江蘇省陸慕高級(jí)中學(xué)2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

江蘇省陸慕高級(jí)中學(xué)2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，拋物線上任意一點(diǎn)P，且PQ⊥y軸交y軸于點(diǎn)Q，則的最小值為（）A． B． C．l D．12．已知函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且).若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)恰好有3對(duì)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．5．一個(gè)陶瓷圓盤(pán)的半徑為，中間有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形花紋，向盤(pán)中投入1000粒米后，發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒，據(jù)此估計(jì)圓周率的值為（精確到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.1476．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A． B． C． D．7．的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．－60 B．240 C．－80 D．1808．若，則的值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的值域是；②函數(shù)為奇函數(shù)；③函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；④若對(duì)任意，都有成立，則的最小值為；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)，是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線AB平行，則()A．，b為任意非零實(shí)數(shù) B．，a為任意非零實(shí)數(shù)C．a(chǎn)、b均為任意實(shí)數(shù) D．不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b11．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．12．已知數(shù)列中，，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則“”是“”的__________條件.14．實(shí)數(shù)，滿足，如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則的最小值為_(kāi)______．15．若函數(shù)的圖像與直線的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是,,,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______．16．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，設(shè)的最大值與最小值分別為，則_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，求的面積的值（或最大值）．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，三邊，，與面積滿足關(guān)系式：，且，求的面積的值（或最大值）．18．（12分）己知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.設(shè)（1）求的值；（2）若，且，求的值.19．（12分）語(yǔ)音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場(chǎng)上流行多種可實(shí)現(xiàn)語(yǔ)音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛(ài)同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過(guò)語(yǔ)音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷(xiāo)商為了了解不同智能音箱與其購(gòu)買(mǎi)者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”和100名購(gòu)買(mǎi)“天貓精靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：“小愛(ài)同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)男4560105女554095合計(jì)100100200（1）若該地區(qū)共有13000人購(gòu)買(mǎi)了“小愛(ài)同學(xué)”，有12000人購(gòu)買(mǎi)了“天貓精靈”，試估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”的女性比購(gòu)買(mǎi)“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，，，求證：.21．（12分）在世界讀書(shū)日期間，某地區(qū)調(diào)查組對(duì)居民閱讀情況進(jìn)行了調(diào)查，獲得了一個(gè)容量為200的樣本，其中城鎮(zhèn)居民140人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有30人.（1）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計(jì)200（2）從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中，隨機(jī)抽取5位居民參加一次閱讀交流活動(dòng)，記這5位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為，若用樣本的頻率作為概率，求隨機(jī)變量的期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）如圖，底面是等腰梯形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為邊作正方形，且平面平面.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.2、C【解析】

先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，分類(lèi)利用圖像列出有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足的條件，解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱后的圖象不可能與在的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.3、C【解析】

化簡(jiǎn)得到，得到答案.【詳解】，故，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)和對(duì)應(yīng)象限，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、C【解析】

先根據(jù)組合數(shù)計(jì)算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標(biāo)事件的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識(shí)，難度一般.求解該類(lèi)問(wèn)題可通過(guò)古典概型的概率求解方法進(jìn)行分析；當(dāng)情況數(shù)較多時(shí)，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計(jì)算.5、B【解析】

結(jié)合隨機(jī)模擬概念和幾何概型公式計(jì)算即可【詳解】如圖，由幾何概型公式可知：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)模擬的概念和幾何概型，屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】依題意，，故，故，故，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、D【解析】

求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，可轉(zhuǎn)化為求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)，再求和即可得出答案.【詳解】由題意，中常數(shù)項(xiàng)為，中項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)，再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以二?xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令，所以，因此有.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力9、C【解析】

化的解析式為可判斷①，求出的解析式可判斷②，由得，結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③，由得可判斷④.【詳解】由題意，，所以，故①正確；為偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故③正確；若對(duì)任意，都有成立，則為最小值點(diǎn)，為最大值點(diǎn)，則的最小值為，故④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容，是一道較為綜合的問(wèn)題.10、A【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡(jiǎn)可得，為任意非零實(shí)數(shù).【詳解】依題意，在點(diǎn)處的切線與直線AB平行，即有，所以，由于對(duì)任意上式都成立，可得，為非零實(shí)數(shù).故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，考查兩點(diǎn)的斜率公式，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．11、D【解析】

