方法技巧專題12 函數(shù)單調(diào)性、極值、最值與導數(shù)問題（解析版）

方法技巧專題12函數(shù)單調(diào)性、極值、最值與導數(shù)問題解析篇一、函數(shù)單調(diào)性、極值、最值知識框架二、函數(shù)單調(diào)性、極值、最值問題題型【一】判斷函數(shù)單調(diào)性1.例題【例1】已知函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性?！窘馕觥坑深}意可求，1.當時，在上為減函數(shù)；2.當時，令，解得,令，解得于是在為增函數(shù)，在為減函數(shù)；【例2】已知函數(shù)，其中a∈R，討論并求出f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間．【解析】，設g(x)＝x2－ax＋1，∵x＞0，∴①當a＜0時，g(x)＞0，f′(x)＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立，此時函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；②當a＞0時，.當1－≥0，即0＜a≤2時，g(x)＞0，f′(x)＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立，此時函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當a＞2時，方程g(x)＝0的兩根分別為，且0＜x1＜x2，∴當x∈(0，x1)時，g(x)＞0，f′(x)＞0，故函數(shù)f(x)在(0，x1)上單調(diào)遞增；當x∈(x1，x2)時，g(x)＜0，f′(x)＜0，故函數(shù)f(x)在(x1，x2)上單調(diào)遞減；當x∈(x2，＋∞)時，g(x)＞0，f′(x)＞0，故函數(shù)f(x)在(x2，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上所述，當a≤2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；當a＞2時，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為；增區(qū)間為(0，x1)，(x2，＋∞)．2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知函數(shù)，.設，討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】因為，所以，①若，.∴在上單調(diào)遞減.②若，則，當，或時，，當時，，∴在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.③若，則，當，或時，，當時，.∴在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【練習2】已知，求單調(diào)區(qū)間.【解析】該函數(shù)定義域為（第一步：對數(shù)真數(shù)大于0求定義域）令，解得（第二步，令導數(shù)等于0，解出兩根）（1）當時，單調(diào)增，單調(diào)減（第三步，在不在進行分類，當其不存在得到；第四步數(shù)軸穿根或圖像判斷正負）（2）當時即單調(diào)增，（第五步，x1在區(qū)間時，進行比較大小，當?shù)玫降谒牟綀D像判斷正負）①當時，即單調(diào)增，單調(diào)減（當?shù)玫剑坏谒牟綀D像判斷正負）②當時，即單調(diào)增，單調(diào)減（得到；第四步圖像判斷正負）綜上可知：，單調(diào)增，單調(diào)減；，單調(diào)增單調(diào)增，單調(diào)減，單調(diào)增，單調(diào)減【二】根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)1.例題【例1】（1）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是.（2）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，實數(shù)的范圍是（）（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為.（4）若函數(shù)存在增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為.【解析】（1）因為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，又函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則，則，解得：，（2），，令，得.當或時，；當時，.所以，函數(shù)的極大值點為，極小值點為.由題意可得或，解得或.（3）由，即，解得.二次函數(shù)的對稱軸為.由復合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，解得.（4）若函數(shù)不存在增區(qū)間，則函數(shù)單調(diào)遞減，此時在區(qū)間恒成立，可得，則，可得，故函數(shù)存在增區(qū)間時實數(shù)的取值范圍為．【例2】已知函數(shù)恰有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B．C． D．【解析】（1），∴有三個單調(diào)區(qū)間，∴，解得且．故選B．2.鞏固提升綜合練習【練習1】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得：在上單調(diào)遞增等價于：在上恒成立即：當時，本題正確選項：【練習2】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+1（a∈R）在A．