《壓軸題》初中數(shù)學同步八年級上冊北師版第二章實數(shù)含答案及解析

試卷第=page22頁，共=sectionpages8989頁第二章實數(shù)內(nèi)容導航知識點…………………2類型一、與平方根有關(guān)的計算……………5類型二、平方根的規(guī)律運算……………11類型三、平方根的非負性應用…………16類型四、與立方根的有關(guān)運算…………19類型五、無理數(shù)的估算…………………25類型六、實數(shù)與數(shù)軸……………………34類型七、與實數(shù)有關(guān)的程序運算、自定義運算……………43類型八、與實數(shù)有關(guān)規(guī)律運算…………51類型九、二次根式的運算………………63類型十、二次根式的應用………………75知識點1．算術(shù)平方根（1）定義：一般地，如果一個正數(shù)x的平方根等于a,即：那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記作，讀作“根號a”,（2）表示方法：非負數(shù)a的算術(shù)平方根記作，讀作根號a,（3）性質(zhì)：①正數(shù)只有一個算術(shù)平方根，并且恒為正；②0的算術(shù)平方根為0，即；③負數(shù)沒有算術(shù)平方根，當式子有意義時，a一定是一個非負數(shù)。知識點2平方根（1）定義：一般地，如果一個正數(shù)x的平方根等于a，即：那么數(shù)x就叫做a的平方根，記作，讀作“正負根號a”,（2）表示方法：一個數(shù)a（a≧0）的平方根記作(a≧0)，讀作根號a,“正負根號a”,（3）性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0只有一個平方根，是它本身，負數(shù)沒有平方根。知識點3開平方（1）定義:求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方，a叫做被開方數(shù)；（2）區(qū)別：取值范圍不同：中a為任意實數(shù)；中a；被開方數(shù)不同：中被開方數(shù)為；中被開方數(shù)為a；運算順序不同：先平方再開方；先開方再平方。聯(lián)系：結(jié)果為非負數(shù)；中a≧0時，=知識點4：立方根的定義1.定義：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.注意：一個數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運算.2：立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0.注意：任何數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數(shù)的符號相同.兩個互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).知識點2：立方根的性質(zhì)注意：第一個公式可以將求負數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.知識點5：實數(shù)1.實數(shù)的概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).2.實數(shù)的分類按定義分：按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)實數(shù)3.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應.數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.知識點6：實數(shù)的運算1．注意：有理數(shù)關(guān)于絕對值、相反數(shù)的意義同樣適用于實數(shù)。2．運算法則：先算乘方開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的。知識點7：二次根式1.二次根式的概念:一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號．如都是二次根式。2.二次根式滿足條件：（1）必須含有二次根號；（2）被開方數(shù)必須是非負數(shù).知識點二：二次根式有無意義的條件1.二次根式有意義：被開方數(shù)為非負數(shù)，即；2.二次根式無意義：被開方數(shù)為負數(shù)，即；知識點8：二次根式1.二次根式（）的非負性（）表示的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個非負數(shù)，即（）．2.二次根式的性質(zhì)：（）3.二次根式的性質(zhì)：知識點8：二次根式的乘法法則1.二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根的指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣:，即當二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù).3.二次根式的乘法法則的逆用：（二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）知識點9：二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則：（二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變）知識點10：最簡二次根式1.最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母，（2）被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式2.化簡二次根式的一般方法方法舉例將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進行開方化去根號下的分母若被開方數(shù)中含有帶分數(shù)，先將被開方數(shù)化成假分數(shù)若被開方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分數(shù)若被開方數(shù)時分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進行開方運算(a＞0，b＞0，c＞0）被開方數(shù)時多項式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：當分母含有根式時，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號.知識點11：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。知識點三：二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）類型一、與平方根有關(guān)的計算1．在一個正方形的內(nèi)部按照如圖方式放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為2﹣6，則較小的正方形面積為（）A．11 B．10 C．9 D．82．一個自然數(shù)的一個平方根是，則與它相鄰的下一個自然數(shù)的平方根是（

）A． B．C． D．3．如圖所示為一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律，第7行倒數(shù)第二個數(shù)是.4．若是一個完全平方數(shù)，則比大的最小完全平方數(shù)是．5．如圖，用兩個面積為的小正方形拼成一個大的正方形．（1）則大正方形的邊長是___________；（2）若沿著大正方形邊的方向裁出一個長方形，能否使裁出的長方形紙片的長寬之比為5：4，且面積為？6．如圖，一只螞蟻從點沿數(shù)軸向右爬了個單位長度到達點，點表示，設(shè)點所表示的數(shù)為．

(1)求的值；(2)在數(shù)軸上另有、兩點分別表示實數(shù)和，且有與互為相反數(shù)，求線段的中點與點之間的距離．7．探究發(fā)散：(1)完成下列填空①______，②______，③______，④______，⑤______，⑥______；(2)計算結(jié)果，回答：一定等于嗎？你發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律了嗎？請你用數(shù)學語言描述出來：_____________________(3)利用你總結(jié)的規(guī)律，計算：若，則______；(4)有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖．

化簡：．類型二、平方根的規(guī)律運算8．，，，…，則（

）A．1013 B．1022 C．1012 D．10239．按要求填空：（1）填表：0.00040.044400（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)規(guī)律填空：已知：，則，；已知：，，則．a(chǎn)10．計算四個式子的值：；；；，觀察計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出：的值為．11．觀察表格a0.00010.01110010000…0.010.1110100…按表中規(guī)律若已知，用含m的式子表示n，則．12．，，，……，其中為正整數(shù)，則的值是．13．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：…0.00010.01110010000……0.01x1y100…表格中，．（2）歸納總結(jié)：被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動2位，相應的算術(shù)平方根的小數(shù)點就向______移動______位．（3）規(guī)律運用：①已知，則______；②已知，則m＝______．14．如何迅速準確地計算出四位數(shù)的算術(shù)平方根呢？按照下面思路你也能辦到．(1)以下是小明探究的過程，請補充完整：①由，可以確定是位數(shù)；②由的個位上的數(shù)是，可以確定的個位上的數(shù)是或；③如果劃去后面的兩位得到數(shù)，而，，可以確定的十位上的數(shù)是；因，而，所以選擇較小的個位數(shù)字，則__________．(2)已知也是一個整數(shù)的平方，請根據(jù)材料的方法求出，并說明理由．類型三、平方根的非負性應用15．若，則等于（

