重慶市字水中學2024-2025學年高二上學期期中考試數學試題（I卷）

重慶市字水中學2024—2025學年上期高2026屆期中考試數學試卷（試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.答題前，考生務必先將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的姓名?準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標號：非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整?筆跡清楚.3.考生必須按照題號在答題卡各題號相對應的答題區(qū)域內（黑色線框）作答，寫在草稿紙上?超出答題區(qū)域或非題號對應的答題區(qū)域的答案一律無效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.5.做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若直線的一個方向向量為，則該直線的傾斜角大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據給定的方向向量求出直線的斜率，進而求出傾斜角.【詳解】由直線的一個方向向量為，得直線的斜率，所以該直線的傾斜角大小為.故選：C2.已知橢圓上有一點P到右焦點的距離為4，則點P到左焦點的距離為（）A.6 B.3 C.4 D.2【答案】D【解析】【分析】根據橢圓的定義即可求出.【詳解】由橢圓，得，即，設左焦點為，右焦點為，則，因為，所以，即點到左焦點的距離為2.故選:D.3.如圖，空間四邊形中，，點在上，且，點為中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據空間向量的線性運算結合空間向量的基本定理運算求解.【詳解】,化簡得到.故選：B.4.已知圓，圓，則圓的位置關系為（）A.內切 B.外切 C.相交 D.外離【答案】B【解析】【分析】分別求出兩圓的圓心坐標和半徑，根據圓心距與兩圓半徑和差大小關系得出兩圓位置關系.【詳解】由題意得，，，故的圓心坐標，半徑，圓圓心坐標，半徑，故圓心距，所以，故兩圓外切.故答案選：B.5.若直線與平行，則兩直線間的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用兩直線平行求得，再利用兩平行直線間的距離公式即可得解.【詳解】因為直線與平行，所以，解得或，當時，兩直線方程都為，此時兩直線重合，不合題意，當時，與平行，故，故，所以兩直線間的距離為.故選：C.6.過點，，且圓心在直線上的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得線段AB的中垂線的方程，再根據圓心又在直線上求得圓心，圓心到點A的距離為半徑，可得圓的方程．【詳解】因為過點與，所以線段AB的中點坐標為，，所以線段AB的中垂線的斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，又因為圓心在直線上，所以，解得，所以圓心為，所以圓的方程為.故選：A7.正方體的棱長為是的中點，則三棱錐的體積是（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據圖形幾何關系，分別找出三棱錐的底面面積和高，根據公式計算得出體積大小.【詳解】如圖所示，連結，連結與AC交于點O，連結.由圖可知，因為正方體棱長為2，所以根據圖中幾何關系與勾股定理易得，，，，，，，，所以在中，，即.又因為在正方體中，，O是AC中點，所以，又平面ACF，所以平面ACF，于是三棱錐的高即為.又在中，，所以，所以三棱錐的體積，故答案選：D.8.一條光線從點射出，經反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】先求得點關于直線的對稱點，再設切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑求解.【詳解】解：設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，易知切線斜率存在，設直線方程為：，即，則圓心到切線的距離等于半徑，即，整理得：，解得或，故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則直線與直線垂直B.若直線經過第三象限，則C.過點且在軸，軸截距相等的直線方程為D.經過點的直線方程均可用表示【答案】AD【解析】【分析】根據選項結合直線方程知識點逐一判斷正誤即可.【詳解】對于選項A，當時，直線方程為和，兩直線垂直，故選項A正確；對于選項B，直線與軸的交點分別為，當直線經過一，二，三象限時，，可得，可得，故B錯誤；對于選項C，當直線在軸上的截距都為0時，有直線同樣滿足條件，故C錯誤；對于選項D，根據直線方程的定義與表示法，可表示任意過的直線，故D正確.綜上所述，答案選AD.10.已知圓，直線，直線與圓交于，兩點，則下列說法正確的是（）A.直線恒過定點B.直線與圓恒相交C.的最小值為D.若點在圓上，則的最小值是【答案】ABD【解析】【分析】結合直線與圓的方程以及直線與圓的位置關系相關知識點對選項逐一分析判斷即可.【詳解】對于選項A，直線，可得當時方程恒成立，即直線恒過定點2,3，故A正確；對于選項B，因為直線恒過定點2,3，根據圓M的標準方程可得，，所以點在圓M內，所以直線與圓恒相交，故B正確；對于選項C，如圖所示，設為點P，則，當直線l于MP的連線垂直時，取得最小值，此時由圓的弦長公式可得，，故C錯誤；對于選項D，可將其看成點到點距離的平方再減1，由于是圓上的點，如圖所示，，連結，則ME于圓的交點即為,此時取得最小值，故此時的最小值為，故D正確.故選：ABD.11.在正方體中，，點是的中點，空間中一點滿足，則（）A.當時，B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，有且僅有一個點，使得平面D.當時，有且僅有一個點，使得與所成角為【答案】AC【解析】【分析】根據選項逐個分析當x，y取不同值時相應的圖形關系，再判斷選項是否正確即可.