(0,3] B．(?∞,3] C．【答案】C【解析】f'x=3x2+2ax+1假設f(x)在(?23,?13)內(nèi)不存在單調(diào)遞減區(qū)間，而f(x)又不存在常函數(shù)情況，所以f(x)在(?2恒成立，解得a≤3，所以函數(shù)f(x)在(?23,?1【練習3】若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)區(qū)間上是單調(diào)遞減不滿足只能區(qū)間上是單調(diào)遞增.故故答案選B【三】函數(shù)的極值問題(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其它點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近的其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．1.例題【例1】(1)函數(shù)的極大值點是_______，極大值是________。(2)函數(shù)的極大值為，則實數(shù)__________．【答案】(1)216(2)3【解析】(1)依題意，故函數(shù)在或時，導數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減，在時，導數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極大值.即極大值點為，極大值為.(2)函數(shù)的極大值為，由題意知：，當時，有極大值，所以故答案為3 【例2】(1)函數(shù)在處有極值為7，則（）A．-3或3 B．3或-9 C．3 D．-3(2)若函數(shù)在上有小于的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】(1)C(2)B【解析】(1)，∴，解得或，時，，當時，，當時，，是極小值點；時，，不是極值點．∴．故選C．(2)由因為在上有小于的極值點，所以有小于0的根，由的圖像如圖：可知有小于0的根需要，所以選擇B2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知函數(shù)，，若在處與直線相切．（1）求的值；（2）求在上的極值．【答案】（1）（2）極大值為，無極小值．【解析】（1）∵函數(shù)在處與直線相切，∴，即，解得；（2）由（1）得：，定義域為．，令，解得，令，得．∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在上的極大值為，無極小值．【練習2】若函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，，因為在內(nèi)有兩個不同的極值點，所以在內(nèi)有兩個不同的解，由于是的一個解，則在上只有一個不為1的解，則，即函數(shù)與的圖象在上只有一個交點，且交點的橫坐標不為1，令，求導得，則時，；時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，，，，故當，即時，函數(shù)與的圖象在上只有一個交點.當時，函數(shù)與的圖象在上只有一個交點，但不符合題意，需舍去.故時，函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的極值點.故選D.【練習3】已知函數(shù)既存在極大值又存在極小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，由于函數(shù)既有極大值，又有最小值，則導函數(shù)有兩個零點，，即，解得或.因此，實數(shù)的取值范圍是，故選：B.【四】函數(shù)的最值問題求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．(2)圖像法：先作出函數(shù)的圖像，再觀察其最高點、最低點，求出最值．(3)基本不等式法：先對解析式變形，具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值．(4)導數(shù)法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值．(5)換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值．1.例題【例1】已知函數(shù)，當時，函數(shù)有極小值.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.【解析】（1），由題意得，解得，，經(jīng)檢驗為的極小值點，符合題意.（2）由（1）得當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.因為，，所以的最大值為.所以在上的值域為.【例2】（1）已知f(x)=?13x3+x在區(qū)間a<?1B．?2≤a<3C．?2≤a<1D．?3<a<1（2）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值，則實數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）C【解析】（1）因為函數(shù)f（x）=﹣13x3+x在（a，10﹣a2）上有最大值，則其最大值必是區(qū)間上的極大值f′（x）=﹣x2+1，令f′（x）=﹣x2+1=0，可得x=±1，分析易得x=1是極大值點．對于f′（x）=﹣x2+1，結合二次函數(shù)的性質可得：a＜1＜10﹣且f（a）≤f（1），解得﹣2≤a＜1,故答案為：C（2）設函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值即在有零點，且滿足：即故答案選C2.