）A．5 B．－1 C．13 D．116．若實數(shù)、滿足，則；17．若，則=（

）A．－15 B．－9 C．9 D．1518．設(shè)x、y、z是兩兩不等的實數(shù)，且滿足下列等式：，則的值為．19．若，則的值是（

）A． B．0 C．1 D．220．已知a，b，c為的三邊長，且b，c滿足，a為方程的解，求的周長．類型四、與立方根的有關(guān)運算21．一般地，如果（為正整數(shù)，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．則下列結(jié)論：①3是81的四次方根；②任何實數(shù)都有唯一的奇次方根；③若，則的三次方根是；④當時，整數(shù)的二次方根有4050個．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．422．據(jù)說．我國著名數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個數(shù)是59319，希望求它的立方根．華羅庚脫口而出：39．乘客十分驚訝，忙問計算的奧秘．你知道華羅庚是怎樣迅速準確地計算出來的嗎？請按照下面的問題試一試：(1)由，，可以確定是______位數(shù)．由59319的個位上的數(shù)是9，可以確定的個位上的數(shù)字是______，如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，，由此可以確定、59319的十位上的數(shù)字是______；(2)已知32768，都是整數(shù)的立方，按照上述方法，請你分別求它們的立方根．23．我國數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口說出答案，眾人十分驚奇，忙問計算的奧妙，你知道他是怎樣迅速準確地計算出結(jié)果的嗎？下面是小明的探究過程，請補充完整：(1)求．①由，，可以確定是位數(shù)；②由59319的個位上的數(shù)是9，可以確定的個位上的數(shù)是；③如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，可以確定的十位上的數(shù)是，由此求得．(2)請你根據(jù)（1）中小明的方法，完成如下填空：①，②．24．（1）利用求平方根、立方根解方程：①3x2=27②2（x﹣1）3+16=0．（2）觀察下列計算過程，猜想立方根．13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729（?。┬∶魇沁@樣試求出19683的立方根的．先估計19683的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位數(shù)為，驗證得19683的立方根是（ⅱ）請你根據(jù)（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：①=；②=；③=．25．觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動______位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點向______移動______位．（2）已知，，則_____；______．（3），，，……小數(shù)點的變化規(guī)律是_______________________．（4）已知，，則______．類型五、無理數(shù)的估算26．已知的平方根是的立方根是是的整數(shù)部分．(1)直接寫出的值；(2)若是的小數(shù)部分，求的算術(shù)平方根．27．規(guī)定：對任意的非負實數(shù)n，用表示不大于n的最大整數(shù)，稱為n的整數(shù)部分，用表示的值，稱為n的小數(shù)部分.例如：，，，；請回答下列問題：(1)當時，以下五個命題中為真命題的是（填序號）①；②；③；④；⑤若（a為整數(shù)），則(2)當時，解關(guān)于x的方程28．對于實數(shù)，我們規(guī)定：用符號表示不大于的最大整數(shù)，稱為的根整數(shù)，例如：，．(1)仿照以上方法計算：________；=________；(2)若，寫出滿足題意的正整數(shù)的值_________；(3)如果我們對連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1停止．例如：對10連續(xù)求根整數(shù)2次，，這時候結(jié)果為1．那么對400連續(xù)求根整數(shù)，多少次之后結(jié)果為1？請寫出你的求解過程．(4)只需進行2次連續(xù)求根整數(shù)運算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是_________．29．根據(jù)下表回答下列問題：1718(1)的算術(shù)平方根是，的平方根是；(2)；（保留一位小數(shù)）(3)，；(4)若介于17．6與17．7之間，則滿足條件的整數(shù)n有個；(5)若這個數(shù)的整數(shù)部分為m，求的值．30．新定義：若無理數(shù)的被開方數(shù)(T為正整數(shù))滿足(其中n為正整數(shù))，則稱無理數(shù)的“青一區(qū)間”為；同理規(guī)定無理數(shù)的“青一區(qū)間”為．例如：因為，所以的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為，請回答下列問題：(1)的“青一區(qū)間”為；的“青一區(qū)間”為；(2)若無理數(shù)(a為正整數(shù))的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為，求的值．(3)實數(shù)x，y，滿足關(guān)系式：，求的“青一區(qū)間”．31．任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)：，（其中為滿足不等式的最大整數(shù)，為滿足不等式的最小整數(shù)），則稱無理數(shù)的“麓外區(qū)間”為，如，所以的麓外區(qū)間為．(1)無理數(shù)的“麓外區(qū)間”是_________；(2)若其中一個無理數(shù)的“麓外區(qū)間”為且滿足，其中是關(guān)于x，y的二元一次方程的一組正整數(shù)解，求值．(3)實數(shù)x，y，m滿足關(guān)系式：，求的算術(shù)平方根的“麓外區(qū)間”．類型六、實數(shù)與數(shù)軸32．如圖，正六邊形ABCDEF（每條邊都相等）在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A、F對應的數(shù)分別為-2和-1，現(xiàn)將正六邊形ABCDEF繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點E所對應的數(shù)為0，連續(xù)翻轉(zhuǎn)2000次后，數(shù)軸上1998這個數(shù)所對應的點是（）A．A點 B．D點 C．E點 D．F點33．在數(shù)軸上有三個互不重合的點A，B，C，它們代表的實數(shù)分別為a，b，c，下列結(jié)論中①若abc0，則A，B，C三點中，至少有一個點在原點右側(cè)；②若a+b+c＝0，則A，B，C三點中，至少有一個點在原點右側(cè)；③若a+c＝2b，則點B為線段AC的中點；④O為坐標原點且A，B，C均不與O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，則bc0，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④34．實數(shù)在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，若，則A，B，C，D四個點中可能是原點的為（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點35．如圖，一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示，設(shè)點B所表示的數(shù)為m.(1)______.(2)求的值；(3)在數(shù)軸上還有C、D兩點分別表示實數(shù)c和d，且有與互為相反數(shù)，求的平方跟.36．如圖,半徑為1個單位的圓片上有一點A與數(shù)軸上的原點重合,AB是圓片的直徑.（1）把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周，點B到達數(shù)軸上點C的位置，點C表示的數(shù)是

__________數(shù)(填“無理”或“有理”)，這個數(shù)是__________.（2）把圓片沿數(shù)軸滾動2周，點A到達數(shù)軸上點D的位置，點D表示的數(shù)是__________.（3）圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù)，依次運動情況記錄如下：+2，-1，+3，-4，-3①第幾次滾動后，A點距離原點最近？第幾次滾動后，A點距離原點最遠？②當圓片結(jié)束運動時，A點運動的路程共有多少？此時點A所表示的數(shù)是多少？37．動手試一試，如圖1，紙上有10個邊長為1的小正方形組成的圖形紙．我們可以按圖2的虛線將它剪開后，重新拼成一個大正方形．（1）基礎(chǔ)鞏固：拼成的大正方形的面積為______，邊長為______；（2）知識運用：如圖3所示，將圖2水平放置在數(shù)軸上，使得頂點B與數(shù)軸上的重合．以點B為圓心，邊為半徑畫圓弧，交數(shù)軸于點E，則點E表示的數(shù)是______；（3）變式拓展：①如圖4，給定的方格紙（每個小正方形邊長為1），你能從中剪出一個面積為13的正方形嗎？若能，請在圖中畫出示意圖；②請你利用①中圖形在數(shù)軸上用直尺和圓規(guī)表示面積為13的正方形邊長所表示的數(shù)．38．如圖，在數(shù)軸上有兩個長方形和，這兩個長方形的寬都是個單位長度，長方形的長是個單位長度，長方形的長是個單位長度，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是，且E，D兩點之間的距離為．

(1)點在數(shù)軸上表示的數(shù)是_______，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是_______；(2)若線段的中點為，線段上有一點，，以每秒4個單位長度的速度向右勻速運動，以每秒3個單位長度的速度向左運動，設(shè)運動的時間為秒，問當為多少時，原點恰為線段的三等分點？(3)若線段的中點為，線段上有一點，，長方形以每秒4個單位長度的速度向右勻速運動，長方形保持不動，設(shè)運動時間為秒，則的值為_______．類型七、與實數(shù)有關(guān)的程序運算、自定義運算39．如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：①當輸出值y為時，輸入值x為3或9；②當輸入值x為16時，輸出值y為；③對于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．其中錯誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③40．按如圖所示的運算程序，能使輸出y值為1的是（

