《信號與系統(tǒng)》課件第二章

第二章連續(xù)時間信號和系統(tǒng)的時域分析2.1

LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與傳輸算子2.2

LTI因果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2.3

LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.4卷積及其性質(zhì)2.5

LTI因果系統(tǒng)的全響應(yīng)及其經(jīng)典方法求解2.6基于MATLAB的時域分析2.1.1建立LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有兩類建立系統(tǒng)模型的方法，一是輸入輸出描述法，二是狀態(tài)變量描述法。本章只討論輸入輸出描述法。用這種描述法，連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程；離散時間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性差分方程（將在第五章討論）。由具體電路模型可以討論系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立。2.1LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與傳輸算子

例2.1-1

如圖2.1-1所示的RLC串聯(lián)電路，e(t)為激勵信號，響應(yīng)為i(t)，試寫出其微分方程。

解這是有兩個獨(dú)立動態(tài)元件的二階系統(tǒng)，利用KVL定理列回路方程，可得上式是一個微、積分方程，對方程兩邊求導(dǎo)，并代入系數(shù)，整理為這是二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——二階線性微分方程。圖2.1-1RLC串聯(lián)電路

一般有n個獨(dú)立動態(tài)元件組成的系統(tǒng)是n階系統(tǒng)，可以由n階微分方程描述(或n個一階微分方程組描述)。還可以從另一個角度判斷一般電路系統(tǒng)的階數(shù)：系統(tǒng)的階數(shù)等于獨(dú)立的電容電壓vC(t)與獨(dú)立的電感電流iL(t)的個數(shù)之和。其中獨(dú)立vC(t)是不能用其他vC(t)(可含電源)表示的；獨(dú)立iL(t)是不能用其他iL(t)(可含電源)表示的。

例2.1-2如圖2.1-2所示電路，判斷系統(tǒng)階數(shù)。圖2.1-2例2.1-2電路

解

(1)列電路(a)的KVL方程：R1i1(t)+vC1(t)+vC2(t)=e(t)，vC2(t)=vR2(t)，有兩個獨(dú)立的vC(t)，所以該系統(tǒng)是二階系統(tǒng)。

(2)列電路(b)的KVL方程：vC1(t)=vC2(t)+vC3(t)，是通過其它vC(t)表示的，是非獨(dú)立的vC(t)；但vC2(t)≠vC3(t)，有兩個獨(dú)立的vC(t)，所以該系統(tǒng)也是二階系統(tǒng)。2.1.2用算子符號表示微分方程

n階LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是n階線性常系數(shù)微分方程，一般表示為(2.1-1)式(2.1-1)的一般形式書寫起來不方便，為了形式上簡潔，可以將微、積分方程中的微、積分運(yùn)算用算子符號p與1/p表示，由此得到的方程稱為算子方程。微分算子(2.1-2)

(2.1-3)積分算子(2.1-4)這樣，例2.1-1電路的微分方程可以表示為

p2i(t)+5pi(t)+6i(t)=pe(t)

式(2.1-1)的n階線性微分方程可以用算子表示為

pny(t)+an-1pn-1y(t)+...+a1

py(t)+a0y(t)

=bmpmf(t)+bm-1pm-1f(t)+...+b1

pf(t)+b0f(t)(2.1-4)

式(2.1-5)是算子方程。算子方程中的每一項表示的是運(yùn)算關(guān)系，而不是代數(shù)運(yùn)算。不過模仿代數(shù)運(yùn)算，可以將上式寫為

(pn+an-1pn-1+...+a1p+a0)y(t)

=(bmpm+bm-1pm-1+...+b1p+b0)f(t)(2.1-6)

式（2.1-6)是n階線性微分方程的算子方程。在這里，利用了提取公因子的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則。若再令

D(p)=pn+an-1pn-1+...+a1p+an(2.1-7a)

N(p)=bmpm+bn-1pm-1+...+b1p+b0

(2.1-7b)

稱D(p)、N(p)分別為分母、分子算子多項式，則式(2.1-6)可簡化為

D(p)y(t)=N(p)f(t)(2.1-8)

式(2.1-8)還可以進(jìn)一步改寫為(2.1-9)式中分母多項式D(p)表示對輸出y(t)的運(yùn)算關(guān)系，分子多項式N(p)表示對輸入f(t)的運(yùn)算關(guān)系，而不是兩個多項式相除的簡單代數(shù)關(guān)系。算子表示的是微、積分運(yùn)算，因此代數(shù)運(yùn)算規(guī)則不能簡單照套，下面具體討論算子的運(yùn)算規(guī)則。

