天津市部分區(qū)2023-2024學年高二上學期期末考試 數(shù)學 含解析

天津市部分區(qū)2023～2024學年度第一學期期末練習高二數(shù)學第Ⅰ卷（共36分）一、選擇題：本大題共9小題，每小題4分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知空間向量，，則（）A. B.C. D.2.已知直線：與直線：平行，則實數(shù)的值為（）A.1 B. C.1或 D.不存在3.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.4.在等比數(shù)列中，，，則的公比為（）A.1 B.2 C.3 D.45.若雙曲線經(jīng)過橢圓的焦點，且雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的方程為（）A. B.C. D.6.過點且與圓相切的直線方程為（）A. B.C或 D.或7.在棱長為1的正方體中，E為的中點，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.8.已知，是橢圓：的左、右焦點，以為直徑的圓與橢圓C有公共點，則C的離心率的最小值為（）A. B. C. D.9.設數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項和為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共84分）二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.10已知空間向量，，則__________.11.直線的傾斜角為_______________.12.設為等差數(shù)列的前項和，且，，則_________.13.已知空間三點，，，則點到直線的距離為__________.14.圓與圓的公共弦長為___________.15.已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線E交于A，B兩點，若直線與圓交于C，D兩點，且，則直線的一個斜率為___________.三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.記為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）若是等比數(shù)列，且，，求的前n項和.17.已知圓C經(jīng)過，兩點和坐標原點O.（1）求圓C的方程；（2）垂直于直線的直線與圓C相交于M，N兩點，且，求直線的方程.18.如圖，三棱柱中，側棱平面，為等腰直角三角形，，且，D，E，F(xiàn)分別是，，中點.（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求證：平面；（3）求平面與平面夾角余弦值.19.在數(shù)列中，，.（1）求，；（2）記.（i）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（ii）對任意的正整數(shù)，設，求數(shù)列的前項和.20.已知橢圓：，離心率為，且經(jīng)過點.（1）求C的方程：（2）過點M且斜率大于零的直線與橢圓交于另一個點N（點N在x軸下方），且的面積為3（O為坐標原點），求直線的方程.天津市部分區(qū)2023～2024學年度第一學期期末練習高二數(shù)學第Ⅰ卷（共36分）一、選擇題：本大題共9小題，每小題4分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知空間向量，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由空間向量的坐標線性運算即可得解.【詳解】由題意空間向量，，則.故選：A.2.已知直線：與直線：平行，則實數(shù)的值為（）A.1 B. C.1或 D.不存在【答案】A【解析】【分析】求出直線與不相交時的值，再驗證即可得解.【詳解】當直線與不相交時，，解得或，當時，直線：與直線：平行，因此；當時，直線：與直線：重合，不符合題意，所以實數(shù)的值為1.故選：A3.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的方程與焦點之間的關系分析求解.【詳解】由題意可知：此拋物線的焦點落在y軸正半軸上，且，可知，所以焦點坐標是.故選：B.4.在等比數(shù)列中，，，則的公比為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】直接由等比數(shù)列基本量的計算即可得解.【詳解】由題意（分別為等比數(shù)列的首項，公比）.故選：B.5.若雙曲線經(jīng)過橢圓的焦點，且雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求橢圓的焦點坐標，再代入雙曲線方程可得，利用漸近線方程可得，進而可得答案.【詳解】橢圓的焦點坐標為，而雙曲線過，所以，得，由雙曲線的一條漸近線方程為可得，則，于是，即.所以雙曲線的標準標準為.故選：D.6.過點且與圓相切的直線方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】由題意分直線斜率是否存在再結合直線與圓相切的條件進行分類討論即可求解.【詳解】圓，即圓的圓心坐標，半徑分別為，顯然過點且斜率不存在的直線為，與圓相切，滿足題意；設然過點且斜率存在的直線為，與圓相切，所以，所以解得，所以滿足題意的直線方程為或.故選：D.7.在棱長為1的正方體中，E為的中點，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法求點到平面的距離公式即可求出結果.【詳解】分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，,,,,,,設平面的法向量為，,即，取，所以點到平面的距離為.故選：A.8.已知，是橢圓：的左、右焦點，以為直徑的圓與橢圓C有公共點，則C的離心率的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圓與橢圓有交點得，即，可得，即可求解.【詳解】由題意知，以為直徑的圓的方程為，要使得圓與橢圓有交點，需，即，得，即，由，解得，所以橢圓的離心率的最小值為.故選：C9.設數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意首項得，進而有，由裂項相消法求和即可.