）A． B． C． D．41．一個四位自然數(shù)，若它的千位數(shù)字比十位數(shù)字少，百位數(shù)字比個位數(shù)字多，則稱為“一生一世數(shù)”．如：四位數(shù)，∵，，∴是“一生一世”；四位數(shù)，∵，∴不是“一生一世數(shù)”，則最大的“一生一世數(shù)”為．若一個四位數(shù)是“一生一世數(shù)”，且，，若能被整除，則滿足條件的數(shù)的最大值與最小值的差為．42．如果一個四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，并且滿足，那么稱這個四位數(shù)為“巧合數(shù)”．例如：四位數(shù)5611，因為，所以5611是“巧合數(shù)”：又如：四位數(shù)7816，因為，所以7816不是“巧合數(shù)”．則最大的“巧合數(shù)”是；若“巧合數(shù)”能被3整除，設(shè)，則的最大值為．43．如果一個四位自然數(shù)滿足，那么稱這個四位數(shù)為“2倍和數(shù)”．例如：四位數(shù)8103，因為，所以8103是“2倍和數(shù)”；又如：四位數(shù)9125，因為，所以9125不是“2倍和數(shù)”．若是“2倍和數(shù)”，則M的最小值是；是一個“2倍和數(shù)”，去掉其個位數(shù)字得到一個三位數(shù)，記，若是11的倍數(shù)，則的最大值與最小值的和為．44．如果一個自然數(shù)能分解成：，其中和都是兩位數(shù)，且與的十位數(shù)字之和為8，個位數(shù)字之和為7，則稱為“相依數(shù)”，把分解成的過程叫做“相依拆解”．例如：因為，所以1820是“相依數(shù)”；因為，所以1168不是“相依數(shù)”，則最大的“相依數(shù)”為．若自然數(shù)是“相依數(shù)”，“相依拆解”為，將的個位數(shù)字與的十位數(shù)子之和記為，將的十位數(shù)字與的個位數(shù)字之和記為，若為整數(shù)，則滿足條件的自然數(shù)的最大值為．45．思考與探究：（1）在如圖所示的計算程序中，若開始輸入的數(shù)值是4，則最后輸出的結(jié)果是___________．（2）在如圖所示的計算程序中，若最后輸出的結(jié)果是58，則開始輸入的數(shù)值是___________．（3）按下面的程序計算，若開始輸入的值x為正數(shù)，最后輸出的結(jié)果為1621，則滿足條件的x的不同值最多有多少個？類型八、與實數(shù)有關(guān)規(guī)律運算46．有這樣一種算法，對于輸入的任意一個實數(shù)，都進行“先乘以，再加3”的運算.現(xiàn)在輸入一個，通過第1次運算的結(jié)果為，再把輸入進行第2次同樣的運算，得到的運算結(jié)果為，…，一直這樣運算下去，當運算次數(shù)不斷增加時，運算結(jié)果（

）A．越來越接近4 B．越來越接近于－2C．越來越接近2 D．不會越來越接近于一個固定的數(shù)47．定義一種關(guān)于整數(shù)n的“F”運算：（1）當n時奇數(shù)時，結(jié)果為；（2）當n是偶數(shù)時，結(jié)果是（其中k是使是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復進行．例如：取，第一次經(jīng)F運算是29，第二次經(jīng)F運算是92，第三次經(jīng)F運算是23，第四次經(jīng)F運算是74…；若，則第449次運算結(jié)果是（

）A．1 B．2 C．7 D．848．找規(guī)律：觀察算式…(1)按規(guī)律填空）；(2)由上面的規(guī)律計算：（要求：寫出計算過程）(3)思維拓展：計算：（要求：寫出計算過程）49．如圖，從左邊第一個圓圈開始向右數(shù)，在每個圓圈中都填入一個整數(shù)，使得其中任意三個相鄰圓圈中所填整數(shù)之和都相等．(1)可求得______，第個圓圈中的數(shù)為______；(2)若前個圓圈中所填整數(shù)之和為，則______；(3)若取前個圓圈中的任意兩個數(shù)，記作，，且，那么所有的的和為______；(4)若取前個圓圈中的任意兩個數(shù)，記作，，且，求所有的的和．50．觀察下面由“※”組成的圖案和算式，并解答問題：，，，．(1)試猜想()=；(2)試猜想()(用含n的代數(shù)式表示結(jié)果）；(3)按上述規(guī)律計算的值．51．一個多位自然數(shù)分解為末三位與末三位以前的數(shù)，讓末三位數(shù)減去末三位以前的數(shù)，所得的差能被7整除，則原多位數(shù)一定能被7整除．(1)判斷864192（能/不能）被7整除，證明任意一個三位以上的自然數(shù)都滿足上述規(guī)律；(2)一個自然數(shù)t可以表示為t＝p2﹣q2的形式，（其中p＞q且為正整數(shù)），這樣的數(shù)叫做“平方差數(shù)”，在t的所有表示結(jié)果中，當|p﹣q|最小時，稱p2﹣q2是t的“平方差分解”，并規(guī)定F（t）＝，例如，32＝62﹣22＝92﹣72，|9﹣7|＜|6﹣2|，則F（32）＝＝．已知一個五位自然數(shù)，末三位數(shù)m＝500+10y+52，末三位以前的數(shù)為n＝10（x+1）+y（其中1≤x≤8，1≤y≤9且為整數(shù)），n為“平方差數(shù)”，交換這個五位自然數(shù)的十位和百位上的數(shù)字后所得的新數(shù)能被7整除，求F（n）的最大值．52．一位同學在閱讀課外書的時候，學到了一種速算方法，也讓我們一起來看看吧！，他發(fā)現(xiàn)這樣的數(shù)對一共有50對，且每一對數(shù)和都101，所以原式；同樣地，＋…＋），這樣的數(shù)對一共有25對，且每一對數(shù)和都是102，所以原式；(1)請仔細觀察以上算式的特點及運算規(guī)律，請你運用你的發(fā)現(xiàn)看看下列式子哪些具有上述特點，能運用上述規(guī)律來運算，并把這樣式子的結(jié)果算出來：①；②；③；(2)在上面的①式中，請你通過增加或減少和中最后面奇數(shù)的個數(shù)，探尋本題計算規(guī)律，請用一個含字母n的式子表示你的發(fā)現(xiàn)；(3)另外，該同學還有一個有趣發(fā)現(xiàn)：，，，，…，以此類推，你能寫出第50個式子的結(jié)果并寫出等式左邊第一個數(shù)嗎？說出你的理由．53．【閱讀材料】數(shù)列是一個古老的數(shù)學課題，我國對數(shù)列概念的認識很早，例如《易傳?系辭》：“河出圖，洛出書，圣人則之；兩儀生四象，四象生八卦”．這是世界數(shù)學史上有關(guān)等比數(shù)列的最早文字記載．【問題提出】求等比數(shù)列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整數(shù)，請寫出計算過程)．【等比數(shù)列】按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．排在第一位的數(shù)稱為第一項，記為a1，排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為a2，依此類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項，記為an．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比值等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用q表示．如：數(shù)列1，2，4，8，…為等比數(shù)列，其中a1=1，a2=2，公比為q=2．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)等比數(shù)列3，9，27，…的公比q為_____，第5項是_____．【公式推導】如果一個數(shù)列a1，a2，a3，…，an…，是等比數(shù)列，且公比為q，那么根據(jù)定義可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1?q，a3=a2?q=a1q?q=a1?q2，a4=a3?q=a1?q2=a1?q3，…(2)由此，請你填空完成等比數(shù)列的通項公式：an=a1?(_____)．【拓廣探究】等比數(shù)列求和公式并不復雜，但是其推導過程——錯位相減法，構(gòu)思精巧、形式奇特．歐幾里得在《幾何原本》中就給出了等比數(shù)列前n項和公式，而錯位相減法則直到1822年才由歐拉在《代數(shù)學基礎(chǔ)》中給出，時間相差兩千多年．下面是小明為了計算1+2+22+…+22019+22020的值，采用的方法：設(shè)S=1+2+22+…+22019+22020①，則2S=2+22+…+22020+22021②，②-①得2S-S=S=22021-1，∴S=1+2+22+…+22019+22020=22021-1．【解決問題】(3)請仿照小明的方法求等比數(shù)列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整數(shù)，請寫出計算過程)．【拓展應用】(4)計算25+252+253+…+25n的值為_____．(直接寫出結(jié)果)類型九、二次根式的運算54．若和都是正整數(shù)且，和是可以合并的二次根式，下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（）①只存在一組和使得；②只存在兩組和使得；③不存在和使得；④若只存在三組和使得，則的值為49或64A．1個 B．2個 C．3個 D．4個55．二次根式除法可以這樣解：如．像這樣通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫分母有理化，判斷下列選項正確的是（）①若a是的小數(shù)部分，則的值為1；②比較兩個二次根式的大?。虎塾嬎悖虎軐τ谑阶?，對它的分子分母同時乘以或或，均不能對其分母有理化；⑤設(shè)實數(shù)x，y滿足，則；⑥若，，且，則正整數(shù)．A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥56．計算：57．觀察下列分母有理化，……從計算結(jié)果中找出規(guī)律．58．閱讀材料，并完成下列任務：材料一：裂項求和小華在學習分式運算時，通過具體運算：，，，……發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（n為正整數(shù)），并證明了此規(guī)律成立．應用規(guī)律：快速計算．材料二：根式化簡例1

