為，當時，，函數是單調增函數，不合題意；當時，函數在上遞減，在遞增，不是單調函數，則實數的取值范圍是，故選C.2．已知函數在上不單調，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.因為在上不單調，所以，故.故答案為A3．對于任意，，當時，恒有成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于任意，，當時，恒有成立，即成立，令，∴，∴在上單調遞減，∴在恒成立，∴在恒成立，∵當，，∴實數的取值范圍為，故選C.4．已知函數f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1，1)，則滿足f(a2－1)＋f(a－1)>0的a的取值范圍是()A．(0，2) B．(1，) C．(1，2) D．(0，)【答案】B【解析】∵函數f（x）＝x3+sinx，x∈（﹣1，1），則f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是奇函數；又f′（x）＝3x2+cosx＞0，∴f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上單調遞增；∵f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0，∴﹣f（a﹣1）＜f（a2﹣1），∴f（1﹣a）＜f（a2﹣1），∴，求得1＜a＜，故選：B．5．在上的極小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，令，所以或；因此，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以當時，取極小值，且極小值為.故選A6．在區(qū)間[1，5]上的最大值是（）A．-2 B．0 C．52 D．2【答案】C【解析】，，令，得.當時，；當時，.所以，函數的極小值為，又，，因此，函數在區(qū)間上的最大值為，故選：C.7．若函數f(x)=x3?3ax?a在區(qū)間(0,1)A．0≤a<1 B．0<a<1 C．?1<a<1 D．0<a<【答案】B【解析】令f'x=3x2∴0<a<1，∴8．已知函數,若恒成立,則整數的最大值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】f（x）＞恒成立，即h（x）=＞k即h（x）的最小值大于k．而h′（x）=，記g（x）=x﹣3﹣ln（x-1），（x＞2），則g′（x）=＞0，∴g（x）在（2，+∞）上單調遞增，又g（4）=1﹣ln3＜0，g（5）=2﹣2ln2＞0，∴g（x）=0存在唯一實根a，且滿足a∈（4，5），a-3=ln（a-1），當x＞a時，g（x）＞0，h′（x）＞0，當2＜x＜a時，g（x）＜0，h′（x）＜0，∴h（x）min=h（a）==a-1∈（3，4），故正整數k的最大值是3．故答案為：B9．已知f（x）=-x3-ax在（-∞，-1]上遞減，且g（x）=2x-ax在區(qū)間（1，2]上既有最大值又有最小值，則aA．a>?2 B．?3≤a C．?3≤a<?2 D．?3≤a≤?2【答案】C【解析】因為函數f(x)=?x3?ax所以f'x=?3x得?3x又因為g(x)=2x?ax在區(qū)間所以，可知g'x=2x+a也就是極值點，即有解2x+ax2=0，在可得?8≤a<?2,∴?3≤a<?2，故選C.10．已知函數f(x)=ax+xlnx，g(x)=?x3A．?∞,2?4ln2B．?∞,1C．2?4【答案】A【解析】根據題意，對任意的x1，x2f(x)maxg'x=?3g(2)<g(12)，故gx解得a≤x?令?x=x?在區(qū)間12，2內，?''x<0，?'∴a≤2?4ln2，則實數a的取值范圍是?∞，2?4ln2故選A11．若函數在上有最大值無最小值，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數在上有最大值無最小值，則極大值在之間，設的根為，極大值點在處取得則解得，故選C。12．已知滿足，則的單調遞減區(qū)間是。【答案】(-1,3)【解析】函數滿足，，整理得，即，解得函數解析式為，令，解得的單調遞減區(qū)間是故答案為.13．