(1)可進(jìn)行類似代數(shù)運(yùn)算的因式分解或因式相乘展開。

(p+a)(p+b)x=［p2+(a+b)p+ab］x(2.1-10)證(2)算子方程左、右兩端的算子符號p不能隨便消去。由，解出x=y+C而不是x=y，兩者相差一個任意常數(shù)C，所以不能由px=py得到x=y，即px=py，但x≠y。這一結(jié)論可推廣到一般的算子方程：

D(p)x=D(p)y，但x≠y

這樣例2.1-1的算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)還可以表示為(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)(3)p、1/p位置不能互換。因為所以(1.2-11)而因此(2.2-11)

式(2.1-11)、(2.1-12)分別說明，形式上先“除”后“乘”即先積分后微分的運(yùn)算次序，算子可消去；形式上先“乘”后“除”即先微分后積分的運(yùn)算次序，算子不可消去。

2.1.3用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型利用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型比較方便，這種方法簡稱算子法。它是先將電路中所有動態(tài)元件用算子符號表示，得到算子電路；再利用廣義的電路定律，建立系統(tǒng)的算子方程；最后將算子方程轉(zhuǎn)換為微分方程。電感的算子表示可由其電壓電流關(guān)系得到，因為(2.1-13)式中,Lp是電感算子符號，可以理解為廣義的電感感抗值，式(2.1-13)可以理解為廣義歐姆定律。(2.1-14)

同理，由電容上的電壓電流關(guān)系得到式中,

1/Cp是電容算子符號，可以理解為廣義的電容容抗值，式(2.2-13)也可以理解為廣義歐姆定律。將動態(tài)元件用算子符號表示，可以得到算子電路。下面舉例說明由算子電路列寫系統(tǒng)的微分方程的方法。

例2.1-3如圖2.1-1所示RLC串聯(lián)電路，輸入為e(t)，輸出為電流i(t),用算子法列出算子方程與微分方程。解

將圖2.2-1中的電感、電容用算子符號表示，得到算子電路如圖2.1-3所示，利用廣義的KVL,列出算子方程式由上面的算子方程寫出微分方程為

結(jié)果與例2.1-1相同。兩邊同時作微分運(yùn)算（“前乘”p），得算子方程

(p2+5p+6)i(t)=pe(t)圖2.1-3例2.1-3的算子電路

例2.1-4

如圖2.1-4(a)電路，f(t)為激勵信號，響應(yīng)為i2(t)，試用算子法求其算子方程與微分方程。

解將圖2.2-2(a)中的電感用算子符號表示如圖2.2-2(b)所示，利用廣義網(wǎng)孔法列出兩個算子方程

(3p+1)i1(t)-pi2(t)=f(t)

-pi1(t)+(p+3)i2(t)=0利用克萊姆法則，解出圖2.1-4例2.1-4電路與算子電路由式(2.1-7)與(2.1-8)，可寫成

(p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t)微分方程為也可以寫成

例2.1-5如圖2.2-3(a)所示電路輸入為e(t)，輸出為i1(t)、i2(t)，用算子法求其算子方程與微分方程。已知L1=1H，L2=2H，R1=2Ω，R2=1Ω，C=1F。圖2.1-5例2.1-5電路與算子電路

解將圖2.1-5中的電感、電容分別用算子符號表示如圖2.1-5(b)所示，利用廣義網(wǎng)孔法,列算子方程組為避免在運(yùn)算過程中出現(xiàn)p/p因子，可先在上面的方程組兩邊同時作微分運(yùn)算,即“前乘”p（當(dāng)分子分母同時出現(xiàn)p時可約），得到(p2+2p+1)i1(t)-i2(t)=pe(t)

-i1(t)+(2p2+p+1)i2(t)=0

利用克萊姆法則，解出

由式(2.1-7)與式(2.1-8)，可得

(2p3+5p2+5p+3)i1(t)=(2p2+p+1)e(t)

微分方程為用相同的方法，可以得到微分方程為2.1.4傳輸（轉(zhuǎn)移）算子H(p)

由式(2.1-9)有我們定義傳輸（轉(zhuǎn)移）算子H(p)為(2.1-15)這樣，系統(tǒng)的輸出可以表示為

y(t)=H(p)f(t)(2.2-16)

例2.1-6

求例2.2-1激勵為e(t)，響應(yīng)為i(t)的系統(tǒng)傳輸算子H(p)。

解

例2.1-1的算子方程為

(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)

則由

得到

例2.1-7求例2.1-4激勵為f(t)，響應(yīng)為i2(t)的系統(tǒng)傳輸算子H(p)。

解

例2.1-2的算子方程為

(p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pf(t)

