第1章 全等三角形全章復(fù)習(xí)與測試（解析版）-八年級(jí)數(shù)學(xué)

第1章全等三角形全章復(fù)習(xí)與測試1.了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對應(yīng)元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；一、全等三角形的判定與性質(zhì)全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.全等三角形判定1——“邊角邊”：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.全等三角形判定2——“角邊角”：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角邊”：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）全等三角形判定4——“邊邊邊”：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.直角三角形全等的判定——“HL”1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．二、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA兩角對應(yīng)相等ASAAAS兩邊對應(yīng)相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)龋唬?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.一．全等圖形（共4小題）1．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）關(guān)于全等圖形的描述，下列說法正確的是（）A．形狀相同的圖形 B．面積相等的圖形 C．能夠完全重合的圖形 D．周長相等的圖形【分析】根據(jù)全等圖形的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、形狀相同的圖形相似但不一定全等，故錯(cuò)誤，不符合題意；B、面積相等的圖形不一定全等，故錯(cuò)誤，不符合題意；C、能夠完全重合的圖形是全等圖形，正確，符合題意；D、周長相等的圖形不一定是全等圖形，故錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等圖形的定義，了解能夠完全重合的圖形是全等形是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．2．（2022秋?宿豫區(qū)期中）如圖所示的網(wǎng)格是由9個(gè)相同的小正方形拼成的，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則∠1﹣∠2﹣∠3的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．55° D．60°【分析】根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，可得出∠1＝90°，∠2＝∠4，∠3+∠4＝45°，進(jìn)而可求解．【解答】解：如圖，則∠1＝90°，∠2＝∠4，∠3+∠4＝45°，∴∠1﹣∠2﹣∠3＝90°﹣45°＝45°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查網(wǎng)格中的全等圖形、三角形的外角性質(zhì)，會(huì)利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和是解答的關(guān)鍵．3．（2022秋?浦口區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD與A'B'C′D'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'．下列條件中：①∠A＝∠A′，AD＝A′D′；②∠A＝∠A'，CD＝C'D'；③∠A＝∠A′，∠D＝∠D′；④AD＝A′D′，CD＝C′D′．添加上述條件中的其中一個(gè)，可使四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′，上述條件中符合要求的有（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④【分析】連接AC、A′C′，通過證明△ABC≌△A′B′C′（SAS），△ACD≌△A′C′D′（SAS），即可得到結(jié)論．【解答】解：連接AC、A′C′，在△ABC與△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），∴AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∠ACB＝∠A′C′B′，∵∠BAD＝∠B′A′D′，∴∠BAD﹣∠DAC＝∠B′A′D′﹣∠D′A′C′，∴∠DAC＝∠D′A′C′，在△ACD和△A′C′D中，，∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），∴∠D＝∠D′，∠ACD＝∠A′C′D′，CD＝C′D′，∴∠BCD＝∠B′C′D′，∴四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，∴四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′．同理根據(jù)③④的條件證得四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′．綜上所述，符合要求的條件是①③④，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等形，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．4．（2022秋?江都區(qū)月考）如圖，是一個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4＝180°．【分析】仔細(xì)分析圖中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4＝90°，∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．故答案為：180°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等圖形，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用．二．全等三角形的性質(zhì)（共3小題）5．（2022秋?無錫期末）如圖，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝70°，∠B＝40°，則∠F的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠B＝∠E＝40°，∠F＝∠C，∠A＝∠D＝70°，然后利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠F的度數(shù)，進(jìn)而可得答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠E＝40°，∠F＝∠C，∠A＝∠D＝70°，∴∠F＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠F＝70°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)角相等．6．（2022秋?南通期末）如圖，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝20°，∠C＝60°，則∠CEB的度數(shù)為（）A．80° B．90 C．100° D．110【分析】在△CAD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CDA的度數(shù)，再根據(jù)“全等三角形對應(yīng)角相等”可得∠CEB的度數(shù)．【解答】解：∵∠A＝20°，∠C＝60°，，∴∠CDA＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣60°＝100°，∵△CAD≌△CBE，∴∠CEB＝∠CDA＝100°（全等三角形對應(yīng)角相等）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，△ABC≌△AMN，點(diǎn)M在BC上，連接CN，下列結(jié)論：①AM平分∠BMN②∠CMN＝∠BAM③∠MAC＝∠MNC其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)及角的和差求解即可．【解答】解：∵△ABC≌△AMN，∴AB＝AM，∠ABC＝∠AMN，∴∠ABM＝∠AMB，∴∠AMB＝∠AMN，∴AM平分∠BMN，故①正確，符合題意；∵△ABC?△AMN，∴∠ABC＝∠AMN，∵∠AMC＝∠AMN+∠NMC＝∠ABC+∠BAM，∴∠CMN＝∠BAM，故②正確，符合題意；∵△ABC?△AMN，∴∠BAC＝∠MAN，AB＝AM，AC＝AN，∠ACB＝∠ANM，∴∠BAM＝∠CAN，∠ACN＝∠ANC，∠ABM＝∠AMB，∴∠ACN＝∠ANC＝∠ABM＝∠AMB，∵∠AMB＝∠MAC+∠ACB，∠ANC＝∠ANM+∠MNC，∴∠MAC＝∠MNC故③正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．