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2025屆河南大學(xué)附屬中學(xué)高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.2.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說(shuō)法正確的是()A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.4.已知函數(shù)f(x)=xex2+axeA.1 B.-1 C.a(chǎn) D.-a5.若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的最小值為()A. B. C. D.6.某程序框圖如圖所示,若輸出的,則判斷框內(nèi)為()A. B. C. D.7.如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),將△ABM沿著AM翻折成△AB'M,且點(diǎn)B'不在平面AMC內(nèi),點(diǎn)P是線段B'C上一點(diǎn).若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,則直線AP經(jīng)過(guò)△AB'CA.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心8.某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān),且已證得“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”.現(xiàn)已知當(dāng)時(shí),該命題不成立,那么()A.當(dāng)時(shí),該命題不成立 B.當(dāng)時(shí),該命題成立C.當(dāng)時(shí),該命題不成立 D.當(dāng)時(shí),該命題成立9.已知純虛數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)等于()A. B.1 C. D.210.一輛郵車(chē)從地往地運(yùn)送郵件,沿途共有地,依次記為,,…(為地,為地).從地出發(fā)時(shí),裝上發(fā)往后面地的郵件各1件,到達(dá)后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件,同時(shí)裝上該地發(fā)往后面各地的郵件各1件,記該郵車(chē)到達(dá),,…各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為.則的表達(dá)式為().A. B. C. D.11.直線與拋物線C:交于A,B兩點(diǎn),直線,且l與C相切,切點(diǎn)為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.12.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓,圓.直線與圓相切,且與圓相交于,兩點(diǎn),則弦的長(zhǎng)為_(kāi)________14.已知無(wú)蓋的圓柱形桶的容積是立方米,用來(lái)做桶底和側(cè)面的材料每平方米的價(jià)格分別為30元和20元,那么圓桶造價(jià)最低為_(kāi)_______元.15.曲線在處的切線的斜率為_(kāi)_______.16.如圖,為測(cè)量出高,選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn),從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角,點(diǎn)的仰角以及;從點(diǎn)測(cè)得.已知山高,則山高_(dá)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知圓,定點(diǎn),為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(1)求曲線的方程(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),已知點(diǎn),直線分別與直線交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)是否在定直線上,若存在,求出該直線方程;若不是,說(shuō)明理由.18.(12分)已知集合,集合,.(1)求集合B;(2)記,且集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若對(duì)任意的,當(dāng)時(shí),都有恒成立,求最大的整數(shù).(參考數(shù)據(jù):)20.(12分)在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.若問(wèn)題中的正整數(shù)存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,是等差數(shù)列,__________,,,,是否存在正整數(shù),使得成立?21.(12分)若數(shù)列前n項(xiàng)和為,且滿足(t為常數(shù),且)(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式:(2)設(shè),且數(shù)列為等比數(shù)列,令,.求證:.22.(10分)如圖,四棱錐中,底面是菱形,對(duì)角線交于點(diǎn)為棱的中點(diǎn),.求證:(1)平面;(2)平面平面.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達(dá)式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長(zhǎng)平方等于向量的平方,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
作出約束條件的可行域,在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值,作,平移直線即可求解.【詳解】作出實(shí)數(shù)滿足不等式組的可行域,如圖(陰影部分)令,則,作出,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),截距最小,故,即的最小值為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標(biāo)函數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?,,所以的周期?,故,故的虛部為2,A錯(cuò)誤;在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限,B錯(cuò)誤;的共軛復(fù)數(shù)為,C錯(cuò)誤;,D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí),是一道基礎(chǔ)題.4、A【解析】
令xex=t,構(gòu)造g(x)=xex,要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,【詳解】令xex=t,構(gòu)造g(x)=xex,求導(dǎo)得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調(diào)遞增,在1,+∞上單調(diào)遞減,且x<0時(shí),g(x)<0,x>0時(shí),g(x)>0,g(x)max=g(1)=1e,可畫(huà)出函數(shù)g(x)的圖象(見(jiàn)下圖),要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x若a>0,即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4,即t1+t2=-a>4t1故選A.【點(diǎn)睛】解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.5、A【解析】
根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為,令,利用導(dǎo)數(shù),判斷其單調(diào)性即可得到實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)椴坏仁接姓麛?shù)解,所以,于是轉(zhuǎn)化為,顯然不是不等式的解,當(dāng)時(shí),,所以可變形為.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,所以當(dāng)時(shí),,故,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式能成立問(wèn)題的解法,涉及到對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.6、C【解析】程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量值變化如下表:KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛:使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時(shí),要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征,決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù).尤其是統(tǒng)計(jì)數(shù)時(shí),注意要統(tǒng)計(jì)的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別.7、A【解析】
根據(jù)題意P到兩個(gè)平面的距離相等,根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,故P到兩個(gè)平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P為CB'中點(diǎn).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了二面角,等體積法,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.8、C【解析】