鞏固提升綜合練習【練習1】若是函數(shù)的極值點，則在上的最小值為______.【答案】【解析】，則，解得，所以，則.令，得或；令，得.所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.所以.【練習2】已知函數(shù)f(x)=x3?ax2【答案】（?1,∞）【解析】∵f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣2ax=x(3x-2a)，當f′（x）=0時，x=0或x=2a3（1）當2a3∈（﹣∞，﹣1]時，即a≤?32時，f(x)在（-1，0）單調(diào)遞減，在（0，1）單調(diào)遞增，此時x=0時f（（2）當-1<2a3<0時，f(x)在（-1，2a3）單調(diào)遞增，在（2a3，0）單調(diào)遞增減，在（0，1）單調(diào)遞增，由題意f(x)=則有?1<（3）當a=0時，f(x)=x3在(?1（4）當0<2a3<1時，f(x)在（-1，0）單調(diào)遞增，在（0，2a3）單調(diào)遞增減，在（2a3，1）單調(diào)遞增，由題意f(x)=則有0<（5）當2a3≥1時，即a≥32時，此時f(x)在(?1?，?1)上沒有最小值.綜上：三、課后自我檢測1．若函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）.A．[0,+∞） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．(0,+∞）【答案】C【解析】函數(shù)的定義域為，函數(shù)的導數(shù)為，當時，，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，不合題意；當時，函數(shù)在上遞減，在遞增，不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是，故選C.2．已知函數(shù)在上不單調(diào)，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.因為在上不單調(diào)，所以，故.故答案為A3．對于任意，，當時，恒有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于任意，，當時，恒有成立，即成立，令，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴在恒成立，∴在恒成立，∵當，，∴實數(shù)的取值范圍為，故選C.4．已知函數(shù)f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1，1)，則滿足f(a2－1)＋f(a－1)>0的a的取值范圍是()A．(0，2) B．(1，) C．(1，2) D．(0，)【答案】B【解析】∵函數(shù)f（x）＝x3+sinx，x∈（﹣1，1），則f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是奇函數(shù)；又f′（x）＝3x2+cosx＞0，∴f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上單調(diào)遞增；∵f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0，∴﹣f（a﹣1）＜f（a2﹣1），∴f（1﹣a）＜f（a2﹣1），∴，求得1＜a＜，故選：B．5．在上的極小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，令，所以或；因此，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以當時，取極小值，且極小值為.故選A6．在區(qū)間[1，5]上的最大值是（）A．-2 B．0 C．52 D．2【答案】C【解析】，，令，得.當時，；當時，.所以，函數(shù)的極小值為，又，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，故選：C.7．若函數(shù)f(x)=x3?3ax?a在區(qū)間(0,1)A．0≤a<1 B．0<a<1 C．?1<a<1 D．0<a<【答案】B【解析】令f'x=3x2∴0<a<1，∴8．已知函數(shù),若恒成立,則整數(shù)的最大值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】f（x）＞恒成立，即h（x）=＞k即h（x）的最小值大于k．而h′（x）=，記g（x）=x﹣3﹣ln（x-1），（x＞2），則g′（x）=＞0，∴g（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，又g（4）=1﹣ln3＜0，g（5）=2﹣2ln2＞0，∴g（x）=0存在唯一實根a，且滿足a∈（4，5），a-3=ln（a-1），當x＞a時，g（x）＞0，h′（x）＞0，當2＜x＜a時，g（x）＜0，h′（x）＜0，∴h（x）min=h（a）==a-1∈（3，4），故正整數(shù)k的最大值是3．故答案為：B9．已知f（x）=-x3-ax在（-∞，-1]上遞減，且g（x）=2x-ax在區(qū)間（1，2]上既有最大值又有最小值，則aA．a(chǎn)>?2 B．?3≤a C．?3≤a<?2 D．?3≤a≤?2【答案】C【解析】因為函數(shù)f(x)=?x3?ax所以f'x=?3x得?3x又因為g(x)=2x?ax在區(qū)間所以，可知g'x=2x+a也就是極值點，即有解2x+ax2=0，在可得?8≤a<?2,∴?3≤a<?2，故選C.10．已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx，g(x)=?x3A．?