根據(jù)框圖，模擬程序運(yùn)行，即可求出答案.【詳解】運(yùn)行程序，，

，，，，，結(jié)束循環(huán)，故輸出，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結(jié)構(gòu)，條件分支結(jié)構(gòu)，屬于中檔題.12、B【解析】

先根據(jù)題意，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題，即由累加法可得：即對(duì)于任意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于綜合性較強(qiáng)的題目，解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項(xiàng)公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù)，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、充分必要【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，故“”是“”的充分條件.當(dāng)時(shí)，有，故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件，故答案為：充分必要.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，可利用定義來(lái)判斷，也可以根據(jù)兩個(gè)條件構(gòu)成命題及逆命題的真假來(lái)判斷，還可以利用兩個(gè)條件對(duì)應(yīng)的集合的包含關(guān)系來(lái)判斷，本題屬于容易題.14、【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的最小值為，確定出的值，進(jìn)而確定出C點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)幾何意義，從而求得結(jié)果.【詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi)，由得可知，直線的截距最大時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線為，作出直線，交于A點(diǎn)，由圖象可知，目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值，所以直線也過(guò)A點(diǎn)，由，得，代入，得，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為．等價(jià)于點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)C時(shí)，取得最小值，最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意正確畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，根據(jù)最值求出參數(shù)，結(jié)合分式型目標(biāo)函數(shù)的意義求得最優(yōu)解，屬于中檔題目.15、4【解析】

由題可分析函數(shù)與的三個(gè)相鄰交點(diǎn)中不相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)距離為,即,進(jìn)而求解即可【詳解】由題意得函數(shù)的最小正周期,解得故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的應(yīng)用,考查求正弦型函數(shù)中的16、【解析】

畫(huà)出可行域，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得最大值以及最小值，進(jìn)而求得的比值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值7；過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值2，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.這種類(lèi)型題目的主要思路是：首先根據(jù)題目所給的約束條件，畫(huà)出可行域；其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)；接著畫(huà)出基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)直線；然后通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置；最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、見(jiàn)解析【解析】

若選擇①，結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡(jiǎn)得到，則，又，從而得到，將代入，得．又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴，故的面積的最大值為，此時(shí)．若選擇②，，結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡(jiǎn)得到，則，又，從而得到，則，此時(shí)為等腰直角三角形，.若選擇③，，則結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡(jiǎn)得到，則，又，從而得到，則．18、（1）（2）【解析】

（1）由正弦定理將，轉(zhuǎn)化，即，由余弦定理求得，再由平方關(guān)系得再求解.（2）由，得，結(jié)合再求解.【詳解】（1）由正弦定理，得，即，則，而，又，解得，故.（2）因?yàn)?，則，因?yàn)?，故，故，解得，故，則.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19、（1）多2350人；（2）有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【解析】

（1）根據(jù)題意，知100人中購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買(mǎi)“天貓精靈”的女性有40人，即可估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”的女性人數(shù)和購(gòu)買(mǎi)“天貓精靈”的女性的人數(shù)，即可求得答案；（2）根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出，與臨界值比較，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）由題可知，100人中購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買(mǎi)“天貓精靈”的女性有40人，由于地區(qū)共有13000人購(gòu)買(mǎi)了“小愛(ài)同學(xué)”，有12000人購(gòu)買(mǎi)了“天貓精靈”，估計(jì)購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”的女性有人.估計(jì)購(gòu)買(mǎi)“天貓精靈”的女性有人.則，∴估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”的女性比購(gòu)買(mǎi)“天貓精靈”的女性多2350人.（2）由題可知，，∴有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣估計(jì)總體以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）分、、三種情況解不等式，即可得出該不等式的解集；（2）利用分析法可知，要證，即證，只需證明即可，因式分解后，判斷差值符號(hào)即可，由此證明出所證不等式成立.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí).綜上所述，不等式的解集為；（2）要證，即證，因?yàn)?，，所以，，?所以，.故所證不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求解，同時(shí)也考查了利用分析法和作差法證明不等式，考查分類(lèi)討論思想以及推理能力，屬于中等題.21、（1）見(jiàn)解析，有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）【解析】

（1）根據(jù)題意填寫(xiě)列聯(lián)表，利用公式求出，比較與6.635的大小得結(jié)論；（2）由樣本數(shù)據(jù)可得經(jīng)常閱讀的人的概率是，則，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得；【詳解】解：（1）由題意可得：城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030130