則由得到

例2.1-8

求例2.1-5激勵為e(t)，響應(yīng)為i1(t)時的系統(tǒng)傳輸算子H1(p)；激勵為f(t)，響應(yīng)為i2(t)時的系統(tǒng)傳輸算子H2(p)。

解

由

可得

我們注意到此例H1(p)與H2(p)的分母多項式相同。由H(p)的定義，不難看出系統(tǒng)傳輸算子的分母多項式是系統(tǒng)的特征多項式。它僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，與激勵以及激勵加入的端口無關(guān)。所以同一系統(tǒng)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)一定，無論激勵以及激勵加入的端口如何改變，其傳輸算子的分母多項式都不會改變。2.2LTI因果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

2.2.1零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)與激勵無關(guān)，其數(shù)學(xué)模型是齊次微分方程。將f(t)=0，代入式(2.1-8)的算子方程，得到

D(p)y(t)=0(2.2-1)

式(2.2-1)中D(p)是系統(tǒng)的特征多項式，D(p)=0是系統(tǒng)的特征方程，使D(p)=0的值是特征方程的根，稱為系統(tǒng)的特征根。一般n階齊次微分方程所給的初始條件是零輸入響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)初始條件yzi(0),yzi′(0)，…，yzi（n-1）(0)。該標(biāo)準(zhǔn)初始條件可簡記為yzi(k)

(0)(k=0,1,2,…,n-1)或{y(k)zi(0)}。為強(qiáng)調(diào)零輸入響應(yīng)是由系統(tǒng)換路前儲能引起的換路后系統(tǒng)響應(yīng)，初始條件中的0可加下標(biāo)用0+表示為yzi(0+),yzi′(0+),…,y(n-1)zi(0+)或{y(k)zi(0+)}。為了減少符號，書寫簡便，零輸入響應(yīng)的初始條件還可記為{y（k)(0)}或{y(k)(0+)}，且y(k)(0)=y(k)(0+)=y(k)zi(0+)

(k=0,1,2,…,n-1)式(2.2-2)表明，除非特別說明，本書所給初始條件是零輸入初始條件。下面，先討論一階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)求解的一般方法，再討論二階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)求解的一般方法，最后是n階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)求解的一般方法。一階齊次微分方程為

(p－λ)y(t)=0

y(0)

(2.2-3)

由系統(tǒng)的特征方程p-λ=0，得特征根p=λ，其解（零輸入響應(yīng)）的一般形式為

y(t)=y(0)eλt

t>0

(2.2-4)

由式(2.2-4)可知，此時解的一般模式取決于特征根λ，而解的系數(shù)由初始條件確定。二階齊次微分方程的一般算子形式為

(p2+a1p+a0)y(t)=0

y(0-),y′(0)

(2.2-5)

由p2+a1p+a0=(p-λ1)(p-λ2)=0，得到二階系統(tǒng)的兩個特征根λ1、λ2。與一階齊次微分方程相同，二階齊次微分方程解的模式取決于兩個特征根λ1、λ2，其表達(dá)式為

(2.2-6)式中,系數(shù)C1、C2由兩個初始條件y(0)、y′(0)確定。y(0)=C1+C2

y′(0)=λ1C1+λ2C2(2.2-7)解此方程組,求出C1、C2,從而確定了二階系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。

以上是二階系統(tǒng)特征根不同的情況，如果p2+a1p+a0=(p-λ)2=0，特征根相同，則是二階重根，此時二階齊次微分方程解的形式為

y(t)=C1eλt+C2teλt

t>0(2.2-8)

系數(shù)C1、C2仍由兩個初始條件y(0),y′(0)確定

y(0-)=C1

y′(0-)=λC1+C2

n階齊次微分方程的算子形式為

(pn+an-1pn-1+...+a1p+a0)y(t)=0

y(0),y′(0)y″(0),...,y(n-1)(0)(2.2-9)

由特征方程

D(p)=pn+an-1pn-1+...+a1p+a0=(p-λ1)(p-λ2)...(p-λn)=0

得到n個特征根λ1、

λ2、

...、λn，n階齊次方程解的模式取決于這n個特征根，表達(dá)式為(2.2-11)n個系數(shù)C1、C2、...、Cn由n個初始條件y(0)、y′(0)y″(0)、...、yn-1(0)確定。y(0)=C1+C2+...+Cn

y′(0)=λ1C1+λ2C2+...+λnCn

…

yn-1(0)=λ1n-1C1+λ2n-1

C2+...+λnn-1Cn

(2.2-12)式(2.2-11)可用矩陣形式表示為(2.2-13)