【詳解】由題意，則，兩式相減得，所以，又，所以，，所以數(shù)列前10項和為.故選：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.10.已知空間向量，，則__________.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標表示即可求解.【詳解】由題意知，.故答案為：911.直線的傾斜角為_______________.【答案】【解析】【分析】由直線的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.【點睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關系，合理準確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.12.設為等差數(shù)列的前項和，且，，則_________.【答案】39【解析】【分析】由題意成等差數(shù)列，結合，即可求解.【詳解】由題意為等差數(shù)列的前項和，且，，所以，而成等差數(shù)列，所以.故答案為：39.13.已知空間三點，，，則點到直線的距離為__________.【答案】【解析】【分析】利用空間向量坐標法即可求出點到直線的距離.【詳解】因，，，所以，與同向的單位方向向量，則點到直線的距離為.故答案為：14.圓與圓的公共弦長為___________.【答案】【解析】【分析】由兩圓的方程先求出公共弦所在的直線方程，再利用點到直線的距離公式，弦長公式，求得公共弦長即可.【詳解】兩圓方程分別為：①，②，由-可得：，即，兩圓的公共弦所在的直線方程為：，的圓心坐標為，半徑為，圓心到公共弦的距離為：，公共弦長為：.綜上所述，公共弦長為：故答案為：.15.已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線E交于A，B兩點，若直線與圓交于C，D兩點，且，則直線的一個斜率為___________.【答案】（或，答案不唯一）【解析】【分析】設的方程為，，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，再由焦點弦公式得，由圓的方程可知，直線過其圓心，，由列出方程求解即可.【詳解】由題意知，的斜率存在，且不為，設的方程為，，聯(lián)立，得，易知，則，所以，圓的圓心，半徑，且直線過圓心，所以，由得，，故答案為：（或，答案不唯一）..三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.記為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）若是等比數(shù)列，且，，求的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知條件求出數(shù)列首項與公差，可求的通項公式；（2）由可得的首項與公比，可求前n項和.【小問1詳解】設等差數(shù)列公差為，，，解得，所以；【小問2詳解】設等比數(shù)列公比為，，，得，解得，所以.17.已知圓C經(jīng)過，兩點和坐標原點O.（1）求圓C的方程；（2）垂直于直線的直線與圓C相交于M，N兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題意可知，由此得圓的半徑，圓心，進而得解.（2）由直線垂直待定所求方程，再結合點到直線距離公式、弦長公式即可得解.【小問1詳解】由題意可知，所以圓C是以，中點為圓心，為半徑的圓，所以圓C的方程為.【小問2詳解】因為垂直于直線的直線與圓C相交于M，N兩點，且，所以不妨設滿足題意方程為，所以圓心到該直線的距離為，所以，解得，所以直線的方程為或18.如圖，三棱柱中，側棱平面，為等腰直角三角形，，且，D，E，F(xiàn)分別是，，的中點.（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求證：平面；（3）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出，結合向量夾角余弦公式即可得解.（2）要證明平面，只需證明，即只需證明.（3）由（2）得平面的一個法向量為，故只需求出平面的法向量，再結合向量夾角余弦公式即可得解.【小問1詳解】由題意側棱平面，又因為平面，所以，因為，所以，所以兩兩互相垂直，所以以點為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：因為為等腰直角三角形，，且，D，E，F(xiàn)分別是，，的中點.所以，，所以，設直線與所成角為，所以.【小問2詳解】由（1），所以，所以，又因為平面，所以平面.【小問3詳解】由（2）可知平面，即可取平面的一個法向量為，由（1）可知，不妨設平面的法向量為，則，不妨令，解得，即可取平面的法向量為，設平面與平面夾角為，則.19.在數(shù)列中，，.（1）求，；（2）記（i）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（ii）對任意的正整數(shù)，設，求數(shù)列的前項和.【答案】19.，20.（i）證明見解析；.（ii）.【解析】【分析】（1）由遞推公式即可得到，；（2）對于（i），利用已知條件和等差數(shù)列的概念即可證明；對于（ii），先寫出，再利用錯位相減法求得奇數(shù)項的前項和，利用等差數(shù)列的前項和公式求得偶數(shù)項的前項和，進而相加可得.【小問1詳解】由，，得，所以，，即，.【小問2詳解】（i）證明：由和得，，所以是，公差為的等差數(shù)列；因為，所以，即.（ii）由（i）得，當為奇數(shù)，即時，，設前項中奇數(shù)項和為，前項中偶數(shù)項和為所以①，②，由①②得：，，，即，則；當為偶數(shù)，即時，，所以.綜上所述，.20.已知橢圓：，離心率為，且經(jīng)過點.（1）求C方程：（2）過點M且斜率大于零的直線與橢圓交于另一個點N（點N在x軸下方），且的面積為3（O為坐標原點），求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由離心率和橢圓上的點，橢圓的方程；（2）設直線方程，代入橢圓方程，利用弦長公式和面積公式求出直線斜率，可得直線方程.【小問1詳解】橢圓：，離心率為，且經(jīng)過點，則有，解得，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】過點M且斜率大于零的直線與橢圓交于