寫(xiě)出命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題,結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【詳解】由逆否命題可知,命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時(shí)該命題不成立,則當(dāng)時(shí)該命題也不成立”,由于當(dāng)時(shí),該命題不成立,則當(dāng)時(shí),該命題也不成立,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查逆否命題與原命題等價(jià)性的應(yīng)用,解題時(shí)要寫(xiě)出原命題的逆否命題,結(jié)合逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷,考查邏輯推理能力,屬于中等題.9、B【解析】
先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出,然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對(duì)應(yīng)的的值即可.【詳解】因?yàn)?,所以,又因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值,難度較易.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則有.10、D【解析】
根據(jù)題意,分析該郵車(chē)到第站時(shí),一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目,進(jìn)而計(jì)算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,該郵車(chē)到第站時(shí),一共裝上了件郵件,需要卸下件郵件,則,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用,屬于中檔題.11、D【解析】
設(shè)出坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長(zhǎng)公式求得,再由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】設(shè),,聯(lián)立,得則,則由,得設(shè),則,則點(diǎn)到直線的距離從而.令當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故,即的最小值為本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問(wèn)題.解決圓錐曲線中的面積類最值問(wèn)題,通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來(lái)求解最值.12、C【解析】
把已知等式變形,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】解:由,得,∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用直線與圓相切求出斜率,得到直線的方程,幾何法求出【詳解】解:直線與圓相切,圓心為由,得或,當(dāng)時(shí),到直線的距離,不成立,當(dāng)時(shí),與圓相交于,兩點(diǎn),到直線的距離,故答案為.【點(diǎn)睛】考查直線與圓的位置關(guān)系,相切和相交問(wèn)題,屬于中檔題.14、【解析】
設(shè)桶的底面半徑為,用表示出桶的總造價(jià),利用基本不等式得出最小值.【詳解】設(shè)桶的底面半徑為,高為,則,故,圓通的造價(jià)為解法一:當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).解法二:,則,令,即,解得,此函數(shù)在單調(diào)遞增;令,即,解得,此函數(shù)在上單調(diào)遞減;令,即,解得,即當(dāng)時(shí),圓桶的造價(jià)最低.所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義令,即可求出切線斜率.【詳解】,,,即曲線在處的切線的斜率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】試題分析:在中,,,在中,由正弦定理可得即解得,在中,.故答案為1.考點(diǎn):正弦定理的應(yīng)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)存在,.【解析】
(1)設(shè)以為直徑的圓心為,切點(diǎn)為,取關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),連接,計(jì)算得到,故軌跡為橢圓,計(jì)算得到答案.(2)設(shè)直線的方程為,設(shè),聯(lián)立方程得到,,計(jì)算,得到答案.【詳解】(1)設(shè)以為直徑的圓心為,切點(diǎn)為,則,取關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),連接,故,所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸為4的橢圓,其中,曲線方程為.(2)設(shè)直線的方程為,設(shè),直線的方程為,同理,所以,即,聯(lián)立,所以,代入得,所以點(diǎn)都在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程,定直線問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18、(1)(2)【解析】
(1)由不等式可得,討論與的關(guān)系,即可得到結(jié)果;(2)先解得不等式,由集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù),當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為;當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為,進(jìn)而求解即可.【詳解】解:(1)因?yàn)?所以,當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),.(2)由得,當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即;當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即;綜上,滿足題意的k的范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式,考查由交集的結(jié)果求參數(shù)范圍,考查分類討論思想與運(yùn)算能力.19、(1)(2)2【解析】
(1)先求得切點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率,由此求得切線方程.(2)對(duì)分成,兩種情況進(jìn)行分類討論.當(dāng)時(shí),將不等式轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值(設(shè)為)的取值范圍,由的得在上恒成立,結(jié)合一元二次不等式恒成立,判別式小于零列不等式,解不等式求得的取值范圍.【詳解】(1)已知函數(shù),則處即為,又,,可知函數(shù)過(guò)點(diǎn)的切線為,即.(2)注意到,不等式中,當(dāng)時(shí),顯然成立;當(dāng)時(shí),不等式可化為令,則,,所以存在,使.由于在上遞增,在上遞減,所以是的唯一零點(diǎn).且在區(qū)間上,遞減,在區(qū)間上,遞增,即的最小值為,令,則,將的最小值設(shè)為,則,因此原式需滿足,即在上恒成立,又,可知判別式即可,即,且可以取到的最大整數(shù)為2.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.20、見(jiàn)解析【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及、,可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,由即可求得的值;根據(jù)等式,變形可得,分別討論取①②③中的一個(gè),結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式代入化簡(jiǎn),檢驗(yàn)是否存在正整數(shù)的值即可.【詳解】∵在等差數(shù)列中,,∴,∴公差,∴,∴,若存在正整數(shù),使得成立,即成立,設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為的公比為,若選①,∵,∴,∴,∴,∴當(dāng)時(shí),滿足成立.若選②,∵,∴,∴,∴,∴方程無(wú)正整數(shù)解,∴不存在正整數(shù)使得成立.若選③,∵,∴,∴,∴,∴解得或(舍去),∴,∴當(dāng)時(shí),滿足成立.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,遞推公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,補(bǔ)充條件后求參數(shù)的值,屬于中檔題.21、(1)(2)詳見(jiàn)解析【解析】
(1)利用可得的遞推關(guān)系,從而可求其通項(xiàng).(2)由為等比數(shù)列可得,從而可得的通項(xiàng),利用錯(cuò)位相減法可得的前項(xiàng)和,利用不等式的性質(zhì)可證.【詳解】(1)由題意,得:(t為常數(shù),且),當(dāng)時(shí),得,得.由,故,,故.(2)由,由為等比數(shù)列可知:,又,故,化簡(jiǎn)得到,所以或(舍).所以,,則.設(shè)的前n項(xiàng)和為.則,相減可得【點(diǎn)睛】數(shù)列的通項(xiàng)與前
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