常數(shù)C1、...、Cn可用克萊姆法則解得，或用逆矩陣表示為(2.2-14)若n階系統(tǒng)的特征方程為D(p)=(p-λ1)k(p-λk+1）…(p-λn)=0(2.2-15)則此時λ1為k重根，其余均為單根。重根λ1對應(yīng)齊次解的一般形式為(2.2-16)當(dāng)只有一個特征根λ1為k重根時，齊次通解yzi(t)的一般形式為(2.2-17)若還有其他特征根是重根的，處理方法與λ1為重根時相同。有重根時求解系數(shù)的n個方程不再是線性方程，雖無法用矩陣表示，但仍可據(jù)此方法得到零輸入響應(yīng)的n個系數(shù)。

例2.2-1已知系統(tǒng)的傳輸算子H(p)=

初始條件yzi(0)=1，

，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。

解

特征根λ1=-3,λ2=-4

由式(2.2-8)，零輸入響應(yīng)形式為

yzi(t)=C1e-3t+C2e-4t

t>0

將特征根及初始條件y(0)=1，y′(0)=2代入式(2.3-6)

1=C1+C2

2=-3C1-4C2

解出

C1=6

C2=-5

yzi(t)=6e-3t-5e-4t

t>0最后

例2.2-2已知電路如圖2.2-1所示，開關(guān)K在t=0時閉合，初始條件i2(0-)=0，i2′(0-)=-1A/s。求零輸入響應(yīng)i2(t)。圖2.2-1例2.2-2電路

(p+1)i1-i2=e(t)

-pi1+(p+1)i2=0

解

先求e(t)→i2(t)時的H(p)解出代初始條件則2.2.2初始條件標(biāo)準(zhǔn)化

n階電路系統(tǒng)的儲能情況，通常由n個獨(dú)立儲能元件的初始狀態(tài){xk(0-)}表示。在求零輸入響應(yīng)時，需要把這樣的初始狀態(tài)，即非標(biāo)準(zhǔn)初始條件轉(zhuǎn)變?yōu)樗枰牧爿斎腠憫?yīng)標(biāo)準(zhǔn)初始條件y(k)

zi(0+)(k=0,1,2,…,n-1)，這個過程就叫做零輸入響應(yīng)初始條件標(biāo)準(zhǔn)化，簡稱初始條件標(biāo)準(zhǔn)化。利用系統(tǒng)儲能元件上的初始狀態(tài)一般不會突變，即{xk(0-)}={xk(0+)}，以及借助換路后0+瞬間的電路方程，可以將系統(tǒng)的非標(biāo)準(zhǔn)初始條件轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)化初始條件。舉例說明初始條件如何標(biāo)準(zhǔn)化。圖2.2-2例2.2-3電路例2.2-3

已知電路如圖2.2-2，且iL(0-)=1A，

vC(0-)=10V，求izi(t)。解D(p)=(p+2)(p+3),λ1=-2,λ2=-3

izi(t)=C1e-2t+C2e-3t

t>0

令t=0+代入上式，得

5i(0+)+i′(0+)+vC(0+)=0

將vC(0-)=vC(0+)，且f(t)=0代入上式，有

5+10+i′(0+)=0

由上式解得標(biāo)準(zhǔn)初始條件為i(0+)=1A及i′(0+)=-15A/s，解出代入izi(t)得到izi(t)=-12e-2t+13e-3t

t>0圖2.2-3例2.2-4電路

例2.2-4

電路如圖2.2-3所示，已知iL(0－)=1A，vC(0－)=1V，求i2zi(0+)，i2zi′(0+),i2zi(t)。解

此題也有非標(biāo)準(zhǔn)化初始條件轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化初始條件的問題。由網(wǎng)孔KVL方程組：將e(t)=0、t=0+、i1=iL以及R、L、C參數(shù)值代入，得到

i‘1(0+)+i1(0+)-i2(0+)=0(A)

-i1(0+)+i2(0+)+vC(0+)=0(B)由式(B)，i2(0+)=i1(0+)-vC(0+)=0,代入式(A)對式(B)求導(dǎo)得到標(biāo)準(zhǔn)化初始條件：，與例2.2-2的標(biāo)準(zhǔn)化初始條件相同，解得結(jié)果相同，不再重復(fù)。

因為

，代入上式2.3LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.3.1單位沖激響應(yīng)h(t)

輸入為單位沖激信號δ(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)定義為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)，如圖2.3-1所示。

h(t)由傳輸算子表示為

h(t)=H(p)δ(t)