；例2

任務一：化簡．(1)化簡：(2)猜想：___________________（n為正整數(shù)）．任務二：應用(3)計算：；任務三：探究(4)已知，比較x和y的大小，并說明理由．59．閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方．例如：．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為完全平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)結(jié)合小明的探索過程填空：+；(2)的算術(shù)平方根為；(3)化簡：．(??為正整數(shù))60．定義：我們將與稱為一對“對偶式”．因為，可以有效的去掉根號，所以有一些問題可以通過構(gòu)造“對偶式”來解決．例如：已知，求的值，可以這樣解答：因為，所以．(1)已知：，求的值；(2)結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：；(3)計算：．61．如圖，在數(shù)軸．上有兩個長方形和，這兩個長方形的寬都是個單位長度，長方形的長是個單位長度，長方形的長是個單位長度，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是，且兩點之間的距離為．

點在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是若線段的中點為，線段上有一點以每秒個單位長度的速度向右勻速運動，以每秒個單位長度的速度向左運動，設(shè)運動的時間為秒，問當為多少時，原點恰為線段的三等分點?若線段的中點為，線段上有一點，長方形以每秒個單位長度的速度向右勻速運動，長方形保持不動，設(shè)運動時間為秒，是否存在一個的值，使以三點為頂點的三角形是直角三角形?若存在，求的值;不存在，請說明理由．類型十、二次根式的應用62．按照一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列，一般用、、表示一個數(shù)列，可簡記為，現(xiàn)有數(shù)列滿足一個關(guān)系式，則．63．讀取表格中的信息，解決下列問題…………已知，求．64．我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記，則其面積．這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式．(1)當三角形的三邊，，時，請你利用公式計算出三角形的面積；(2)一個三角形的三邊長依次為、，，請求出三角形的面積；(3)若，，求此時三角形面積的最大值．65．實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，有理數(shù)中的相關(guān)概念，運算法則，運算律同樣適合于實數(shù)，請根據(jù)實數(shù)的相關(guān)知識，解決下列問題：(1)如圖①，數(shù)軸上表示1，的對應點分別為A，B，點B到點A的距離與點C到點O的距離相等，設(shè)點C所表示的數(shù)為x，求的值；(2)如圖②，在一個長方形中無重疊放入面積分別為和的兩張正方形紙片，求圖中陰影部分的面積．66．【閱讀下列材料】：若，，則，，∴．（注：）∵，，∴．“”稱為“基本不等式”，利用它可求一些代數(shù)式的最值及解決一些實際問題．（a、b為正數(shù)；積定和最??；和定積最大；當時，取等號．）【例】：若，，，求的最小值．解：∵，，

∴，∴．∴時，的最小值為8．【解決問題】(1)用籬笆圍成一個面積為的長方形菜園，當這個長方形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長是多少；(2)用一段長為的籬笆圍成一個一面靠墻（墻足夠長）的長方形菜園，當這個長方形的邊長是多少時，菜園面積最大？最大面積是多少；(3)如圖，四邊形的對角線相交于點O，、的面積分別為2和3，求四邊形面積的最小值．67．閱讀理解：由得，；如果兩個正數(shù)，，即，，則有下面的不等式：，當且僅當時，取到等號．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當且僅當時，即正數(shù)時，式子有最小值，最小值為4．請根據(jù)上面材料回答下列問題：(1)當，式子的最小值為；(2)如圖1，用籬笆圍一個面積為50平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻長20米，籬笆周長指不靠墻的三邊），這個長方形的長、寬各為多少米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？

(3)如圖2，四邊形的對角線相交于點，的面積分別是6和12，求四邊形面積的最小值．

68．如果記，并且表示當時的值，即；表示當時的值，即；表示當時的值，即；…（1）計算下列各式的值：__________.__________.（2）當為正整數(shù)時，猜想的結(jié)果并說明理由；（3）求的值.69．閱讀材料：已知為非負實數(shù)，∵，∴，當且僅當“”時，等號成立．這個結(jié)論就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一類最值問題中有著廣泛的應用．例：已知，求函數(shù)的最小值．解：令，，則由，得．當且僅當，即時，函數(shù)取到最小值，最小值為4．根據(jù)以上材料解答下列問題：(1)已知，則當______時，函數(shù)取到最小值，最小值為______；(2)用籬笆圍一個面積為的矩形花園，則當這個矩形花園的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短？最短的籬笆的長度是多少米？(3)已知，則自變量取何值時，函數(shù)取到最大值？最大值為多少？70．在數(shù)學課上，老師說統(tǒng)計學中常用的平均數(shù)不是只有算術(shù)平均數(shù)一種，好學的小聰通過網(wǎng)絡搜索，又得到了兩種平均數(shù)的定義，他把三種平均數(shù)的定義整理如下：對于兩個數(shù)，，稱為，這兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，稱為，這兩個數(shù)的幾何平均數(shù)，稱為，這兩個數(shù)的平方平均數(shù)小聰根據(jù)上述定義，探究了一些問題，下面是他的探究過程，請你補充完整：(1)若，，則；________；_______；(2)小聰發(fā)現(xiàn)當，兩數(shù)異號時，在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義，所以決定只研究當，都是正數(shù)時這三種平均數(shù)的大小關(guān)系．結(jié)合乘法公式和勾股定理的學習經(jīng)驗，他選擇構(gòu)造幾何圖形，用面積法解決問題：

如圖，畫出邊長為的正方形和它的兩條對角線，則圖1中陰影部分的面積可以表示．①請你分別在圖2，圖3中用陰影標出一面積為，的圖形：②借助圖形可知，當，都是正數(shù)時，的大小關(guān)系是：___________（把從小到大排列，并用“”或“”號連接）；③若．則的最小值為________．

71．我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．數(shù)學中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．某校數(shù)學興趣小組，在學習完勾股定理和實數(shù)后，進行了如下的問題探索與分析【提出問題】已知，求的最小值【分析問題】由勾股定理，可以通過構(gòu)造直角三角形的方法，來分別表示長度為和的線段，將代數(shù)求和轉(zhuǎn)化為線段求和問題．【解決問題】(1)如圖，我們可以構(gòu)造邊長為1的正方形，P為邊上的動點．設(shè)，則．則______+______的線段和；(2)在（1）的條件下，已知，求的最小值；(3)【應用拓展】應用數(shù)形結(jié)合思想，求的最大值．72．發(fā)現(xiàn)問題小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數(shù)學道理呢？分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數(shù)，，），如圖1所示．小明設(shè)計了如下三種鏟籽方案．方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．解決問題在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．

