高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題突破練14空間位置關(guān)系的判斷與證明

專題突破練14空間位置關(guān)系的判斷與證明一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)α,β為兩個(gè)不同的平面,直線l?α,則“l(fā)∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.在三棱柱ABCA1B1C1中,點(diǎn)M在AB上,且AM=λAB,若BC1∥平面A1MC,則λ=()A.12 B.13 C.143.如圖,AB為圓錐底面直徑,點(diǎn)C為底面圓O上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),已知OA=3,圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為3π的扇形,當(dāng)∠PBC=π3時(shí),PB與AC所成的角為(A.π3 B.π6 C.π44.許多球狀病毒的空間結(jié)構(gòu)可抽象為正二十面體.正二十面體的每一個(gè)面均為等邊三角形,共有12個(gè)頂點(diǎn)、30條棱.如圖,由正二十面體的一個(gè)頂點(diǎn)P和與P相鄰的五個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成正五棱錐PABCDE,則PA與面ABCDE所成角的余弦值約為()(參考數(shù)據(jù)cos36°≈0.8)A.56 B.C.35 D.5.已知正方體ABCDA1B1C1D1棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P在矩形ACC1A1(包含邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng),且∠PBD=45°,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為()A.π B.2π C.2π D.22π二、多項(xiàng)選擇題6.(2022·新高考Ⅰ,9)已知正方體ABCDA1B1C1D1,則()A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°7.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1=1,點(diǎn)P滿足BP=λBC+μBB1,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],則(A.當(dāng)λ=1時(shí),△AB1P的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)μ=1時(shí),三棱錐PA1BC的體積為定值C.當(dāng)λ=12時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1P⊥D.當(dāng)μ=12時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1B⊥平面AB1三、填空題8.若平面α過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A,且平面α∥平面A1BD,平面α∩平面ABCD=l,則直線l與直線A1C1所成的角為.

9.如圖,三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為23的正三角形,AA1=3,AA1⊥AC,D為A1C1的中點(diǎn),BD=33,則二面角A1ACB的正切值為.

專題突破練14空間位置關(guān)系的判斷與證明一、單項(xiàng)選擇題1.B解析當(dāng)l∥β時(shí),α與β可能平行也可能相交.當(dāng)α∥β時(shí),因?yàn)閘?α,所以l∥β.故選B.2.A解析如圖,連接AC1,交A1C于點(diǎn)O,連接OM.∵BC1∥平面A1MC,BC1?平面ABC1,平面A1MC∩平面ABC1=OM,∴BC1∥OM.又在△ABC1中,O為AC1的中點(diǎn),∴M為AB的中點(diǎn),∴AM=12AB,∴λ=123.C解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,則l·3π=23π,解得l=2.∵PB=PC=l=2,∠PBC=π3,∴BC=2.∴在Rt△ABC中,AC=22.作BD∥AC,與圓O交于點(diǎn)D,連接AD,則四邊形ACBD為平行四邊形,BD=AC=22.連接PD,則∠PBD在△PBD中,∵PD=PB=2,BD=22,∴PB2+PD2=BD2,∴PD⊥PB,∴∠PBD=π4.4.A解析設(shè)正二十面體的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)P在面ABCDE內(nèi)的射影為點(diǎn)O,則O為正五邊形ABCDE的中心.連接OA,OB,PO(圖略),則∠AOB=72°,所以O(shè)A=12ABsin36°=12a1-cos236°≈565.B解析由題意,易知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為以AC為直徑的半圓弧,AC=22,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為12×22二、多項(xiàng)選擇題6.ABD解析連接AD1,∵在正方體ABCDA1B1C1D1中,BC1∥AD1,A1D⊥AD1,∴直線BC1與DA1所成的角為90°,故A正確;連接B1C,∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1?平面A1B1C,B1C?平面A1B1C,∴BC1⊥平面A1B1C,又CA1?平面A1B1C,∴BC1⊥CA1,即直線BC1與CA1所成的角為90°,故B正確;連接A1C1,交B1D1于點(diǎn)O,連接BO.易證C1A1⊥平面BB1D1D.∴∠C1BO為直線BC1與平面BB1D1D所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則OC1=22a,BC1=2a∴sin∠C1BO=OC1BC1=1∵C1C⊥平面ABCD,∴∠C1BC為直線BC1與平面ABCD所成的角.又∠C1BC=45°,∴直線BC1與平面ABCD所成的角為45°,故D正確.故選ABD.7.BD解析A項(xiàng)中,當(dāng)λ=1時(shí),BP=BC+μBB1?BP-BC=CP=μ圖①在△AB1P中,|AB1|=2,|AP|=1+μ2,|B1P|=故△AB1P的周長(zhǎng)L=|AB1|+|AP|+|B1P|不為定值,故A錯(cuò)誤;圖②B項(xiàng)中,當(dāng)μ=1時(shí),BP=λBC+BB1?BP-BB1=B1P由圖②可知B1C1∥平面A1BC,即B1C1上的每一點(diǎn)到平面A1BC的距離都相等,因此三棱錐PA1BC的體積為定值,故B正確;圖③C項(xiàng)中,當(dāng)λ=12時(shí),分別取線段BC,B1C1的中點(diǎn)D,D1,連接DD1,可知點(diǎn)P在線段DD1(包括端點(diǎn))上,如圖③所示取AC的中點(diǎn)O,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則B(32,0,0),C(0,12,0),A1(0,12,1),從而A1由A1P·BP=μ(μ1)=0,得μ=0或當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D或D1重合時(shí),滿足A1P⊥BP,故C錯(cuò)誤;圖④D項(xiàng)中,當(dāng)μ=12時(shí),分別取線段BB1,CC1的中點(diǎn)M,N,連接MN,可知點(diǎn)P在線段MN(包括端點(diǎn))上,如圖④所示建系同選項(xiàng)C,則A(0,12,0),A1(0,12,1),B(32,0,0),P(3從而A1B=(32,12,1),AP四邊形ABB1A1為正方形,顯然A1B⊥AB1.要使A1B⊥平面AB1P,只需A1B⊥AP,即A1B·AP=1當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí),A1B⊥平面AB1P,故D正確.綜上所述,選BD.三、填空題8.π2解析因?yàn)槠矫姒痢纹矫鍭1BD,平面α∩平面ABCD=l,平面A1BD∩平面ABCD=BD,所以l∥BD.又A1C1⊥BD,所以A1C1⊥l,所以直線l與直線A1C19.3解析如圖,取AC的中點(diǎn)E,連接ED,EB