(2.3-1a)

或記為δ(t)→h(t)(2.3-1b)圖2.3-1單位沖激響應(yīng)n階線性系統(tǒng)的傳輸算子為(2.3-2)為分析簡便，更突出求解單位沖激響應(yīng)的基本方法，假設(shè)H(p)的分母多項式D(p)均為單根，將分母多項式D(p)分解，并代入式(2.3-1a)，得到將其展開為部分分式之和(2.3-3a)(2.3-3b)式中(2.3-3c)式(2.3-3b)中的系數(shù)A1~An由待定系數(shù)法確定，上式表明一個n階系統(tǒng)可以分解為n個一階子系統(tǒng)之和。首先討論一階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的一般表示，再將結(jié)果推廣至高階系統(tǒng)。式(2.3-3c)是一階子系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的算子表示。由式(2.3-3c)，分別得到一階系統(tǒng)的算子方程及微分方程為(2.3-4a)(2.3-4b)

對式(2.3-4b)的微分方程求解，先在式(2.3-4b)的等式兩邊同時乘以

得到了hi(t)

的全微分，即對上式兩邊同時積分

由于因果系統(tǒng)的hi(0-)=0，因此一階子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的一般項為(2.3-5)

代入式(2.4-3b)，得到n階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為(2.3-6)

例2.3-1求例2.1-6系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)。

解

例2.1-6的傳輸函數(shù)由待定系數(shù)法分解為利用式(2.4-5)，可得

h(t)=(3e-3t-2e-2t)u(t)圖2.3-2例2.3-2電路例2.3-2如圖2.3-2所示電路，輸入為電流源i(t)，輸出為電容電壓vC(t)，試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。

解

由廣義KCL列算子節(jié)點(diǎn)方程表2-2列出了部分H(p)與其對應(yīng)的h(t)，可以直接應(yīng)用。表2-1

H(p)所對應(yīng)的h(t)2.4.2系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)（儲能）為零時，其響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。利用系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)以及LTI系統(tǒng)的時不變性、比例性以及積分特性，我們可以得到因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。

根據(jù)LTI系統(tǒng)的時不變性，當(dāng)輸入移位τ時，δ(t)→h(t)輸出也移位τ，可以得到

δ(t-τ)→h(t-τ)(2.3-7)

根據(jù)LTI系統(tǒng)的比例性，當(dāng)輸入乘以強(qiáng)度因子f(τ)時，輸出也乘以強(qiáng)度因子f(τ)，又得到

f(τ)δ(t-τ)→f(τ)h(t-τ)(2.3-8)

最后利用LTI系統(tǒng)的積分特性，若輸入信號是原信號的積分，輸出信號亦是原信號的積分，可以得到

式(2.3-9)得到的正是因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。我們注意到，這種求解響應(yīng)的方法與以往求解微分方程不同，故稱之為時域法；又由于式(2.3-9)是數(shù)學(xué)卷積運(yùn)算的一種形式，因此也稱卷積法。當(dāng)已知f(t)、h(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可用式(2.3-9)的卷積計算。卷積計算時，積分變量為τ，t僅是參變量，計算時按常數(shù)處理。即(2.3-9)

卷積計算的具體步驟：第一步是變量轉(zhuǎn)換，將f(t)變?yōu)閒(τ)，h(t)變?yōu)閔(t－τ)；第二步是將f(τ)與h(t－τ)兩個函數(shù)相乘；第三步確定積分上、下限，也就是找到f(τ)h(t－τ)相乘后的非零值區(qū)；最后，對f(τ)h(t－τ)積分得出零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。圖2.3-3例2.3-3電路例2.3-3

如圖2.3-3所示電路，已知激勵f(t)=u(t)，用時域法求i(t)。

解

(pL+R)i(t)=f(t)將f(t)、h(t)代入式(2.4-9)

從以上求解過程，可以看到時域法是利用系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，借助卷積積分來完成系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解。

2.4卷積及其性質(zhì)

2.5.1卷積卷積積分指的是兩個具有相同自變量t的函數(shù)f1(t)與f2(t)相卷積后成為第三個相同自變量t的函數(shù)y(t)。這個關(guān)系表示為(2.4-1)

式(2.4-1)是卷積的一般形式，與2.4節(jié)式(2.4-9)公式比較，若令f1(τ)=f(τ)，f2(t－τ)=h(t－τ)，則變量置換、相乘、積分等運(yùn)算相同,僅積分限不同。下面說明兩者不同的原因，即當(dāng)f1(t)、f2(t)受到某種限制時，由卷積的一般公式可以得到與式(2.4-9)相同的表示式。