第二章實數(shù)內(nèi)容導航知識點…………………2類型一、與平方根有關(guān)的計算……………5類型二、平方根的規(guī)律運算……………11類型三、平方根的非負性應用…………16類型四、與立方根的有關(guān)運算…………19類型五、無理數(shù)的估算…………………25類型六、實數(shù)與數(shù)軸……………………34類型七、與實數(shù)有關(guān)的程序運算、自定義運算……………43類型八、與實數(shù)有關(guān)規(guī)律運算…………51類型九、二次根式的運算………………63類型十、二次根式的應用………………75知識點1．算術(shù)平方根（1）定義：一般地，如果一個正數(shù)x的平方根等于a,即：那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記作，讀作“根號a”,（2）表示方法：非負數(shù)a的算術(shù)平方根記作，讀作根號a,（3）性質(zhì)：①正數(shù)只有一個算術(shù)平方根，并且恒為正；②0的算術(shù)平方根為0，即；③負數(shù)沒有算術(shù)平方根，當式子有意義時，a一定是一個非負數(shù)。知識點2平方根（1）定義：一般地，如果一個正數(shù)x的平方根等于a，即：那么數(shù)x就叫做a的平方根，記作，讀作“正負根號a”,（2）表示方法：一個數(shù)a（a≧0）的平方根記作(a≧0)，讀作根號a,“正負根號a”,（3）性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0只有一個平方根，是它本身，負數(shù)沒有平方根。知識點3開平方（1）定義:求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方，a叫做被開方數(shù)；（2）區(qū)別：取值范圍不同：中a為任意實數(shù)；中a；被開方數(shù)不同：中被開方數(shù)為；中被開方數(shù)為a；運算順序不同：先平方再開方；先開方再平方。聯(lián)系：結(jié)果為非負數(shù)；中a≧0時，=知識點4：立方根的定義1.定義：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.注意：一個數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運算.2：立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0.注意：任何數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數(shù)的符號相同.兩個互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).知識點2：立方根的性質(zhì)注意：第一個公式可以將求負數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.知識點5：實數(shù)1.實數(shù)的概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).2.實數(shù)的分類按定義分：按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)實數(shù)3.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應.數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.知識點6：實數(shù)的運算1．注意：有理數(shù)關(guān)于絕對值、相反數(shù)的意義同樣適用于實數(shù)。2．運算法則：先算乘方開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的。知識點7：二次根式1.二次根式的概念:一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號．如都是二次根式。2.二次根式滿足條件：（1）必須含有二次根號；（2）被開方數(shù)必須是非負數(shù).知識點二：二次根式有無意義的條件1.二次根式有意義：被開方數(shù)為非負數(shù)，即；2.二次根式無意義：被開方數(shù)為負數(shù)，即；知識點8：二次根式1.二次根式（）的非負性（）表示的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個非負數(shù)，即（）．2.二次根式的性質(zhì)：（）3.二次根式的性質(zhì)：知識點8：二次根式的乘法法則1.二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根的指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣:，即當二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù).3.二次根式的乘法法則的逆用：（二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）知識點9：二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則：（二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變）知識點10：最簡二次根式1.最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母，（2）被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式2.化簡二次根式的一般方法方法舉例將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進行開方化去根號下的分母若被開方數(shù)中含有帶分數(shù)，先將被開方數(shù)化成假分數(shù)若被開方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分數(shù)若被開方數(shù)時分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進行開方運算(a＞0，b＞0，c＞0）被開方數(shù)時多項式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：當分母含有根式時，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號.知識點11：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。知識點三：二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）類型一、與平方根有關(guān)的計算1．在一個正方形的內(nèi)部按照如圖方式放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為2﹣6，則較小的正方形面積為（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根據(jù)面積可求得大正方形和陰影部分的邊長，從而求得空白部分的長；觀察可知兩塊空白部分全等，則可得到一塊空白的面積；通過長方形面積公式渴求空白部分的寬，最后求出小正方形的邊長即可求出面積．【詳解】∵觀察可知，兩個空白部分的長相等，寬也相等，∴重疊部分也為正方形，∵空白部分的面積為2﹣6，∴一個空白長方形面積=，∵大正方形面積為12，重疊部分面積為3，∴大正方形邊長=，重疊部分邊長=，∴空白部分的長=，設(shè)空白部分寬為x，可得：，解得：x=，∴小正方形的邊長=空白部分的寬+陰影部分邊長=，∴小正方形面積==10，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次根式的應用，觀察圖形得到各個正方形邊長之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．一個自然數(shù)的一個平方根是，則與它相鄰的下一個自然數(shù)的平方根是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平方根定義得原數(shù)為a2，故相鄰的下一個自然數(shù)是a2+1，再求得平方根即可.【詳解】根據(jù)題意，平方根為a是數(shù)a2，則與它相鄰的下一個自然數(shù)是a2+1，所以它的平方根是，故此題選擇D.【點睛】此題考查平方根定義，這里準確確定被開方數(shù)是解題關(guān)鍵.3．如圖所示為一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律，第7行倒數(shù)第二個數(shù)是.【答案】【分析】觀察數(shù)陣中每個平方根下數(shù)字的規(guī)律特征，依據(jù)規(guī)律推斷所求數(shù)字.【詳解】觀察可知，整個數(shù)陣從每一行左起第一個數(shù)開始，從左到右，從上到下，是連續(xù)的正整數(shù)的平方根，而每一行的個數(shù)依次為2、4、6、8、10…則歸納可知，第7行最后一個數(shù)是，則第7行倒數(shù)第二個數(shù)是.【點睛】本題考查觀察與歸納，要善于發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律性特征.4．若是一個完全平方數(shù)，則比大的最小完全平方數(shù)是．【答案】【分析】由于是一個完全平方數(shù)，則．可知比大的最小完全平方數(shù)是．【詳解】是一個完全平方數(shù)，的算術(shù)平方根是，∴比的算術(shù)平方根大1的數(shù)是，∴這個完全平方數(shù)為：．故答案為：．【點睛】本題考查了完全平方數(shù)．解此題的關(guān)鍵是能找出與之差最小且比大的一個完全平方數(shù)是緊挨著自然數(shù)后面的自然數(shù)：．5．如圖，用兩個面積為的小正方形拼成一個大的正方形．（1）則大正方形的邊長是___________；（2）若沿著大正方形邊的方向裁出一個長方形，能否使裁出的長方形紙片的長寬之比為5：4，且面積為？【答案】（1）；（2）不能剪出長寬之比為5：4，且面積為的大長方形，理由詳見解析【分析】（1）根據(jù)已知得到大正方形的面積為400，求出算術(shù)平方根即為大正方形的邊長；（2）設(shè)長方形紙片的長為，寬為，根據(jù)面積列得，求出，得到，由此判斷不能裁出符合條件的大正方形.【詳解】（1）∵用兩個面積為的小正方形拼成一個大的正方形，∴大正方形的面積為400，∴大正方形的邊長為故答案為：20cm；（2）設(shè)長方形紙片的長為，寬為，，解得：，，答：不能剪出長寬之比為5：4，且面積為的大長方形.【點睛】此題考查利用算術(shù)平方根解決實際問題，利用平方根解方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.6．如圖，一只螞蟻從點沿數(shù)軸向右爬了個單位長度到達點，點表示，設(shè)點所表示的數(shù)為．