若函數fx=x?13sin【答案】?1【解析】f'(x)=1?23即：1?24cos2x?3a令t=cos只需f(?1)=?1+3a≤0f(1)=?1?3a≤0?a≤則a的取值范圍是[?114．已知函數在區(qū)間上不是單調函數，則實數的取值范圍是_________.【答案】【解析】對函數求導可得，f′（x）＝3x2+4x﹣a，此時對稱軸，函數f（x）＝x3+2x2﹣ax+1在區(qū)間（0，1）上不是單調函數，∴，解得：0＜a＜7，故答案為：（0，7）．15．已知a為實數,函數fx=x【答案】-∞，【解析】f'(x)=3x2?2ax+(1)若△=12-8a2≤0,則a≤?62或此時f'x≥0在區(qū)間(-∞,+∞)上恒成立,所以f(所以a≤?62或(2)若△=12-8a2>0,即?62則此時要滿足f'0≥0,0<a3綜上所述,a≤?616．設函數，若是函數是極大值點，則函數的極小值為________【答案】【解析】函數是函數是極大值點則或當時的極小值為故答案為：17．已知函數，當（e為自然常數），函數的最小值為3，則的值為_____________.【答案】【解析】，，當時，則，在上是減函數，，（舍去）．當時，當時，，遞減，當時，，遞增．∴，，符合題意．故答案為．18．設函數，若無最大值，則實數的取值范圍是__．【答案】【解析】f′（x），令f′（x）＝0，則x＝±1，若f（x）無最大值，則，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案為：19．已知函數，且在處取得極值.（1）求函數的解析式；（2）求函數在的最值.【答案】（1）（2）最大值為；最小值為【解析】（1）由，得又因為在處取得極值，所以，解得，，經檢驗，符合條件，所以.（2）由（1）可知單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以函數在的最大值為。最小值為.20．已知函數f(x)=ln（Ⅰ）若函數f(x)在[1,+∞)上單調遞減，求實數a的取值范圍；（Ⅱ）若a=1，求f(x)的最大值.【答案】（Ⅰ）a≤2e?1（Ⅱ）f【解析】（Ⅰ）由題意知，f'(x)=1x?(ex+xex)+a令g(x)=(x+1)ex?所以g(x)在[1,+∞)上單調遞增，所以g(x)所以a≤2e?1.（Ⅱ）當a=1時，f(x)=ln則f'(x)=1令m(x)=1x?所以m(x)在(0,+∞)上單調遞減.由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x0>0當x∈(0,x0)時，m(x)>0，f'(x)>0；當x∈(x0所以f(x)在(0,x0)所以f(x)因為ex0=1x所以f(x)21．設函數f(x)＝aex(x＋1)(其中e＝2.71828…)，g(x)＝x2＋bx＋2，已知它們在x＝0處有相同的切線．(1)求函數f(x)，g(x)的解析式；(2)求函數f(x)在[t，t＋1](t＞－3)上的最小值．【解析】(1)f′(x)＝aex(x＋2)，g′(x)＝2x＋b，由題意，兩函數在x＝0處有相同的切線，∴f′(0)＝2a，g′(0)＝b，∴2a＝b，f(0)＝a＝g(0)＝2，∴a＝2，b＝4，∴f(x)＝2ex(x＋1)，g(x)＝x2＋4x＋2。(2)由(1)得f′(x)＝2ex(x＋2)．當x＞－2時，則f′(x)＞0，所以f(x)在(－2，＋∞)上單調遞增，當x＜－2時，則f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－2)上單調遞減，∵t＞－3，∴t＋1＞－2，，當－3＜t＜－2時，f(x)在[t，－2]上單調遞減，在[－2，t＋1]上單調遞增，∴f(x)min＝f(－2)＝.，當t≥－2時，f(x)在[t，t＋1]上單調遞增，∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1)．綜上：當－3＜t＜－2時，f(x)min＝－2e－2；當t≥－2時，f(x)min＝2et(t＋1)．22.已知函數，討論函數的單調性；【解析】，令，其對稱軸為，令，則.當時，，所以在上單調遞增；當時，對稱軸為，若，即，恒成立，所以，所以在上單調遞增；若時，設的兩根，，當時，，所以，所以在上單調遞增，當時，