∞,2?4ln2B．?∞,1C．2?4【答案】A【解析】根據(jù)題意，對任意的x1，x2f(x)maxg'x=?3g(2)<g(12)，故gx解得a≤x?令?x=x?在區(qū)間12，2內(nèi)，?''x<0，?'∴a≤2?4ln2，則實數(shù)a的取值范圍是?∞，2?4ln2故選A11．若函數(shù)在上有最大值無最小值，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)在上有最大值無最小值，則極大值在之間，設的根為，極大值點在處取得則解得，故選C。12．已知滿足，則的單調(diào)遞減區(qū)間是?！敬鸢浮?-1,3)【解析】函數(shù)滿足，，整理得，即，解得函數(shù)解析式為，令，解得的單調(diào)遞減區(qū)間是故答案為.13．若函數(shù)fx=x?13sin【答案】?1【解析】f'(x)=1?23即：1?24cos2x?3a令t=cos只需f(?1)=?1+3a≤0f(1)=?1?3a≤0?a≤則a的取值范圍是[?114．已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】對函數(shù)求導可得，f′（x）＝3x2+4x﹣a，此時對稱軸，函數(shù)f（x）＝x3+2x2﹣ax+1在區(qū)間（0，1）上不是單調(diào)函數(shù)，∴，解得：0＜a＜7，故答案為：（0，7）．15．已知a為實數(shù),函數(shù)fx=x【答案】-∞，【解析】f'(x)=3x2?2ax+(1)若△=12-8a2≤0,則a≤?62或此時f'x≥0在區(qū)間(-∞,+∞)上恒成立,所以f(所以a≤?62或(2)若△=12-8a2>0,即?62則此時要滿足f'0≥0,0<a3綜上所述,a≤?616．設函數(shù)，若是函數(shù)是極大值點，則函數(shù)的極小值為________【答案】【解析】函數(shù)是函數(shù)是極大值點則或當時的極小值為故答案為：17．已知函數(shù)，當（e為自然常數(shù)），函數(shù)的最小值為3，則的值為_____________.【答案】【解析】，，當時，則，在上是減函數(shù)，，（舍去）．當時，當時，，遞減，當時，，遞增．∴，，符合題意．故答案為．18．設函數(shù)，若無最大值，則實數(shù)的取值范圍是__．【答案】【解析】f′（x），令f′（x）＝0，則x＝±1，若f（x）無最大值，則，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案為：19．已知函數(shù)，且在處取得極值.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在的最值.【答案】（1）（2）最大值為；最小值為【解析】（1）由，得又因為在處取得極值，所以，解得，，經(jīng)檢驗，符合條件，所以.（2）由（1）可知單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)在的最大值為。最小值為.20．已知函數(shù)f(x)=ln（Ⅰ）若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若a=1，求f(x)的最大值.【答案】（Ⅰ）a≤2e?1（Ⅱ）f【解析】（Ⅰ）由題意知，f'(x)=1x?(ex+xex)+a令g(x)=(x+1)ex?所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)所以a≤2e?1.（Ⅱ）當a=1時，f(x)=ln則f'(x)=1令m(x)=1x?所以m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x0>0當x∈(0,x0)時，m(x)>0，f'(x)>0；當x∈(x0所以f(x)在(0,x0)所以f(x)因為ex0=1x所以f(x)21．設函數(shù)f(x)＝aex(x＋1)(其中e＝2.71828…)，g(x)＝x2＋bx＋2，已知它們在x＝0處有相同的切線．(1)求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在[t，t＋1](t＞－3)上的最小值．【解析】(1)f′(x)＝aex(x＋2)，g′(x)＝2x＋b，由題意，兩函數(shù)在x＝0處有相同的切線，∴f′(0)＝2a，g′(0)＝b，∴2a＝b，f(0)＝a＝g(0)＝2，∴a＝2，b＝4，∴f(x)＝2ex(x＋1)，g(x)＝x2＋4x＋2。(2)由(1)得f′(x)＝2ex(x＋2)．當x＞－2時，則f′(x)＞0，所以f(x)在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，當x＜－2時，則f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，∵t＞－3，∴t＋1＞－2，，當－3＜t＜－2時，f(x)在[t，－2]上單調(diào)遞減，在[－2，t＋1]上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(－2)＝.，當t≥－2時，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1)．綜上：當－3＜t＜－2時，f(x)min＝－2e－2；當t≥－2時，f(x)min＝2et(t＋1)．22.已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】，令，其對稱軸為，令，則.當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，對稱軸為，若，即，恒成立，所以，所以在上單調(diào)遞增；若時，設的兩根，，當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，當時，