2023-2024學年九年級上冊數(shù)學復習：二次函數(shù)中的新定義問題專項訓練（30道）

專題22.11二次函數(shù)中的新定義問題專項訓練（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓練卷共30題，選擇10題，填空10題，解答10題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學

生對新定義函數(shù)的理解！

（a（a<h）r

1.（2021?雅安）定義：加〃{a"}=h（a〉b）'若函數(shù)y=而”{x+l'7+2X+3},則該函數(shù)的最大值為（）

A.0B.2C.3D.4

2.（2021?章丘區(qū)模擬）定義：對于二次函數(shù)y=G?+（8+1）x+b-2（qWO）,若存在自變量xo,使得函

數(shù)值等于刈成立，則稱xo為該函數(shù)的不動點，對于任意實數(shù)6,該函數(shù)恒有兩個相異的不動點，則實數(shù)

a的取值范圍為（）

A.0<a<2B.0<aW2C.-2<a<0D.-2Wa<0

3.（2021?岳陽）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”.如

圖，在正方形OA8C中，點A（0,2），點C（2,0）,則互異二次函數(shù)>=（x-m）2-機與正方形OA8C

有交點時初的最大值和最小值分別是（）

5-V175+V17

A.4,-1B.---------,-1C.4,0D.---------,-1

22

4.（2020?寧鄉(xiāng)市一模）定義［a,b,c］為函數(shù)yuad+foc+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為阿-1,s+1,

2ml的函數(shù)的一些結論，其中不正確的是（）

A.當機=2時，函數(shù)圖象的頂點坐標為（-怖，-多

B.當機>1時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長大于3

C.當初<0時，函數(shù)在時，y隨X的增大而增大

D.不論初取何值，函數(shù)圖象經過兩個定點

5.（2020?市中區(qū)二模）對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在常數(shù)M,對于任意的函數(shù)值》都滿足yW

M,那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)；在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確界.例如，

函數(shù)y=-（x+1）2+2,yW2,因此是有上界函數(shù)，其上確界是2,如果函數(shù)y=-2尤+1〃，m<

n）的上確界是％且這個函數(shù)的最小值不超過2優(yōu)，則根的取值范圍是（）

11111

A.m<B.m<5C.-<m<—D.m<

33322

6.（2020秋?思明區(qū)校級期末）對于一個函數(shù)：當自變量x取。時，其函數(shù)值y也等于。，我們稱。為這個

函數(shù)的不動點，若二次函數(shù)y=/+2x+c（c為常數(shù)）有兩個不相等且都小于1的不動點，則。的取值范

圍是（）

11

A.c<-3B.c>-4C.-3<c<-2D.-2<c<4

44

7.（2020秋?亳州月考）定義：在平面直角坐標系中，過一點尸分別作坐標軸的垂線，這兩條垂線與坐標

軸圍成一個矩形，若矩形的周長值與面積值相等，則點尸叫作和諧點，所圍成的矩形叫作和諧矩形.已

知點P是拋物線〉=/+左上的和諧點，所圍成的和諧矩形的面積為16,則左的值可以是（）

A.16B.4C.-12D.-18

8.（2021?河南模擬）新定義：［a,b,c］為二次函數(shù)>=辦2+公+0（aWO,a,b,c為實數(shù)）的“圖象數(shù)”，

如：y=/-2x+3的“圖象數(shù)”為［1,-2,3］,若“圖象數(shù)”是2m+4,2M2+4］的二次函數(shù)的圖象與x

軸只有一個交點，則機的值為（）

1

A.-2B.-C.-2或2D.2

4

9.（2021春?江岸區(qū)校級月考）定義：在平面直角坐標系中，若點A滿足橫、縱坐標都為整數(shù)，則把點A

叫做“整點”.如：B（3,0）、C（-1,3）都是“整點”.拋物線尸辦2-2ax+a+2（fl<0）與x軸

交于點N兩點，若該拋物線在M、N之間的部分與線段所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個整點，

則a的取值范圍是（）

A.-lWa<0B.-2^a<-1C.-D.-2Wa<0

10.（2021?深圳模擬）我們定義一種新函數(shù)：形如y=|研^法+日（°#0,b2-4ac>0）的函數(shù)叫做“鵲橋”

函數(shù).小麗同學畫出了“鵲橋”函數(shù)y=|/-2x-3］的圖象（如圖所示），并寫出下列五個結論：其中正

確結論的個數(shù)是（）

①圖象與坐標軸的交點為（-1,0）,（3,0）和（0,3）；

②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=l；

③當-IWXWI或x23時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；

④當x=-l或x=3時，函數(shù)的最小值是0；

⑤當x=l時，函數(shù)的最大值是4,

A.4B.3C.2D.1

如必以

11.（2021?東安縣模擬）“愛心是人間真情所在“！現(xiàn)用―”定義一種運算，對任意實數(shù)相、”和拋物

線丫="2,當>=辦2"Cm,n）后都可得到y(tǒng)=a（x-m）2+n.當Gn,n）后得到了新函數(shù)的

圖象（如圖所示），則川”=.