(1)求的值；(2)在數(shù)軸上另有、兩點分別表示實數(shù)和，且有與互為相反數(shù)，求線段的中點與點之間的距離．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用數(shù)軸兩點間的距離公式計算即可；（2）利用非負數(shù)的性質(zhì)，得到，的值，代入求值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）解：∵與互為相反數(shù)，∴，∴，∴，，∴點、點所表示的數(shù)是一對相反數(shù)，即線段的中點為原點，∴線段中點（即原點）與點之間的距離為．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離公式、算術(shù)平方根與絕對值非負數(shù)的性質(zhì)及絕對值的計算，解題的關(guān)鍵是求得的值及非負數(shù)性質(zhì)的應用，注意平方根有兩個．7．探究發(fā)散：(1)完成下列填空①______，②______，③______，④______，⑤______，⑥______；(2)計算結(jié)果，回答：一定等于嗎？你發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律了嗎？請你用數(shù)學語言描述出來：_____________________(3)利用你總結(jié)的規(guī)律，計算：若，則______；(4)有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖．

化簡：．【答案】(1)3，0.5，6，0，，(2)不一定，正數(shù)和零的平方的算術(shù)平方根為其本身，負數(shù)的平方的算術(shù)平方根為其相反數(shù)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)數(shù)的算術(shù)平方根的計算可以求出各數(shù)的值；（2）結(jié)合（1）中計算可知不一定等于，并發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律．（3）運用（2）得出的規(guī)律進行運算即可；（4）結(jié)合數(shù)軸可知，且，然后根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)、相反數(shù)的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】（1）解：①，②，③，④，⑤，⑥．故答案為：3，0.5，6,0，，；（2）由（1）可知，不一定等于，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：正數(shù)和零的平方的算術(shù)平方根為其本身，負數(shù)的平方的算術(shù)平方根為其相反數(shù)故答案為：正數(shù)和零的平方的算術(shù)平方根為其本身，負數(shù)的平方的算術(shù)平方根為其相反數(shù)；（3）若，則，所以．故答案為：；（4）由在數(shù)軸上的位置可知，，且，所以．【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根、有理數(shù)與數(shù)軸、相反數(shù)以及絕對值等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和運算法則是解題關(guān)鍵．類型二、平方根的規(guī)律運算8．，，，…，則（

）A．1013 B．1022 C．1012 D．1023【答案】C【分析】本題考查了算術(shù)平方根．解此類題目的關(guān)鍵在于觀察已知等式，從等式中找到到規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題．認真觀察式子，可以發(fā)現(xiàn)等式左邊的被開方數(shù)是從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和，右邊是首末兩個奇數(shù)的平均數(shù)（或奇數(shù)個數(shù)）的平方，利用此規(guī)律即可解答．【詳解】觀察可得：，，…，∴，∴∴∴．故選：C．9．按要求填空：（1）填表：0.00040.044400（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)規(guī)律填空：已知：，則，；已知：，，則．【答案】0.020.222026.830.026833800【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，算術(shù)平方根，根據(jù)解題過程找出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．（1）先求出每個數(shù)的算術(shù)平方根，再填表即可；（2）根據(jù)計算找出規(guī)律即可得到答案．【詳解】（1），，，，填表如下：a（2）由以上解答過程發(fā)現(xiàn)：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴大或縮小100倍，則它的算術(shù)平方根擴大或縮小10倍，，；，，∵，．故答案為0.02、0.2、2、20；26.38，0.02683，3800．10．計算四個式子的值：；；；，觀察計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出：的值為．【答案】36【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根以及數(shù)字的變化規(guī)律的應用，熟練掌握求一個數(shù)算術(shù)平方根的方法是解題關(guān)鍵．根據(jù)；；；，…，可得：，據(jù)此求出的值為多少即可．【詳解】解：；；；，…，∴，∴．故答案為：36．11．觀察表格a0.00010.01110010000…0.010.1110100…按表中規(guī)律若已知，用含m的式子表示n，則．【答案】【分析】本題考查算術(shù)平方根的規(guī)律探究，通過表格可知，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動2個數(shù)位，算術(shù)平方根的小數(shù)點向右移動1個數(shù)位，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由表格可知，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動2個數(shù)位，算術(shù)平方根的小數(shù)點向右移動1個數(shù)位，∵，∴；故答案為：．12．，，，……，其中為正整數(shù)，則的值是．【答案】【分析】本題考查數(shù)式規(guī)律問題、算術(shù)平方根、有理數(shù)的加減混合運算等知識點．先求出，，，的值，代入原式利用算術(shù)平方根和公式進行化簡與計算，即可求解．【詳解】解：，，，，，，，．故答案為：．13．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：…0.00010.01110010000……0.01x1y100…表格中，．（2）歸納總結(jié)：被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動2位，相應的算術(shù)平方根的小數(shù)點就向______移動______位．（3）規(guī)律運用：①已知，則______；②已知，則m＝______．【答案】（1）0.1；10

（2）右；1

（3）①②25【分析】本題考查算術(shù)平方根中的規(guī)律探索題：（1）直接計算即可；（2）觀察（1）中表格數(shù)據(jù)，找出規(guī)律；（3）利用（2）中找出的規(guī)律求解．【詳解】解：（1），，故答案為：，10；（2）由表格中的數(shù)據(jù)可知被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動2位，相應的算術(shù)平方根的小數(shù)點就向右移動1位．故答案為：右，1；（3）①已知，則，②已知，，則，∴故答案為：①22.4；②25．14．如何迅速準確地計算出四位數(shù)的算術(shù)平方根呢？按照下面思路你也能辦到．(1)以下是小明探究的過程，請補充完整：①由，可以確定是位數(shù)；②由的個位上的數(shù)是，可以確定的個位上的數(shù)是或；③如果劃去后面的兩位得到數(shù)，而，，可以確定的十位上的數(shù)是；因，而，所以選擇較小的個位數(shù)字，則__________．(2)已知也是一個整數(shù)的平方，請根據(jù)材料的方法求出，并說明理由．【答案】(1)①兩；②，；③(2)，理由見解析【分析】本題考查算術(shù)平方根；（1）根據(jù)所提供的方法進行計算即可；（2）按照（1）中的步驟和方法進行計解答即可．【詳解】（1）解：①由，可以確定是兩位數(shù)；②由的個位上的數(shù)是，可以確定的個位上的數(shù)是或；③如果劃去后面的兩位得到數(shù)，而，，可以確定的十位上的數(shù)是；因，而，所以選擇較小的個位數(shù)字，則．故答案為：①兩；②，；③；（2）已知也是一個整數(shù)的平方，根據(jù)材料的方法求出的過程如下：①由，可以確定是兩位數(shù)；②由的個位上的數(shù)是，可以確定的個位上的數(shù)是或；③如果劃去后面的兩位得到數(shù)，而，，可以確定的十位上的數(shù)是；因，而，所以選擇較大的個位數(shù)字，則．類型三、平方根的非負性應用15．若，則等于（

）A．5 B．－1 C．13 D．1【答案】A【分析】本題主要考查非負數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出的值，再代入即可求出．【詳解】解：，，故選：A．16．若實數(shù)、滿足，則；【答案】【分析】本題考查了二次根式非負的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后代入計算即可得解【詳解】解：根據(jù)題意得，，解得，，則，故答案為：17．若，則=（