設(shè)f1(t)為因果信號，即f1(t)=f1(t)u(t)，而f2(t)不受此限，則有

(2.4-2)

再設(shè)f2(t)為因果信號，即f2(t)=f2(t)u(t)，但f1(t)不受此限，則

最后設(shè)f1(t)、f2(t)均為有始信號，即f1(t)=f1(t)u(t)，f2(t)=f2(t)u(t)，將上面的結(jié)果代入式(2.5-1)，不難得到

式(2.4-3)是在因果信號、因果系統(tǒng)條件下卷積公式的特例。(2.4-3)

2.4.2任意函數(shù)與δ(t)、u(t)卷積

(1)f(t)*δ(t)=f(t)(2.5-4)

證

從f(t)與δ(t)卷積結(jié)果可知δ(t)是卷積的單位元。(2)f(t)*δ(t-t1)=f(t-t1)(2.4-5)

證

由式(2.4-5)可知，任意函數(shù)與δ(t-t1)卷積，相當(dāng)于該信號通過一個延時（移位）器，如圖2.4-1所示。圖2.4-1(3)(2.4-6)

由式(2.4-6)可知，任意函數(shù)與u(t)卷積，相當(dāng)于信號通過一個積分器，如圖2.4-2所示。圖2.4-2

2.4.3卷積的性質(zhì)

1.時移

f(t－

t0－

t1)=f1(t－

t0)*f2(t－

t1)=f1(t－

t1)*f2(t－

t0)

=f1(t－t0－t1)*f2(t)

=f1(t)*f2(t－t0－t1)(2.4-7)

證令τ-t0=x，代入上式，得

同理可證式(2.4-7)的其它形式。當(dāng)f1(t)、f2(t)、f3(t)分別滿足可積條件時，一些代數(shù)性質(zhì)也適合卷積運(yùn)算。2.交換律

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)(2.4-8)證（令t-τ=x,dτ=-dx）（再令x=τ）f2(t)*f1(t)也稱為卷積的第二種形式，式(2.4-8)實際應(yīng)用意義如圖2.4-3所示。圖2.4-3交換律的實用定義

3.分配律

f1(t)*［f2(t)+f3(t)］=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)(2.4-9)

證式(2.4-9)實際應(yīng)用意義如圖2.4-4所示。圖2.4-4分配律的實用定義

4.結(jié)合律

f1(t)*［f2(t)*f3(t)］=［f1(t)*f2(t)］*f3(t)(2.5-10)

證

令τ-λ=x，τ=λ+x，dτ=dx，代入上式式(2.5-10)實際應(yīng)用意義如圖2.5-5所示。圖2.5-5結(jié)合律的實用定義

2.4.4卷積的圖解法卷積的圖解法是計算卷積的基本方法，優(yōu)點(diǎn)是可以直觀確定積分限、積分條件，并且作圖方便。圖解法具體步驟為

(1)f(t)→f(τ)，函數(shù)圖形不變，僅t→τ。

(2)h(t)→h(t-τ)，它包括兩部分運(yùn)算:①折疊h(t)→h(τ)→h(-τ)；

②移位，t是h(－τ)與h(t－

τ)之間的“距離”。

(3)將折疊移位后的圖形h(t－

τ)與f(τ)相乘。

(4)求h(t－τ)與f(τ)相乘后其非零值區(qū)的積分（面積）。舉例說明圖解法的具體應(yīng)用方法。t<0左移

t>0右移

例2.4-1

f(t)、h(t)如圖2.5-6所示，求y(t)=f(t)*h(t)。圖2.4-6例2.4-1的f(t)、h(t)解具體計算如圖2.5-7所示。圖2.4-7例2.4-1圖解法示意圖2.5.5卷積的微分、積分性質(zhì)與信號的運(yùn)算相似，卷積也有微分、積分性質(zhì)，但與信號的微分、積分運(yùn)算有所區(qū)別。

(1)微分(2.4-11)證由卷積的第二種形式，同理可證式(2.4-11)表示對兩個函數(shù)的卷積函數(shù)微分，等于對其中一個被積函數(shù)微分后再卷積。(2.4-12)(2)積分證由卷積的第二種形式同理可證(3)微、積分性。若

y(t)=f1(t)*f2(t)

則

y(i)(t)=f(j)1(t)*f(i-j)2(t)(2.4-13)

