《有限元基礎－緒論》課件

有限元基礎-緒論本課程將介紹有限元方法的基礎知識，旨在為學生提供該方法的理論基礎和應用技巧。有限元方法是一種數(shù)值計算方法，廣泛應用于工程、科學等領域。課程介紹課程目標掌握有限元方法的基本原理，能夠運用有限元分析軟件進行工程問題求解。課程內(nèi)容介紹有限元方法的基本概念、理論基礎、主要步驟以及應用領域。學習方法課堂講授、案例分析、軟件操作實踐，理論與實踐相結(jié)合?？己朔绞狡綍r作業(yè)、期末考試，考核學生對課程內(nèi)容的理解和應用能力。什么是有限元方法有限元方法是解決工程問題的一種數(shù)值方法。它將復雜結(jié)構(gòu)離散成有限個單元，每個單元都是一個簡單形狀的幾何體。每個單元都可以用有限個節(jié)點來表示，這些節(jié)點之間由單元的形狀函數(shù)連接，形成一個整體的結(jié)構(gòu)模型。這種方法可以將連續(xù)的物理問題轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組，通過求解這些方程組，可以得到結(jié)構(gòu)的位移、應力、應變等信息。有限元方法的基本原理將連續(xù)體離散化將連續(xù)體分解成許多小的單元，這些單元被稱為有限元。單元之間通過節(jié)點連接，節(jié)點代表單元的頂點或邊界。近似解在每個單元內(nèi)，用簡單的函數(shù)來近似表示未知變量。這些函數(shù)稱為形函數(shù)，它們在節(jié)點處的值是已知的。有限元分析的基本步驟1建立模型首先，需要根據(jù)實際工程問題建立一個數(shù)學模型。這個模型將包括幾何形狀、材料特性、邊界條件和載荷。2網(wǎng)格劃分將模型劃分成許多小的單元，這些單元被稱為有限元。單元的形狀和大小取決于模型的復雜程度和精度要求。3建立單元方程每個單元的方程描述了單元內(nèi)部的力和位移之間的關系。這些方程的建立基于單元的材料特性和幾何形狀。4組裝整體方程將所有單元的方程組裝成一個整體方程，這個方程描述了整個模型的力學行為。5求解方程使用數(shù)值方法求解整體方程，得到每個節(jié)點的位移值。這些位移值可以用于計算應力、應變和其他相關的物理量。6后處理對計算結(jié)果進行分析和解釋，并根據(jù)結(jié)果對模型進行修正或優(yōu)化。工程應用中的有限元分析有限元方法在工程領域有著廣泛的應用，例如結(jié)構(gòu)工程、機械工程、土木工程、航空航天工程等。它可以用于分析復雜結(jié)構(gòu)的應力、應變、位移、振動、熱傳導等問題，為工程師提供結(jié)構(gòu)安全性和可靠性的評估依據(jù)。有限元分析的優(yōu)勢1通用性強它可以用于解決各種工程問題，包括結(jié)構(gòu)分析、熱傳導、流體力學等。2精度高通過細化網(wǎng)格可以提高計算精度，滿足各種工程設計需求。3計算效率高有限元分析能夠有效地利用計算機資源，快速完成復雜的計算。4可視化結(jié)果能夠?qū)⒂嬎憬Y(jié)果直觀地展示出來，方便理解和分析。有限元分析的主要假設線性材料材料的應力-應變關系是線性的，即應力與應變成正比。這表示材料的彈性模量和泊松比是常數(shù)，不會隨著應力或應變的變化而改變。小位移結(jié)構(gòu)的變形很小，可以忽略變形對結(jié)構(gòu)剛度和載荷的影響。這使得有限元分析可以采用線性方程組來描述結(jié)構(gòu)的行為。理想邊界條件邊界條件可以精確定義，例如固定的節(jié)點或施加的載荷。這簡化了有限元模型的建立，但可能導致與實際情況的偏差。連續(xù)介質(zhì)結(jié)構(gòu)被視為連續(xù)體，忽略了材料的微觀結(jié)構(gòu)和缺陷。這使得有限元分析可以采用連續(xù)的微分方程來描述結(jié)構(gòu)的行為。