山東省濟(jì)南市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試試題 數(shù)學(xué)

關(guān)注公眾號《品數(shù)學(xué)》加入高中數(shù)學(xué)資料群（QQ群號734924357），獲取更多精品資料高二期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的一般方程與斜率的關(guān)系，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【解析】直線的斜率為1，故傾斜角為.故選：B2.已知雙曲線，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線方程，求解漸近線方程即可．【解析】由于雙曲線為，所以其漸近線方程為.故選：C.3.已知正項等比數(shù)列中，，則等于（）A.2 B.4 C.5 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)計算即可.【解析】由題意易知，又各項為正數(shù)，所以.故選：B4.在三棱柱中，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算計算即可.【解析】由題可知.故選：D5.2023年10月29日，“濟(jì)南泉城馬拉松”在濟(jì)南大明湖路拉開序幕，約3萬名選手共聚一堂，在金秋十月享受了一場酣暢淋漓的馬拉松盛會．某贊助商在沿途設(shè)置了10個飲水補(bǔ)給站，第一個補(bǔ)給站準(zhǔn)備了1千瓶飲用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此類推，第n站比第站多n千瓶（且），第10站準(zhǔn)備的飲用水的數(shù)量為（）A.45千瓶 B.50千瓶 C.55千瓶 D.60千瓶【答案】C【解析】【分析】設(shè)第站的飲用水的數(shù)量為，由題意得：，，，，，然后利用累加法即可求解.【解析】設(shè)第站的飲用水的數(shù)量為，由題意得：，，，，，以上等式相加得：，，即.故選：C6.已知，，若直線上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題可得點(diǎn)軌跡方程，再由直線與圓有公共點(diǎn)建立不等式，求解即可.【解析】因?yàn)椋?，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，，所以點(diǎn)的軌跡方程為，由題可知，直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得：.故選：C7.已知雙曲線，其中A、分別為雙曲線的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的點(diǎn)，滿足垂直于x軸且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】設(shè)，代入雙曲線方程求出，根據(jù)可得答案.【解析】設(shè)，則，解得，即，，因?yàn)?，所以，可得，，解?故選：A.8.如圖所示為正八面體的展開圖，該幾何體的8個表面都是邊長為1的等邊三角形，在該幾何體中，P為直線DE上的動點(diǎn)，則P到直線AB距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出該幾何體，確定直線DE和直線AB為異面直線，再根據(jù)平面//平面，結(jié)合等體積法求得到平面的距離即可.【解析】把平面展開圖還原為空間八面體，如圖所示：由題意，P到直線AB距離的最小值即直線到直線的距離，又//，平面，平面，故//平面.又，故四邊形為菱形，則//.平面，平面，故//平面.又，平面，故平面//平面.故直線到直線的距離為平面到平面的距離.則到平面的距離即為P到直線AB距離的最小值.設(shè)與交于，則易得為正四棱錐中心.則，，故為直角三角形，故.設(shè)到平面的距離為，則由，故，故，解得.故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.一條光線從點(diǎn)射出，射向點(diǎn)，經(jīng)x軸反射后過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線AB的斜率是 B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】選項A應(yīng)用斜率公式計算即可；選項B，先求得點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，進(jìn)而求得反射光線所在直線的斜率，應(yīng)用兩條直線垂直的斜率公式判斷即可；選項C，求得反射光線所在直線的方程，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)；選項D應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【解析】由于、，由斜率公式得：，選項A正確；點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，經(jīng)x軸反射后直線的斜率為：，且，所以，選項B正確；直線即直線的方程為：，即，將代入得：，所以點(diǎn)，，選項C不正確；由兩點(diǎn)間距離公式得：，選項D正確；故選：ABD.10.已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上異于長軸端點(diǎn)A，B的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓C的焦距為6 B.的周長為16C. D.的面積的最大值為16【答案】AB【解析】【分析】由橢圓方程求得，，的值，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合選項即可逐一求解.【解析】由橢圓，得，，，橢圓的焦距為，故A正確；又為橢圓上異于長軸端點(diǎn)，的動點(diǎn)，△的周長為，故B正確；，故C錯誤；當(dāng)為橢圓的短軸的一個端點(diǎn)時，△的面積取最大值為，故D錯誤．故選：AB．11.在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P，Q分別滿足，，則（）A.，使且B.，平面C.，使與平面所成角的正切值為D.，與是異面直線【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量一一計算判定選項即可.【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可知，則，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，對于A，若，則，故A錯誤；對于B，易知恒成立，且平面，則平面，故B正確；對于C，設(shè)與平面所成角為，若，即，解之得或，顯然，使得結(jié)論成立，故C正確；對于D，因?yàn)椋艄簿€，則存在實(shí)數(shù)，使得，解得，所以，不共線，故D正確.故選：BCD12.已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列，記為數(shù)列的前n項和，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】求得中的一些元素，結(jié)合等差數(shù)列的定義、通項公式、求和公式，對選項逐一判斷即可.【解析】由題意可得：,可得，則對于選項A:易得，故A正確；對于選項B:易得，故B正確；對于選項C:由，可得，故C錯誤；對于選項D:易得數(shù)列每隔四個一組求和，可構(gòu)成等差數(shù)列，其首項為，公差為，由，，則，此時有，故D正確.故選：ABD.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：關(guān)鍵是通過找到，由此借助等差數(shù)列的相關(guān)知識，進(jìn)而求解即可.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，若，則的值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量共線即可求解.【解析】由，，，可得，故，故答案為：14.已知等差數(shù)列首項，公差，則前n項和的最大值為________．【答案】16【解析】【分析】利用等差數(shù)列前項和公式和,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解析】等差數(shù)列首項，公差，．