【詳解】對于選項A，當時，，如圖所示，根據平面向量基本定理，此時P在線段上，由于在正方體中，平面，平面，所以，選項A正確；對于選項B，當時，，如圖所示，由平面向量基本定理，此時P在線段上，由圖可知，三棱錐當以平面為底面時為定值，但因為頂點P在線段上運動，所以P到底面的高不確定，故三棱錐體積不是定值，選項B錯誤；對于選項C，當時，如圖所示，此時，由平面向量基本定理，取AB與中點M，N，則P在線段MN上運動，由圖可知，過B點且與平面平行的平面為平面，平面，所以此時平面，又P是MN與交點，即當且僅當P是MN中點時，有平面，故選項C正確；對于選項D，如圖所示，以D為原點，DC，DA，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，因為，則有，又，所以，所以.于是，，所以的夾角為時有，，解得或，即或都可以使得的夾角為，選項D錯誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.焦點在軸上，焦距為2，且經過點的橢圓的標準方程為__________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，，即可求出，從而得到橢圓方程.【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，焦距為2，且經過點，所以，，則，所以橢圓的標準方程為.故答案為：13.圓：與圓：相交于、兩點，則_________．【答案】4【解析】【分析】先求出相交弦所在直線的方程，然后根據圓的弦長的求法求解即可.【詳解】由圓：與圓：，兩圓相減得公共弦AB所在直線方程為：，有圓：，可得圓心，半徑，所以圓心到直線AB的距離，所以故答案為：4.14.已知是圓上兩點，且，直線上存在點使得，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】利用圓的弦長公式求得，從而得到計算得到，再利用向量線性運算的坐標表示得到關于的表示，進而代入得到關于的二次方程，利用判別式得到關于的不等式，解之即可得解.【詳解】依題意，設中點為Mx,y，，，，故，即，則，因為，則，故，則，整理得，由題意可知必存在，即方程有解，故，解得或，即的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知直線，直線，記兩條直線的交點為．（1）求兩條直線交點的坐標；（2）若過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）通過聯(lián)立方程組來求得點的坐標.（2）根據直線的斜率是否存在進行分類討論，結合點到直線距離求得的方程.【小問1詳解】聯(lián)立可知：且點的坐標為．【小問2詳解】設討點的直線的方程為．整理可得：．圓的圓心為，半徑為，，由點到直線距離公式可得：，解得：．所求直線方程為；當直線的斜率不存在時，即時符合題意．綜上：所求直線的方程為或.16.如圖，長方體的底面是邊長為2的正方形，，點為棱的中點.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質與判定定理證得平面，再利用面面垂直的判定定理即可得證；（2）根據題意建立直角坐標系，利用（1）中結論得平面的一個法向量，從而利用空間向量法求得線面角，由此得解.【小問1詳解】因為在長方體中，平面，又平面，所以，在中，，所以，則，又平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】以為軸，為軸，為軸建立如圖所示坐標系，則，故，由（1）知平面，所以平面的一個法向量是，設直線與平面所成角為，，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知圓是圓上的一個動點，點是線段的中點，為坐標原點.（1）求動點的軌跡方程；（2）當時，求直線的方程及的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用相關點法即可求得動點的軌跡方程；（2）先利用圓的性質求得直線的斜率，進而求得直線的方程，再利用垂徑定理求得的長，進而求得的面積.【小問1詳解】可化為，設，是線段的中點，即又因為在圓上，，即整理得.的軌跡方程是.【小問2詳解】由（1）知的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，由于，故點在線段的垂直平分線上，又點在圓上，故點在線段的垂直平分線上，從而.，直線的斜率為.直線的方程為，即.則到距離為，.又到直線的距離為..18.如圖，四棱錐中，側面是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面是的中點.（1）求證：直線平面；（2）點在棱上，且二面角的余弦值為，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）運用中位線性質和平行線的傳遞性得到線線平行，進而得到四邊形為平行四邊形，再用線面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，運用向量法求得比例，然后利用錐體體積公式求解即可.【小問1詳解】取中點，連結，因為為的中點，所以，由，得，又，所以，則四邊形平行四邊形，有，又平面平面，故平面.【小問2詳解】由已知得，以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則可得，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，又易知底面的一個法向量為，由于二面角的余弦值為，，，解得或（舍去），19.古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內，到兩個定點的距離之比值為常數的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓.已知點到的距離是點到的距離的2倍.（1）求點的軌跡的方程；（2）過點作直線，交軌跡于兩點，記的面積為，求的最大值，以及取最大值時的直線方程.（3）設軌跡與軸正半軸的交點為，直線相交于點，試證明點在定直線上，求出該直線方程.【答案】（1）（2），（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）設，根據兩點距離公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直線的斜率存在，設直線方程為，利用點到直線的距離公式和幾何法求弦長表示.結