）A．－15 B．－9 C．9 D．15【答案】D【分析】此題主要考查了算術(shù)平方根的非負性質(zhì)，正確得出，的值是解題關(guān)鍵．非負數(shù)和的值均為0時，算術(shù)平方根才有意義，直接利用算術(shù)平方根的非負性質(zhì)得出，的值，進而得出答案．【詳解】解：，，，，當時，，．故選：D18．設(shè)x、y、z是兩兩不等的實數(shù)，且滿足下列等式：，則的值為．【答案】0【分析】利用二次根式被開方數(shù)非負性得到x、y、z大小關(guān)系，最后由符號之間的關(guān)系推導得到及y、z等量關(guān)系，最后直接計算整式的值即可．【詳解】及且x、y、z是兩兩不等的實數(shù)，且，，，，與、均同號，或，又，，故、不同號，，，，故答案為0．【點睛】本題考查二次根式的運算，由二次根式被開方數(shù)的非負性推導求值，通常這類由一個含有二次根式的式子進行求值的題，都能得到特殊大小或關(guān)系，從而求解目標式子，正確的利用二次根式被開方數(shù)的非負性推導字母符號和關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．若，則的值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)和完全平方公式，正確得出的值是解題關(guān)鍵．直接利用非負數(shù)的性質(zhì)得出的值，進而得出答案．【詳解】解：∵，∴，，解得：，∴．故選：A．20．已知a，b，c為的三邊長，且b，c滿足，a為方程的解，求的周長．【答案】17【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系以及非負數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的定義，掌握非負數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．依據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，即可得到b和c的值，再根據(jù)a為方程的解，即可得到或1，依據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可得到，進而得出的周長；【詳解】解：，，，解得，．∴a為方程的解，∴或1．當時，，不能構(gòu)成三角形，∴a=1不符合題意；當時，，能構(gòu)成三角形，此時，的周長為．綜上，的周長為17．類型四、與立方根的有關(guān)運算21．一般地，如果（為正整數(shù)，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．則下列結(jié)論：①3是81的四次方根；②任何實數(shù)都有唯一的奇次方根；③若，則的三次方根是；④當時，整數(shù)的二次方根有4050個．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)a的n次方根的定義結(jié)合平方差公式和絕對值的意義逐一進行分析判斷即可．【詳解】解：①∵，∴3是81的四次方根，①正確；②任何實數(shù)都有唯一的奇次方根，②正確；③∵，則S的三次方根是，③正確；④由已知得：，即數(shù)軸上數(shù)a到數(shù)和數(shù)2025的距離和為4048，又由，故整數(shù)，則整數(shù)a的二次方根有，共4051個，④不正確；故應選：C．【點睛】本題主要考查對a的n次方根的定義的閱讀理解能力，平方差公式與絕對值的幾何意義是難點．22．據(jù)說．我國著名數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個數(shù)是59319，希望求它的立方根．華羅庚脫口而出：39．乘客十分驚訝，忙問計算的奧秘．你知道華羅庚是怎樣迅速準確地計算出來的嗎？請按照下面的問題試一試：(1)由，，可以確定是______位數(shù)．由59319的個位上的數(shù)是9，可以確定的個位上的數(shù)字是______，如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，，由此可以確定、59319的十位上的數(shù)字是______；(2)已知32768，都是整數(shù)的立方，按照上述方法，請你分別求它們的立方根．【答案】(1)兩，9，3；(2)32，；【分析】（1）按照求立方根三步走，求位數(shù)，求個位，求十位推算即可；（2）按照題給方法，依次推算即可；【詳解】（1）∵∴是兩位數(shù)∵的個位上的數(shù)是9∴的個位上的數(shù)字是9∵劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，∴的十位上的數(shù)字是3故答案是：兩，9，3；（2）①求32768的立方根∵∴的立方根是兩位數(shù)∵個位數(shù)是8∴的立方根個位數(shù)是2∵∴的立方根十位數(shù)是3綜合可得32768的立方根是32②求立方根∵∴的立方根是兩位數(shù)∵個位數(shù)是5∴的立方根個位數(shù)是5∵∴274625的立方根十位數(shù)是6∴274625的立方根65∴的立方根是【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算，掌握一些常用整數(shù)的立方值有助于快速判斷立方根的整數(shù)范圍．23．我國數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口說出答案，眾人十分驚奇，忙問計算的奧妙，你知道他是怎樣迅速準確地計算出結(jié)果的嗎？下面是小明的探究過程，請補充完整：(1)求．①由，，可以確定是位數(shù)；②由59319的個位上的數(shù)是9，可以確定的個位上的數(shù)是；③如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，可以確定的十位上的數(shù)是，由此求得．(2)請你根據(jù)（1）中小明的方法，完成如下填空：①，②．【答案】(1)①兩；②9；③3；39(2)①；②0.81【分析】本題主要考查了立方根的概念的運用，解題關(guān)鍵在于比較立方根的大?。ㄟ^比較立方根的大小，即可得出答案．【詳解】（1）解：①，，，，是兩位數(shù)，故答案為：兩；②的個位上的數(shù)是9，而，個位上都是9，的個位上的數(shù)是9，故答案為9；③，，，的十位上的數(shù)是3，又的個位上的數(shù)是9，，故答案為：3，39；（2）解：①的立方根是負數(shù)，，，，，是兩位數(shù)，∵的前三位為117，后三位為649，，，，十位上的數(shù)為4，∵的個位上的數(shù)是9，而，個位上是9，∴的立方根為49，∴；②∵，∵，，，，是兩位數(shù)，∵的前三位為531，后三位為441，而，∴，∴十位數(shù)為8，∵，∴個位數(shù)是1，∴531441的立方根為81，∴，故答案為：，0.81．24．（1）利用求平方根、立方根解方程：①3x2=27②2（x﹣1）3+16=0．（2）觀察下列計算過程，猜想立方根．13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729（?。┬∶魇沁@樣試求出19683的立方根的．先估計19683的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位數(shù)為，驗證得19683的立方根是（ⅱ）請你根據(jù)（?。┲行∶鞯姆椒ǎ瓿扇缦绿羁眨孩?；②=；③=．【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（?。?，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81．【分析】（1）直接利用解方程的基本步驟求解；（2）分別根據(jù)題中所給的分析方法先求出這幾個數(shù)的立方根都是兩位數(shù)，然后根據(jù)閱讀知識求出個位數(shù)和十位數(shù)即可．【詳解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3;②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8，∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1．（2）（?。┫裙烙?9683的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為7，又由，猜想19683的立方根十位數(shù)為2，驗證得19683的立方根是27（ⅱ）①；②；③．故答案為：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81．【點睛】本題主要考查了數(shù)的立方，理解一個數(shù)的立方的個位數(shù)就是這個數(shù)的個位數(shù)的立方的個位數(shù)是解題的關(guān)鍵，有一定難度．25．觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動______位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點向______移動______位．（2）已知，，則_____；______．（3），，，……小數(shù)點的變化規(guī)律是_______________________．（4）已知，，則______．