有限元的發(fā)展歷程早期發(fā)展20世紀40年代，有限元方法的雛形在航空航天領域出現(xiàn)，用于解決復雜結(jié)構(gòu)的應力分析問題。奠基時期20世紀50年代，有限元方法開始得到系統(tǒng)研究，并逐漸發(fā)展成為一種通用的數(shù)值方法。快速發(fā)展20世紀60年代，隨著計算機技術的快速發(fā)展，有限元方法得到了廣泛應用，并迅速發(fā)展成為工程領域的重要工具。成熟時期20世紀70年代至今，有限元方法不斷完善，并擴展到各個工程領域，成為解決復雜工程問題的有力手段。有限元方法的數(shù)學理論基礎微積分有限元方法應用微積分來計算單元上的積分，這些積分表示單元的剛度和質(zhì)量矩陣。線性代數(shù)線性代數(shù)用于組裝和求解有限元方程組，這些方程組表示結(jié)構(gòu)的整體行為。數(shù)值分析數(shù)值分析方法用于求解有限元方程組，并獲得結(jié)構(gòu)的解。函數(shù)逼近函數(shù)逼近技術用于將連續(xù)函數(shù)表示為離散的有限元函數(shù)，以便進行數(shù)值計算。有限元方法的計算機實現(xiàn)1問題描述將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型2離散化將連續(xù)體離散成有限個單元3求解方程組建立并求解單元剛度矩陣和載荷向量4后處理計算結(jié)果可視化并分析有限元方法的計算機實現(xiàn)需要使用專門的軟件進行，例如ANSYS、ABAQUS和COMSOL等。這些軟件可以幫助工程師們完成從模型創(chuàng)建、網(wǎng)格劃分、求解方程組到結(jié)果分析的全過程，極大地提高了工程設計效率和準確性。有限元網(wǎng)格的生成有限元網(wǎng)格是有限元分析的核心步驟之一。網(wǎng)格的質(zhì)量直接影響分析結(jié)果的精度和效率。1幾何模型將實際問題抽象為數(shù)學模型2網(wǎng)格劃分將幾何模型分解為有限個單元3節(jié)點定義定義單元的連接點，用于描述變形4網(wǎng)格檢查檢查網(wǎng)格質(zhì)量，確保精度和穩(wěn)定性單元單位單元長度單元長度是指單元在空間中的尺寸。例如，一個三角形單元的長度可以是其三個邊的長度。單元面積單元面積是指單元在空間中占有的面積。例如，一個三角形單元的面積可以是其三個邊所圍成的面積。單元體積單元體積是指單元在空間中占有的體積。例如，一個四面體單元的體積可以是其四個面所圍成的體積。其他單位根據(jù)不同的問題和分析需求，單元單位可能還包括其他單位，例如質(zhì)量、密度、力等。單元類型三角形單元平面問題中常用的單元類型，具有計算簡單、精度較高的優(yōu)點，適用于復雜幾何形狀的建模。四邊形單元平面問題中常用的單元類型，具有穩(wěn)定性高、精度較高的優(yōu)點，適用于規(guī)則形狀的建模。四面體單元三維問題中常用的單元類型，具有靈活性和穩(wěn)定性，適用于復雜幾何形狀的建模。六面體單元三維問題中常用的單元類型，具有精度高、穩(wěn)定性好的優(yōu)點，適用于規(guī)則形狀的建模。單元自由度節(jié)點自由度節(jié)點自由度是指節(jié)點在空間中的運動自由度。位移自由度位移自由度代表了節(jié)點在三個坐標軸方向上的位移。旋轉(zhuǎn)自由度旋轉(zhuǎn)自由度代表了節(jié)點繞三個坐標軸的旋轉(zhuǎn)。單元剛度矩陣基本概念單元剛度矩陣表示單元在特定變形模式下的剛度特性。它是一個矩陣，描述了單元節(jié)點位移與節(jié)點力之間的關系。計算方法單元剛度矩陣可以通過積分方法計算得到，具體方法取決于單元的形狀、材料性質(zhì)和邊界條件。應用單元剛度矩陣是有限元方法的核心概念之一，用于構(gòu)建整體剛度矩陣，并最終求解結(jié)構(gòu)的變形和應力。單元載荷向量1定義單元載荷向量表示作用在單個有限元單元上的外部載荷。