其中,i、j取正整數(shù)時為導(dǎo)數(shù)的階次；i、j取負(fù)整數(shù)時為重積分的階次。特別地,(2.4-14)證

利用式(2.4-14)的結(jié)果，可由f(t)與h(t)的卷積公式，推出f′(t)與階躍響應(yīng)g(t)的卷積公式，即(2.4-15)

式中，g(t)是系統(tǒng)對單位階躍信號的零狀態(tài)響應(yīng)，也簡稱單位階躍響應(yīng)。

例2.4-2

f(t)、h(t)如圖2.5-6所示，用微、積分性質(zhì)求y(t)=f(t)*h(t)。f′(t)和g(t)如圖2.4-8所示。圖2.4-8例2.4-2的f′(t)和g(t)結(jié)果與例2.4-1相同。2.5LTI因果系統(tǒng)的全響應(yīng)及其分解

2.5.1全響應(yīng)由前兩節(jié)的分析可知，用系統(tǒng)的儲能及激勵可分別求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)為兩者之和，即

y(t)=yzi(t)+yzs(t)(2.5-1)y(t)對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)初始條件為{y(k)(0+)}。利用線性系統(tǒng)的可分解性，可以將標(biāo)準(zhǔn)全響應(yīng)初始條件{y(k)(0+)}分解為標(biāo)準(zhǔn)零狀態(tài)初始條件及標(biāo)準(zhǔn)零輸入初始條件，即(2.5-2)其中,{yzs(k)(0+)}、{y(k)zi(0+)}分別是零狀態(tài)標(biāo)準(zhǔn)初始條件、零輸入標(biāo)準(zhǔn)初始條件。當(dāng)激勵不為零時，亦可由0+等效電路及系統(tǒng)儲能元件的初始狀態(tài){xk(0-)}求解出{y(k)(0+)}，進(jìn)而求解完全響應(yīng)y(t)。但在求解具體電路問題時，全響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)初始條件{y(k)(0+)}實際不易求得。因為它既有激勵的作用，又要考慮系統(tǒng)儲能的情況。不過，雖然yzs(t)是待求變量，但在實際問題中不用{y(k)zs(0+)}，也可由時域卷積方法求出yzs(t)，所以此時{y(k)zs(0+)}并不是必要信息。當(dāng)然，如有需要求得{y(k)zs(0+)}。若激勵為零，零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)=0，此時式(2.5-2)為(2.5-3)為避免符號太多的困擾，再次約定在用時域法求解零輸入響應(yīng)時(2.5-4)即不特別指出的，本書微分方程所給定的初始條件均是用于求解零輸入響應(yīng)的。

例2.5-1

已知某線性系統(tǒng)的傳輸算子為

，激勵f(t)=u(t)，初始條件yzi(0)=1，y‘zi(0)=2,求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)。解

由特征根及初始條件y(0-)=1，y′(0-)=2,求得零輸入響應(yīng)為yzi(t)=(C0+C1t)e

-tu(t)

y(0-)=1=C0

y′(0-)=-C0+C1=2,得C1=3

yzi(t)=(1+3t)e-tu(t)傳輸算子得h(t)=e-tu(t)零狀態(tài)響應(yīng)

yzs(t)=f(t)*h(t)=u(t)*e-tu(t)利用例2.3-3的結(jié)果

yzs(t)=(1-e-t)u(t)全響應(yīng)y(t)=yzi(t)+yzs(t)

=(1+3t)e-tu(t)+(1-e-t)u(t)

=(1+3te-t)u(t)

2.5.2全響應(yīng)及其分解全響應(yīng)可分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)外，還可以從其它角度出發(fā)，分解為不同分量。從響應(yīng)與系統(tǒng)或激勵的關(guān)系可分為自然（由）響應(yīng)與受（強(qiáng)）迫響應(yīng)。其中由系統(tǒng)特征根決定模式的響應(yīng)定義為自然（由）響應(yīng)；與激勵模式相同的響應(yīng)定義為受（強(qiáng)）迫響應(yīng)。顯然，零輸入響應(yīng)是自然（由）響應(yīng)；零狀態(tài)響應(yīng)是既有受（強(qiáng)）迫響應(yīng)，也有自然（由）響應(yīng)。

從響應(yīng)隨時間t趨于無窮是否消失，響應(yīng)還可分為瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。其中瞬態(tài)響應(yīng)是響應(yīng)中隨著時間增長而消失的部分；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是響應(yīng)中隨時間增長不會消失的部分。例如e-tu(t)是瞬態(tài)響應(yīng)，而3sinωt·u(t)、u(t)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

例2.5-2

試指出例2.4-3各響應(yīng)分量。

解

i(t)=(1-e-t)u(t)=u(t)-e-tu(t)