（ab（a>3b）

12.（2021?天寧區(qū)校級模擬）若定義一種新運算：。頜='入”例如：4⑥1=4X1=4；5X4

[2a—b—2（a<3b）

=10-4-2=4.則函數(shù)y=（-x+3）0（x+1）的最大值是.

13.（2020春?江岸區(qū)校級月考）定義符號加H{Q,b}為:當。三6時，min{a,b}=b；當時，min{a,

b}=a.例如：min{\,3}=1,min{-2,l}=-2.若關于l的函數(shù)y=加幾{-/十以，丘-2Z+2}的最大

值為3,貝lj%=.

14.（2021?武漢模擬）定義x軸上橫坐標為整數(shù)的點叫“整點”，例如（1,0）、（-3,0）都是“整點”.已

知拋物線y=2/-3"+/與無軸交于4、2兩點，且拋物線對稱軸位于y軸左側，若線段AB上有2個“整

點”（不包含A、B兩點），則。的取值或取值范圍是.

15.（2021秋?康巴什期中）如下圖，正方形ABC。的邊A8在x軸上，A（-4,0）,B（-2,0）,定義:

若某個拋物線上存在一點P,使得點P到正方形ABCD四個頂點的距離相等，則稱這個拋物線為正方形

ABCD的''友好拋物線”.若拋物線y=2_?-nx-n2-1是正方形ABCD的“友好拋物線”，則n的值

為.

小

AB、

DC

16.（2021?邢江區(qū)二模）定義:在平面直角坐標系中，。為坐標原點，設點尸的坐標為（尤，y）,當x<0

時，點尸的變換點P的坐標為（-尤，y）；當xNO時，點尸的變換點P的坐標為（-?%）.

拋物線y=（尤-2）2+〃與天軸交于點c,D（點C在點。的左側），頂點為E,點尸在該拋物線上.若

點P的變換點P在拋物線的對稱軸上，且四邊形ECP'D是菱形，則滿足該條件所有n值的和為.

17.（2021?吳興區(qū)校級三模）定義：如果二次函數(shù)y=tz?+bx+c的圖象經過點（-1,0）,那么稱此二次

函數(shù)圖象為“線性曲線”.例如：二次函數(shù)y=2f-5尤-7和y=-7+3x+4的圖象都是“線性曲線”.若

“線性曲線"y=/-nvc+1-2k與坐標軸只有兩個公共點，則k的值_________________.

18.（2021?慶云縣二模）在直角坐標系xOy中，對于點尸（x,y'）和。（尤，y'）,給出如下定義：若y'

=/二、，則稱點。為點P的“可控變點”?請問：若點尸在函數(shù)y=-$+16（-544）的圖

（->（久<0）

象上，其“可控變點”。的縱坐標<的取值范圍是-16Wy/W16,則實數(shù)a的值是.

19.（2021秋?武漢月考）在平面直角坐標系中，將拋物線Ci：y=/繞點（1,0）旋轉180°后，得到拋

物線C2,定義拋物線C1和C2上位于-2WxW2范圍內的部分為圖象C3.若一次函數(shù)y=fcv+k-1（%>0）

的圖象與圖象C3有兩個交點，則上的范圍是：.

20.（2021?九江二模）定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構成的三角形是直角三角形，則這種拋物

線被稱為：“直角拋物線”.如圖，直線/：丫=3+6經過點加（0,1）,一組拋物線的頂點81（1,以），

B2(2,”),B3(3,*),-Bn(小加)("為正整數(shù))，依次是直線/上的點，第一個拋物線與X

軸正半軸的交點4(xi,0)和A2(xi,0),第二個拋物線與x軸交點A2(尤2,0)和小(X3,0),以

此類推，若無1=1,當d為時，這組拋物線中存在直角拋物線.

21.(2020秋?海淀區(qū)校級期末)已知函數(shù)yi=2fcr+k與函數(shù)y2=f-2x+3,定義新函數(shù)y=y2-yi.

(1)若k=2,則新函數(shù)y=；

(2)若新函數(shù)y的解析式為y=/+bx-2,貝U左=,b=；

(3)設新函數(shù)y頂點為(.m,n).

①當上為何值時，〃有大值，并求出最大值；

②求”與相的函數(shù)解析式.

22.(2021?雨花區(qū)一模)定義：對于給定函數(shù)y=o?+法+c(其中a,b,c為常數(shù)，且aWO),則稱函數(shù)

y=+bx+c,(xN°)為函數(shù)>=如2+區(qū)+。(其中a,6,0為常數(shù)，且。#0)的“相依函數(shù)”，此

lax2—bx—c,(%VO)

“相依函數(shù)”的圖象記為G.

(1)已知函數(shù)y=-/+2x-1.

①寫出這個函數(shù)的“相依函數(shù)”;

②當-IWxWl時，此相依函數(shù)的最大值為；

(2)若直線>=機與函數(shù)y=-x?+2尤-1的相依函數(shù)的圖象G恰好有兩個公共點，求出機的取值范圍；

(3)設函數(shù)y=-亍/+71%+1(?>0)的相依函數(shù)的圖象G在-4WxW2上的最高點的縱坐標為yo,

3

當5W幾W9時，求出n的取值范圍.