2類型載荷向量可以是集中載荷，分布載荷，或溫度載荷。3計算可以通過對單元上的外部載荷進行積分來計算單元載荷向量。4作用單元載荷向量與單元剛度矩陣一起用于計算單元的節(jié)點位移。整體剛度矩陣全局剛度矩陣將所有單元剛度矩陣組裝成一個大型矩陣，代表整個結(jié)構(gòu)的剛度特性。結(jié)構(gòu)分析的核心用于建立結(jié)構(gòu)的平衡方程，并最終求解結(jié)構(gòu)的位移和應力。稀疏矩陣由于每個節(jié)點只與周圍有限個單元連接，因此整體剛度矩陣大多為稀疏矩陣。邊界條件的施加1固定約束節(jié)點固定，位移為零2力約束節(jié)點施加外力3位移約束節(jié)點施加位移邊界條件是有限元分析中的重要步驟，決定了模型的受力狀態(tài)和變形情況。力和位移的關系位移在有限元分析中，位移是結(jié)構(gòu)在荷載作用下發(fā)生的形狀改變。位移是未知量，需要通過求解方程組得到。力力是作用在結(jié)構(gòu)上的外力，可以是集中力、分布力或邊界條件。力是已知量，用于計算結(jié)構(gòu)的變形。求解線性方程組1直接法直接法通過一系列的矩陣運算，直接求解線性方程組的精確解。常用的直接法包括高斯消元法、LU分解法等。2迭代法迭代法通過反復迭代，逐步逼近線性方程組的精確解。常用的迭代法包括雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法等。3選擇方法選擇合適的求解方法取決于線性方程組的大小、矩陣的性質(zhì)、計算精度等因素。應力和應變的計算應力應力是作用在物體上的外力在物體截面積上的分布。應變應變是指物體在受到外力作用時所發(fā)生的形變。應力-應變關系應力-應變關系描述了材料在加載過程中的力學行為。有限元分析中的誤差11.近似誤差有限元方法使用離散化方法將連續(xù)體問題轉(zhuǎn)化為離散問題，這會導致近似誤差。22.舍入誤差計算機計算過程中會產(chǎn)生舍入誤差，這會累積并影響最終結(jié)果。33.網(wǎng)格誤差網(wǎng)格尺寸和形狀對結(jié)果精度影響很大，需要謹慎選擇和控制。44.材料參數(shù)誤差材料參數(shù)的測量誤差也會影響結(jié)果的準確性。收斂性分析收斂性判定通過網(wǎng)格加密和分析結(jié)果的比較，判斷結(jié)果的收斂性。網(wǎng)格加密逐步細化有限元網(wǎng)格，觀察結(jié)果的變化趨勢。誤差評估計算有限元解與精確解之間的誤差，評估解的精度。幾何非線性問題大變形結(jié)構(gòu)發(fā)生顯著的形狀變化，比如橋梁在重力作用下彎曲。應力應變關系非線性材料的應力和應變之間不再呈線性關系，比如鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)。接觸問題結(jié)構(gòu)之間存在接觸，比如車輛碰撞或建筑物的抗震設計。材料非線性問題非線性應力應變關系材料的應力應變關系不再是線性的，而是隨著載荷的增加而變化。材料屬性的變化材料的彈性模量、泊松比等屬性會隨著載荷的增加而變化。材料失效材料會發(fā)生屈服、斷裂、蠕變等失效現(xiàn)象。動力學問題瞬態(tài)分析考慮時間因素，分析結(jié)構(gòu)在動態(tài)載荷下的響應。例如，地震或爆炸產(chǎn)生的沖擊。瞬態(tài)分析可以預測結(jié)構(gòu)的振動、位移和應力隨時間的變化。頻率響應分析研究結(jié)構(gòu)在不同頻率的激勵下的振動行為。頻率響應分析可以確定結(jié)構(gòu)的共振頻率，以及不同頻率激勵下的結(jié)構(gòu)響應。熱傳導問題11.熱傳遞熱量從高溫物體傳遞到低溫物體，直到達到熱平衡。22.傳導機制通過分子運動，熱量在固體、液體或氣體中傳遞。33.傅里葉定律描述了熱流與溫度梯度之間的關系。44.有限元方法用于求解熱