3.4.2.2空間向量與垂直關系課件高二上學期數學北師大版（2019）選擇性必修第一冊

第三章

空間向量與立體幾何

3.4.2.2空間向量與垂直關系1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系.2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的垂直關系.探究1

如圖，根據直線、平面的位置關系，判斷直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關系？提示

l⊥m，n1∥l，n1⊥n2.探究2

如圖所示，AB⊥α，垂足為點B，AC∩α＝C，l?α，且l⊥BC，由向量法能否得到l⊥AC.提示

能.1.設向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量，則 l⊥m?________； l⊥α?________； α⊥β?_________.知識梳理l⊥ml∥n1n1⊥n22.三垂線定理及其逆定理 (1)三垂線定理：若平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的______垂直，則它也和這條______垂直. (2)三垂線定理的逆定理：若平面內的一條直線和這個平面的一條______垂直，則它也和這條斜線在這個平面內的______垂直.投影斜線斜線投影提示：在三垂線定理及逆定理中“平面內的一條直線”這個條件不能忽略.例15∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量u與平面β的法向量v互相垂直，(1)已知平面α與平面β垂直，若平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為________.∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.√(2)下列命題中正確的是A.若直線l與平面α外的一條直線l′在平面α內的投影垂直，則l⊥l′B.若直線l與平面α外的一條直線l′垂直，則l與l′在平面α內的投影垂直C.若向量a和直線l在平面α內的投影垂直，則a⊥lD.若非零向量a和平面α平行，且和直線l垂直，直線l不與平面α垂直，則a垂直于l在平面a內的投影由三垂線定理及逆定理知，A，B選項中均缺少“直線l在平面α內”這一條件，A，B均不正確；當a與平面α平行或a在平面α內時正確，否則結論不成立，故C不正確，故選D.注意垂直關系與向量關系間的正逆應用，既可判定垂直關系，也可以求參數.思維升華訓練1√因為l1⊥l2，所以a⊥b.因為a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，m)，所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，解得m＝2.故選B.l⊥α(2)若直線l的一個方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的一個法向量為μ＝(－2，0，－4)，則直線l與平面α的關系為________.∵μ＝－2a，∴a∥μ，∴l(xiāng)⊥α.例2法二設AB中點為O，作OO1∥AA1.以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知得思維升華利用空間向量證明兩直線垂直的常用方法及步驟：(1)基向量法：①選取三個不共面的已知向量為空間向量的一組基；②把兩直線的方向向量用基表示；③計算兩直線的方向向量的數量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直.(2)坐標法：①根據已知條件和圖形特征，建立適當的空間直角坐標系，正確地寫出各點的坐標；②根據所求出點的坐標求出兩直線方向向量的坐標；③④與(1)同.(3)借助平面的法向量來證明線線垂直：①平面α的法向量為v，直線l的方向向量為a，若a∥α，則l與法向量所在直線垂直；②平面α、β的法向量分別為v1，v2，若α⊥β，則v1⊥v2.如圖，在四棱錐S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且SA＝1，點M是SD的中點.求證：SC⊥AM.訓練2以A為原點，AB，AD，AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，例3(鏈接教材P127練習T3)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點.求證：EF⊥平面B1AC.法一設正方體的棱長為2，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，AB1，AC?平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C?平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.思維升華證明直線與平面垂直的方法：本例法一、法二中建立空間直角坐標系，利用坐標將向量的運算轉化為實數(坐標)的運算，以達到證明的目的.法三選一組基，將相關向量用基表示出來，然后利用向量的運算來證明.訓練3如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分別為CD，PB的中點.求證：EF⊥平面PAB. 以D為坐標原點，DC，DA，DP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設CD＝2a，AD＝b.例4在正三棱錐P－ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證：平面GEF⊥平面PBC.法一如圖，以三棱錐的頂點P為原點，以PA，PB，PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.法二同法一，建立空間直角坐標系，則E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0).思維升華用向量法判定兩個平面垂直，只需求出這兩個平面的法向量，計算它們的數量積是否為0即可.訓練4已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動點.(1)求證：A1E⊥BD；以D為坐標原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，設正方體的棱長為a，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).設E(0，a，e)(0≤e≤a).(2)若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點的位置.設平面A1BD，平面EBD的法向量分別為n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).1、背誦記憶兩直線垂直的常用方法及步驟2、背誦記憶直線與平面垂直的方法3、背誦記憶面面垂直的方法思路1.若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，則 A.l1∥l2

B.l1⊥l2 C.l1，l2相交但不垂直

D.不能確定√∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l(xiāng)1⊥l2.√a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，2.若平面α，β的法向量分別為a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，則α與β的位置關系是 A.平行

B.垂直 C.相交但不垂直

D.無法確定∴α⊥β.3.設l1的一個方向向量為a＝(1，3，－2)，l2的一個方向向量為