高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題7之1二面角（原卷版）

二面角思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)1．若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補(bǔ)角)的大小就是向量eq\o(AB,\s\up7(―→))與eq\o(CD,\s\up7(―→))的夾角，如圖①.2．平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，〈n1，n2〉＝θ，則二面角α-l-β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則|cosφ|＝|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如圖②③.【注意】注意二面角與兩個(gè)平面的夾角的區(qū)別與聯(lián)系，二面角的范圍為[0，π]，兩個(gè)平面的夾角的范圍為.3.利用向量計(jì)算二面角大小的常用方法母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)【典例1】(2022·新高考全國(guó)Ⅰ改編)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為2eq\r(2).(1)求A到平面A1BC的距離；[切入點(diǎn)：](2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求平面ABD與平面BCD夾角的正弦值．【例2】如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A-MA1-N的正弦值．【母題遷移】本例條件不變，求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．方法總結(jié)方法總結(jié)1.用法向量求二面角：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳二面角還是鈍二面角.2.找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．三棱柱中，，，線段的中點(diǎn)為，且.(1)求與所成角的余弦值；(2)若線段的中點(diǎn)為，求二面角的余弦值.2．如圖，在直三棱柱中，，，且二面角為為45°.(1)求棱AC的長(zhǎng)；(2)若D為棱的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的正切值.3．如圖，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，側(cè)面為菱形，，底面ABC為等腰三角形，，O是AC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)若二面角的余弦值為，求三棱柱的體積．4．已知直四棱柱中，底面為梯形，分別是上的點(diǎn)，且為上的點(diǎn).(1)證明:；(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的正弦值.5．如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且，平面，D為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.6．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形中，為邊的中點(diǎn)，過作于.把沿翻折至的位置，連接?.(1)為邊的一點(diǎn)，若，求證：平面；(2)當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.7．如圖所示，圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)是以為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：平面平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值．8．如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，，，，是棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值的最大值．9．如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱，點(diǎn)P是半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，D不重合），．(1)證明：；(2)若點(diǎn)P在平面ABCD的射影為點(diǎn)H，設(shè)的中點(diǎn)為E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，平面與平面的夾角為，求此時(shí)DH的長(zhǎng)度．10．正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點(diǎn).(1)求四面體的體積；(2)是否存在側(cè)棱上一點(diǎn)，使面與面所成角的正切值為？若存在，請(qǐng)描述點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【分