概率統(tǒng)計與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)專題課件高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

概率統(tǒng)計與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)概率統(tǒng)計與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)交匯問題也是高考命題的一個熱點,屬于綜合性較強的試題,題目多以概率統(tǒng)計的實際應(yīng)用為主體,在涉及求概率、期望的最值或范圍問題時,需要用導(dǎo)數(shù)或函數(shù)的方法解決,難度較大.角度一概率統(tǒng)計與函數(shù)的綜合例1(2023新高考Ⅱ,19)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c).當(dāng)c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.解

(1)當(dāng)p(c)=0.5%時,由患病者頻率分布直方圖可得第一個小矩形面積為0.002×5=0.01,由未患病者頻率分布直方圖可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035=3.5%.(2)當(dāng)c∈[95,100)時,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;當(dāng)c∈[100,105]時,p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.故當(dāng)c=100時,f(c)取最小值,最小值為f(100)=0.02.角度二概率統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù)的綜合例2為了普及奧運知識,M大學(xué)舉辦了一次奧運知識競賽,競賽分為初賽與決賽,初賽通過后才能參加決賽.(1)初賽從6道題中任選2題作答,2題均答對則進入決賽.已知這6道題中小王能答對其中4道題,用X表示小王在初賽中答對的題目個數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對1道題的前提下,仍未進入決賽的概率;(2)M大學(xué)為鼓勵大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績,對進入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎勵.獎勵規(guī)則如下:已進入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎3次,中獎1次獎勵120元,中獎2次獎勵180元,中獎3次獎勵360元,若3次均未中獎,則只獎勵60元.假定每次抽獎中獎的概率均為p(0<p<),且每次是否中獎相互獨立.(ⅰ)記一名進入決賽的大學(xué)生恰好中獎1次的概率為f(p),求f(p)的極大值;(ⅱ)M大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進入了決賽,若這9名大學(xué)生獲得的總獎金的期望值不小于1120元,試求此時p的取值范圍.針對訓(xùn)練1.為選拔培養(yǎng)對象,某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營活動.(1)若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來自A中學(xué),從這7名學(xué)員中選取3人,用ξ表示選取的人中來自A中學(xué)的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)在夏令營開幕式的晚會上,物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動,規(guī)則如下:兩人一組,每一輪競答中,每人分別答兩題,若小組答對題數(shù)不小于3,則取得本輪勝利.已知甲、乙兩名同學(xué)組成一組,甲、乙答對每道題的概率分別為p1,p2.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨立,且互不影響.當(dāng)p1+p2=時,求甲、乙兩名同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值.解

(1)由題可知,ξ服從超幾何分布,且N=7,M=3,n=3.(2)用χ表示甲答對題數(shù),由題可知χ~B(2,p1);用η表示乙答對題數(shù),由題可知η~B(2,p2).設(shè)A=“甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝”,2.“踩高蹺,猜燈謎”是我國元宵節(jié)傳統(tǒng)的文化活動.某地為了弘揚文化傳統(tǒng),在元宵節(jié)舉辦形式多樣的猜燈謎活動.(1)某商戶借“燈謎”活動促銷,將燈謎按難易度分為B,C兩類,抽到B類燈謎并答對,則購物打八折優(yōu)惠;抽到C類燈謎并答對,則購物打七折優(yōu)惠.抽取燈謎規(guī)則如下:在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片,其中3張寫有A字母,3張寫有B字母,2張寫有C字母,顧客每次不放回地從箱中隨機取出1張卡片,若取到寫有A的卡片,則再取1次,直至取到寫有B或C的卡片為止,求該顧客取到寫有B的卡片的概率.(2)小明嘗試去找全街最適合他的燈謎,規(guī)定只能取一次,并且只可以向前走,不能回頭,他在街道上一共會遇到n條燈謎(不妨設(shè)每條燈謎的適合度各不相同),最適合的燈謎出現(xiàn)在各個位置上的概率相等,小明準(zhǔn)備采用如下策略:不取前k(1≤k<n)條燈謎,自第k+1條開始,只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的燈謎適合的,就取這條燈謎,否則就取最后一條,設(shè)k=tn(0<t<1),記小明取到那條最適合的燈謎的概率為P.①若n=4,k=2,求P;②當(dāng)n趨向于無窮大時,從理論的角度,求P的最大值及P取最大值時t的值.解

(1)設(shè)M=“該顧客取到寫有B的卡片”,則由題可知

(2)①設(shè)A=“小明摘到那條最適合的燈謎”.由題可知,試驗的樣本空間包含的樣本點個數(shù)為n(Ω)==24,且每個樣本點都是等可能的.要摘到最適合的燈謎,有以下兩種情況:最適合的燈謎是第3條,其他的燈謎隨意在哪個位置,有

=6(種)情況;最適合的燈謎是最后1條,第二適合的燈謎是