則前項和的最大值為16．故答案為：16．15.已知圓，直線，直線l被圓C截得的最短弦長為________．【答案】【解析】【分析】先求出直線過定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)與故直線垂直時，直線l被圓C截得的弦長最短，求出最短弦長.【解析】變形為，故直線過定點(diǎn)，故當(dāng)與故直線垂直時，直線l被圓C截得的弦長最短，其中的圓心為，半徑為2，此時弦長為.故答案：16.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作與x軸不垂直的直線l交C于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A做垂直于x軸的直線交C于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是的外心，則的值為________．【答案】2【解析】【分析】設(shè)直線，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求以及點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得結(jié)果.【解析】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)，可知直線l與拋物線必相交，設(shè)直線，，可得，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，，且，即線段的中點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，由題意可知：點(diǎn)M在x軸上，令，可得，即，則，所以.故答案為：2.【小結(jié)】方法小結(jié)：對于弦中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，在解決有關(guān)弦中點(diǎn)、弦所在直線的斜率、弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率問題時可簡化運(yùn)算，但要注意直線斜率是否存在．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列，滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求的前2n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得，代入等差數(shù)列通項公式即可求解；（2）由，代入求和即可.【小問1解析】由已知，得，解得，故【小問2解析】由（1）得，所以，得．18.已知圓心為C的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用圓的對稱性先確定圓心，再求半徑即可；（2）設(shè)P坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式及點(diǎn)在圓上消元轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域求范圍即可.【小問1解析】圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，得圓心在的中垂線上，又圓心C在直線上，聯(lián)立直線方程有，得，即圓心坐標(biāo)為，又，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2解析】設(shè)，易知，則（*），因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C上運(yùn)動，則，故（*）式可化簡為，，由得的取值范圍為．19.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等腰直角三角形，求的面積；（2）若，證明：直線l過定點(diǎn)P，并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）先根據(jù)準(zhǔn)線方程求得拋物線方程，再由拋物線及等腰直角三角形對稱性得，，從而求得坐標(biāo)計算面積即可；（2）設(shè)直線l方程及坐標(biāo)，與拋物線方程聯(lián)立，由垂直關(guān)系及韋達(dá)定理計算即可【小問1解析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，可得拋物線的方程為：，又為等腰直角三角形，根據(jù)拋物線及等腰直角三角形對稱性可知：，，且兩點(diǎn)關(guān)于橫軸對稱，則直線．于是得，則，所以．【小問2解析】設(shè)直線，，，聯(lián)立，得，，且，又因?yàn)?，則，即．由，得，，，即，解得或（舍去）．當(dāng)時，滿足．此時，直線l的方程．則l過定點(diǎn)．20.如圖（1）所示中，，．分別為中點(diǎn)．將沿向平面上方翻折至圖（2）所示的位置，使得．連接得到四棱錐．記的中點(diǎn)為，連接．（1）證明：平面；（2）點(diǎn)在線段上且，連接，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間中的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合線面垂直的判定即可求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解平面的夾角.【小問1解析】取AB中點(diǎn)M，連接NM，CM．則，即四邊形AMCD為平行四邊形，所以，又因?yàn)椋?，由，，即，又，，平?所以平面，又平面，故，又因?yàn)?，則，又，平面所以平面，又平面，所以，又在中，且，在中，且，則，又為中點(diǎn)，所以，又，平面,所以平面．【小問2解析】由，，則，即，又，，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線x分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，故，，因?yàn)?，所以，，設(shè)平面的法向量，平面的法向量，則，取，解得，易知平面，即，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．21.設(shè)數(shù)列，其前n項和為，，為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前100項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可求解，根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算即可求解，（2）利用列舉法即可逐一求解的前100項，即可求和得解.【小問1解析】對于數(shù)列，因?yàn)棰?，所以，，②得由①式，?dāng)時，得，也滿足，所以．因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)得，得，設(shè)數(shù)列的公比為，又因?yàn)?，，所以即，解得或，又因?yàn)闉閱握{(diào)遞增的等比數(shù)列，所以，所以【小問2解析】由于，，，，，，所以，對應(yīng)的區(qū)間為，，則，即有2個1；，，…,對應(yīng)的區(qū)間為，，…,，則，即有6個2；，，…,對應(yīng)的區(qū)間為，，…,，則，即有18個3；，，…,對應(yīng)的區(qū)間為，，…,，則，即有54個4；，，…,對應(yīng)的區(qū)間為，，…,，則，即有20個5；所以22.在平面直角坐標(biāo)系．xOy中，設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．直線，相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是．（1）求動點(diǎn)M的軌跡方程；（2）記動點(diǎn)M的軌跡為曲線E，過作兩條互相垂直的直線，，與曲線E交于A、B兩點(diǎn)，與曲線E交于C、D兩點(diǎn)，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)為，根據(jù)斜率之積得到方程，求出軌跡方程，注意；（2）設(shè)，，，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，設(shè)，，同理得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)直線，相互垂直，得到，利