【答案】（1）兩；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被開方數(shù)的小數(shù)點向右（左）移三位，其立方根的小數(shù)點向右（左）移動一位；（4）-0.01【分析】（1）觀察已知等式，得到一般性規(guī)律，寫出即可；（2）利用得出的規(guī)律計算即可得到結(jié)果；（3）歸納總結(jié)得到規(guī)律，寫出即可；（4）利用得出的規(guī)律計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點向右移動一位．故答案為：兩；右；一；（2）已知，，則；；故答案為：12.25；0.3873；（3），，，……小數(shù)點的變化規(guī)律是：被開方數(shù)的小數(shù)點向右（左）移三位，其立方根的小數(shù)點向右（左）移動一位；（4）∵，，∴，∴，∴y=-0.01．【點睛】此題考查了立方根，以及算術(shù)平方根，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．類型五、無理數(shù)的估算26．已知的平方根是的立方根是是的整數(shù)部分．(1)直接寫出的值；(2)若是的小數(shù)部分，求的算術(shù)平方根．【答案】(1)，(2)2【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，平方根和立方根的概念，求一個數(shù)的算術(shù)平方根：（1）根據(jù)平方根和立方根的概念即可求出a、b的值，估算出，即可求出c的值；（2）根據(jù)（1）所求得到，進而求出的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可．【詳解】（1）解：∵的平方根是的立方根是∴，∴，∵，∴，∴的整數(shù)部分為2，即；（2）解：由（1）可得，∴，∵4的算術(shù)平方根為2，∴的算術(shù)平方根為2．27．規(guī)定：對任意的非負實數(shù)n，用表示不大于n的最大整數(shù)，稱為n的整數(shù)部分，用表示的值，稱為n的小數(shù)部分.例如：，，，；請回答下列問題：(1)當時，以下五個命題中為真命題的是（填序號）①；②；③；④；⑤若（a為整數(shù)），則(2)當時，解關(guān)于x的方程【答案】(1)①②④⑤(2)或【分析】本題考查的是估算無理數(shù)的大小和實數(shù)的運算，熟練掌握無理數(shù)估算的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目中的規(guī)定進行逐一判斷即可得出答案；（2）先根據(jù)題目中的規(guī)定對原方程進行整理得，再進行分類討論，求解即可．【詳解】（1）解：，故①正確；，由于，，故②正確；表示的小數(shù)部分，，故③錯誤；表示的整數(shù)部分，，故④正確；為整數(shù)），，故⑤正確，故五個命題中為真命題的是①②④⑤，故答案為：①②④⑤；（2）解：，，，，是的小數(shù)部分，當時，；當時，，，可得，，綜上可得或．28．對于實數(shù)，我們規(guī)定：用符號表示不大于的最大整數(shù)，稱為的根整數(shù)，例如：，．(1)仿照以上方法計算：________；=________；(2)若，寫出滿足題意的正整數(shù)的值_________；(3)如果我們對連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1停止．例如：對10連續(xù)求根整數(shù)2次，，這時候結(jié)果為1．那么對400連續(xù)求根整數(shù)，多少次之后結(jié)果為1？請寫出你的求解過程．(4)只需進行2次連續(xù)求根整數(shù)運算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是_________．【答案】(1)2，6；(2)1，2，3(3)四次之后結(jié)果為1，詳見解析(4)15，詳見解析【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算的應用等知識點，（1）根據(jù)題意得，，，則，即可得；（2）根據(jù)，，，x為正整數(shù)，即可得；（3）根據(jù)題意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得；（4）由（2）得，進行1次求根整數(shù)運算后結(jié)果為1的正整數(shù)最大為3，進行1次求根整數(shù)運算后結(jié)果為3的正整數(shù)最大為15，即可得；解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握無理數(shù)的估算．【詳解】（1）∵，，，∴，∴，，故答案為：2，6；（2）∵，，，x為正整數(shù)，∴或或，故答案為：1，2，3；（3）∵第一次：，第二次：，第三次：，第四次：，∴第四次之后結(jié)果為1；（4）（4）最大的是15，理由如下，由（2）得，進行1次求根整數(shù)運算后結(jié)果為1的正整數(shù)最大為3，∵，，∴進行1次求根整數(shù)運算后結(jié)果為3的正整數(shù)最大為15，∴只對一個正整數(shù)進行2次連續(xù)求根整數(shù)運算后結(jié)果為1，則這個正整數(shù)最大值是15，故答案為：15．29．根據(jù)下表回答下列問題：1718(1)的算術(shù)平方根是，的平方根是；(2)；（保留一位小數(shù)）(3)，；(4)若介于17．6與17．7之間，則滿足條件的整數(shù)n有個；(5)若這個數(shù)的整數(shù)部分為m，求的值．【答案】(1)，(2)(3)，(4)(5)【分析】（1）可得，，由算術(shù)平方根和平方根的定義即可求解；（2）可得，由，，即可求解；（3）開二次方時，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右或左移動兩位時，結(jié)果小數(shù)點每向右或左移動一位；據(jù)此即可求解；（4）可得，從而可求，即可求解；（5）由可求，代值計算即可求解．【詳解】（1）解：由表格得，，的算術(shù)平方根是，，的平方根為，故答案：，．（2）解：，，，，故答案：．（3）解：開二次方時，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右或左移動兩位時，結(jié)果小數(shù)點每向右或左移動一位；，，，；故答案：，．（4）解：介于17．6與17．7之間，，，可取、、、，整數(shù)n有個，故答案：．（5）解：，，的整數(shù)部分是，，．【點睛】本題考查了平方根和算術(shù)平方根的定義，逐步逼近法，無理數(shù)的估算，理解定義，掌握解法是解題的關(guān)鍵．30．新定義：若無理數(shù)的被開方數(shù)(T為正整數(shù))滿足(其中n為正整數(shù))，則稱無理數(shù)的“青一區(qū)間”為；同理規(guī)定無理數(shù)的“青一區(qū)間”為．例如：因為，所以的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為，請回答下列問題：(1)的“青一區(qū)間”為；的“青一區(qū)間”為；(2)若無理數(shù)(a為正整數(shù))的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為，求的值．(3)實數(shù)x，y，滿足關(guān)系式：，求的“青一區(qū)間”．【答案】(1)，(2)2或(3)【分析】（1）根據(jù)“青一區(qū)間”的定義和確定方法，進行求解即可；（2）根據(jù)“青一區(qū)間”的定義求出的值，再根據(jù)立方根的定義，進行求解即可；（3）利用非負性求出的值，再進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴的“青一區(qū)間”為；∵，∴的“青一區(qū)間”為；故答案為：，；（2）∵無理數(shù)“青一區(qū)間”為，∴，∴，即，∵無理數(shù)的“青一區(qū)間”為，∴，∴，即，∴，∴，∵為正整數(shù)，∴或，當時，，當時，，∴的值為2或．（3）∵∴，即，∴，，∴，∵，∴的“青一區(qū)間”為．【點睛】本題考查無理數(shù)的估算，非負性，求一個數(shù)的立方根．理解并掌握“青一區(qū)間”的定義和確定方法，是解題的關(guān)鍵．31．任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)：，（其中為滿足不等式的最大整數(shù)，為滿足不等式的最小整數(shù)），則稱無理數(shù)的“麓外區(qū)間”為，如，所以的麓外區(qū)間為．(1)無理數(shù)的“麓外區(qū)間”是_________；(2)若其中一個無理數(shù)的“麓外區(qū)間”為且滿足，其中是關(guān)于x，y的二元一次方程的一組正整數(shù)解，求值．(3)實數(shù)x，y，m滿足關(guān)系式：，求的算術(shù)平方根的“麓外區(qū)間”．【答案】(1)(2)1或37(3)【分析】（1）只需要估算出的取值范圍即可得到答案；（2）由是關(guān)于x，y的二元一次方程的一組正整數(shù)解，得到是一個完全平方數(shù)，，再由，可得滿足題意的m、n的值為：或，由此代入方程中進行求解即可；（3）先根據(jù)，，得出，進而得出，，兩式相減可得，再根據(jù)“麓外區(qū)間”的定義即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴無理數(shù)的“麓外區(qū)間”是，故答案為：（2）解：由題意得，m、n是兩個相鄰的正整數(shù)，∵是關(guān)于x，y的二元一次方程的一組正整數(shù)解，∴是一個完全平方數(shù)，，∵，∴滿足題意的m、n的值為：或，當時，則，∴，∴；當時，則，∴，∴，綜上所述，C