23.(2021春?東湖區(qū)校級月考)在直角坐標系無Oy中，定義點C(a,b)為拋物線y=o?+bxQW0)的

特征點坐標.

(1)已知拋物線L經過點A(-2,-2)、2(-4,0),則它的特征點坐標是；

(2)若拋物線Li：丫二加+法的位置如圖所示：

①拋物線Li：y=ax1+bx關于原點0對稱的拋物線Li的解析式為；

②若拋物線Lx的特征點C在拋物線￡2的對稱軸上，試求。、b之間的關系式；

③在②的條件下，已知拋物線心、心與x軸有兩個不同的交點M、N,當點C、M、N為頂點構成的三

角形是等腰三角形時，求“的值.

24.(2021?蘇州二模)定義：如果二次函數(shù)y=m/+6ix+ci(mWO,ai,b\,ci是常數(shù))y=av?+b2x+c2

(CZ2W0,<22,bi,C2是常數(shù))滿足。1+。2=0,bl=b2,Cl+C2=0,則這兩個函數(shù)互為"N"函數(shù).

(1)寫出y=-/+X-I的“N”函數(shù)的表達式；

(2)若題(1)中的兩個“N”函數(shù)與正比例函數(shù)y=fcc(左。0)的圖象只有兩個交點，求上的值；

(3)如圖，二次函數(shù)"與”互為“N”函數(shù)，48分別是“N”函數(shù)yi與”圖象的頂點，C是“N”

函數(shù)”與y軸正半軸的交點，連接A3、AC.BC,若點A(-2,1)且△ABC為直角三角形，求點C的

坐標.

備用圖

25.（2021?長沙模擬）定義：若函數(shù)y=x2+bx+c（cNO）與無軸的交點A,8的橫坐標為XA,XB,與y軸

的交點C的縱坐標為yc,若X4,XB中至少存在一個值，滿足xA=yc（或xB=yc）,則稱該函數(shù)為“M

函數(shù)”.如圖，函數(shù)y=f+2x-3與x軸的一個交點A的橫坐標為-3,與y軸交點C的縱坐標為-3,

滿足X4=yc,則稱y=/+2x-3為"M函數(shù)".

（1）判斷y=/-4x+3是否為函數(shù)”，并說明理由；

（2）請?zhí)骄亢瘮?shù)"y=x1+bx+c（cWO）表達式中的6與c之間的關系；

（3）若y=/+bx+c是函數(shù)"，且/AC8為銳角，求c的取值范圍.

26.（2020秋?任城區(qū)期末）閱讀以下材料，并解決相應問題：

小明在課外學習時遇到這樣一個問題：

定義：如果二次函數(shù)尤+c[aitbi,ci是常數(shù)）y=avc1+b2x+c2（。2#0,ai,bi,ci

是常數(shù)）滿足。1+及=0,bi—bi,ci+c2=0,則這兩個函數(shù)為"旋轉函數(shù)".求函數(shù)y=2，-3x+l的旋

轉函數(shù).小明是這樣思考的，由函數(shù)y=2f-3x+l可知，ai=2,勿=-3,ci=l,根據。1+。2=0,bi=

b2,Cl+C2=0,求出42,bl,C2就能確定這個函數(shù)的旋轉函數(shù).

請思考小明的方法解決下面問題：

(1)寫出函數(shù)y=7-4x+3的旋轉函數(shù)；

(2)若函數(shù)y=57+Cm-1)x+n與y=-5/-nx-3互為旋轉函數(shù)，求Gn+n)2021的值.

(3)已知函數(shù)y=2(x-l)(x+3)的圖象與x軸交于A,8兩點，與y軸交于點C,點A,B,C關于

原點的對稱點分別是Al,Bi,Ci,試求證：經過點Ai,Bi,Ci的二次函數(shù)與y=2(尤-1)(x+3)互為

“旋轉函數(shù)”.

27.(2021?北侖區(qū)一模)定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉

曲線稱為“月牙線”.如圖，拋物線C1與拋物線C2組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線Q與拋物

線C2與x軸有相同的交點M,N(點〃在點N的左側)，與y軸的交點分別為A,8且點A的坐標為(0,

-3),拋物線C2的解析式為y=/nx2+4?u-12",(m>0).

(1)請你根據“月牙線”的定義，設計一個開口向下的“月牙線”，直接寫出兩條拋物線的解析式；

(2)求N兩點的坐標；

(3)在第三象限內的拋物線Ci上是否存在一點P,使得的面積最大？若存在，求出的面

積的最大值；若不存在，說明理由.

28.(2021?開福區(qū)模擬)定義：對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當x<0時，它們對應的函

數(shù)值互為相反數(shù)；當x20時，它們對應的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關函數(shù).例如：一

次函數(shù)y=x-1,它們的相關函數(shù)為y=

(1)已知點A(-5,8)在一次函數(shù)y=公-3的相關函數(shù)的圖象上，求a的值；

(2)已知二次函數(shù)y=-W+Ax-*.

3

①當點3",-）在這個函數(shù)的相關函數(shù)的圖象上時，求機的