高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題7之6線面角（原卷版）

線面角思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)一．直線與平面所成角如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，θ為l與α所成的角，則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).【注意】直線與平面所成角的范圍為，而向量之間的夾角的范圍為[0，π]，所以公式中要加絕對(duì)值．二．利用向量法求線面角的兩種方法母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)【例1】（2022·全國甲（理）T18）在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．【例2】（2022·浙江卷T19）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．

（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．方法總結(jié)方法總結(jié)向量法求直線與平面所成角主要方法是：1.分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；2.通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，且．(1)證明：；(2)若為等邊三角形，求直線與平面所成角的正弦值．2．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.3．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為菱形，已知，．(1)當(dāng)時(shí)，求三棱柱的體積；(2)設(shè)點(diǎn)P為側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．4．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中點(diǎn)．(1)證明：BE平面PAD；(2)若，平面PAD⊥平面ABCD，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．5．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，D，E，P分別在棱AC，AB，BC上，且D為AC中點(diǎn)，，于F.(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)，，二面角的余弦值為時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱臺(tái)的下底面和上底面分別是邊和的正方形，側(cè)棱上點(diǎn)滿足.(1)證明：直線平面；(2)若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，．(1)證明：；(2)若，，在棱上，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，求的長(zhǎng)．8．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，，平面，，．(1)已知點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，求證：與平面不平行；(2)已知直線與平面所成角的正弦值為，求該多面體的體積．9．（2023·山東·煙臺(tái)二中?？寄M預(yù)測(cè)）在直四棱柱中，底面是菱形，交于點(diǎn)O，．(1)若，求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求四棱柱的高．10．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知底面為正方形的四棱柱，，