受迫、穩(wěn)態(tài)

自然、瞬態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)

即例2.4-3響應(yīng)i(t)是零狀態(tài)響應(yīng)，其中的e-tu(t)是自然（由）響應(yīng)、瞬態(tài)響應(yīng)；u(t)是受（強(qiáng)）迫響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

即例2.5-1全響應(yīng)y(t)中的零輸入響應(yīng)

yzi(t)=(1+3t)e-tu(t)

零狀態(tài)響應(yīng)

yzs(t)=(1-e-t)u(t)

u(t)是受（強(qiáng)）迫響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；3te-tu(t)是自然（由）響應(yīng)、瞬態(tài)響應(yīng)。自然頻率=特征根λ=(-1)2

例2.5-3試指出例2.5-1各響應(yīng)分量及自然頻率。解：*2.5.3經(jīng)典法求解系統(tǒng)微分方程下面簡單回顧高等數(shù)學(xué)中求解線性微分方程的方法，并與本章的方法比較。一般n階LTI系統(tǒng)的微分方程可由式(2.1-1)表示為初始條件為y(0+),y′(0+),…,y(n-1)(0+)。要注意，這時{y(k)(0+)}是全響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)初始條件。這是“高等數(shù)學(xué)”求解法與“信號與系統(tǒng)”時域法的區(qū)別。即在“信號與系統(tǒng)”給定的初始條件，一般僅是零輸入初始條件，而在“高等數(shù)學(xué)”給定的一般是全響應(yīng)初始條件。所以此時的初始條件{y(k)(0+)}既與激勵尚未加入系統(tǒng)時的系統(tǒng)儲能有關(guān)，也與系統(tǒng)加入的激勵有關(guān)，可以用于求解t>0后的微分方程完全解。式(2.1-1)的特征方程為(2.5-5)由特征方程，可求得特征根(p

1)(p

2)

(p

n)=0(2.5-6)假設(shè)特征根均為單根

1，

2，

n，由其得到齊次通解yh(t)的一般形式(2.5-7)式中

i為特征根。若特征根

1為k重根，對應(yīng)齊次通解的一般形式為(p

1)k(p

k+1)

(p

n)=0(2.5-８)重根λ1對應(yīng)的齊次通解一般形式為當(dāng)有一個特征根λ1為k重根時，微分方程齊次通解yh(t)的一般形式為(2.5-9)(2.5-10)若還有其他特征根是重根的，處理方法與λ1為重根時相同。微分方程特解的形式與激勵形式相同，如表2-2所示，代入原方程中得到具體系數(shù)。微分方程的完全解由齊次通解與特解兩部分組成，即完全解為(2.5-11)由給定的n個初始條{y(k)(0+)}可以確定n個Ci系數(shù)。表2-2典型激勵對應(yīng)的特解 2.6、基于MATLAB的信號時域分析2.6.1、求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)1、計算例2.3-1沖激響應(yīng)

clear;

b=［010］;

a=［156］;

sys=tf(b,a);

t=0:0.1:10;

y=impulse(sys,t);

plot(t,y);

[JP2]axis(［-0.2,4,-0.2,1.1］);[JP]

line(［-0.2,4］,［0,0］);

xlabel(′時間(t)′);

ylabel(′h(t)′);

title(′例2.3-1的單位沖激響應(yīng)′);

波形如圖2.6-1所示。

圖2.6-1例2.3-1沖激響應(yīng)波形2.求例2.3-3系統(tǒng)階躍響應(yīng)的MATLAB程序

clear;

b=［1］;

a=［11］;

sys=tf(b,a);

t=0:0.1:10;

y=step(sys,t);

plot(t,y);

axis(［-0.1,6,-0.1,1.1］);

line(［0,6］,［0,0］);

line(［0,0］,［-0.1,1.1］);

xlabel(′時間(t)′);

ylabel(′y(t)′);

title(′單位階躍響應(yīng)′)

波形如圖2.6-2所示。

圖2.6-2例2.3-3階躍響應(yīng)的波形2.6.2利用擴(kuò)展函數(shù)convwthn求時域卷積

例2.6-1門函數(shù)3［u(t+1)-u(t-2)］與指數(shù)函數(shù)2e-2t卷積的MATLAB程序。

clear;

T=0.01;

t1=0;

t2=3;

t3=-2;

t4=2;

t5=t1:T:t2;

%生成t5的時間向量

t6=t3:T:t4; %生成t6的時間向量

f1=2*exp(-2*t5);%生成f1的樣值向量

f2=3*(stepfun(t6,-1)-stepfu