全等三角形的判定（共3小題）8．（2022秋?徐州期末）根據(jù)下列條件，能確定△ABC（存在且唯一）的是（）A．AB＝2，BC＝3，AC＝6 B．AC＝4，BC＝3，∠A＝60° C．AB＝5，BC＝3，∠B＝30° D．∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，若各選項(xiàng)的條件滿足三角形全等的條件，則可確定三角形的形狀和大小，否則三角形的形狀和大小不能確定．【解答】解：A、AB＝2，BC＝3，AC＝6，2+3＜6，不能組成三角形，故不符合題意；B、AC＝4，BC＝3，∠A＝60°，△ABC?的形狀和大小不能確定，故不符合題意；C、AB＝5，BC＝3，∠B＝30°，?則利用“SA?S”可判斷△ABC?是唯一的，故符合題意；D、∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°?，△ABC?的大小不能確定，故不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的判定方法．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．9．（2022秋?邗江區(qū)期末）如圖，若BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，則添加不能使△ABC≌△DEC的條件是（）A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．AC＝DC D．∠A＝∠D【分析】已知條件中已經(jīng)有一邊一角，需要證明全等，再可以添加角，也可以添加邊，若添加邊，只能添加AC＝DC，若添加角，另兩組角隨便添加即可．【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠ACB＝∠DCE，A、根據(jù)BC＝CE，AB＝DE，∠ACB＝∠DCE不能推出△ABC≌△DEC，故本選項(xiàng)符合題意；B、因?yàn)椤螦CB＝∠DCE，∠B＝∠E，BC＝CE，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本選項(xiàng)不符合題意；C、因?yàn)锽C＝CE，∠ACB＝∠DCE，AC＝CD，所以符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本選項(xiàng)不符合題意；D、因?yàn)椤螦＝∠D，∠ACB＝∠DCE，BC＝CE，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定，掌握三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?常州期末）已知：如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD．求證：△AOD≌△BOC．【分析】由∠AOC＝∠BOD，可得∠AOD＝∠BOC，再根據(jù)SAS即可得證．【解答】證明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，即∠AOD＝∠BOC．在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握三角形全等的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．四．直角三角形全等的判定（共2小題）11．（2022秋?建鄴區(qū)校級(jí)期中）下列說法：①斜邊和斜邊上的高線分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；②兩個(gè)銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；③斜邊和一銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；④斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①④ C．③④ D．①③④【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【解答】解：如圖，已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，CD＝C′D′，求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，證明：設(shè)點(diǎn)O，O′分別為AB，A′B′的中點(diǎn)，則CO＝C′O′，∵CD⊥AB于D，C'D'⊥A'B'于D'，∴∠CDB＝∠C′D′B′＝90°，∴Rt△CDO≌Rt△C′D′O′（HL），∴∠COD＝∠C'O'D'，∵CO＝BO，C′O′＝B′O′，∴∠OCB＝∠B，∠O′C′B′＝∠B′，∴∠B＝（180°﹣∠COB），∠B'＝（180°﹣∠C′O′B′），∴∠B＝∠B'，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS），故①正確；兩個(gè)銳角分別等的兩個(gè)直角三角形不一定全等，故②不正確；斜邊和一銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形可利用AAS得出兩個(gè)直角三角形全等，故③正確；斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形可利用HL得出兩個(gè)直角三角形全等，故④正確．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形全等的判定定理，熟練掌握直角三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點(diǎn)C，過A，B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足，AE＝CF．求證：∠ACB＝90°．【分析】先利用HL定理證明△ACE和△CBF全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因?yàn)椤螮AC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根據(jù)平角定義可得∠ACB＝90°．【解答】證明：如圖，在Rt△ACE和Rt△CBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．五．全等三角形的判定與性質(zhì)（共10小題）13．（2022秋?東臺(tái)市月考）如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點(diǎn)，且DE＝DF，連接BF，CE，下列說法：①△ABD和△ACD面積相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正確的是（）A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得BD＝CD，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等判斷出①正確，然后利用“邊角邊”證明△BDF和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE＝BF，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠F＝∠CED，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得BF∥CE．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴△ABD和△ACD面積相等，故①正確；∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②錯(cuò)誤；在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正確；∴∠F＝∠DEC，∴BF∥CE，故④正確；∵△BDF≌△CDE，∴CE＝BF，故⑤錯(cuò)誤，正確的結(jié)論為：①③④，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等底等高的三角形的面積相等，熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?如東縣期末）如圖，在△ABC中，，直線l經(jīng)過邊AB的中點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)M，分別過點(diǎn)A，C作直線l的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則AE+CF的最大值為4．【分析】過點(diǎn)B作BH⊥EF，交EF的延長線于H，證明△ADE≌△BDH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝BH，得到答案．【解答】解：過點(diǎn)B作BH⊥EF，交EF的延長線于H，在△ADE和△BDH中，，∴△ADE≌△BDH（AAS），∴AE＝BH，∴AE+CF的最大值是BH+CF的最大值，由題意可知：BH+CF≤BC，∴AE+CF的最大值為4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠B，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且AE＝CF．求證：DE＝DF．【分析】證明△ADE≌△CFD（SAS），可得結(jié)論．【解答】證明：連接DC．∵BC＝AC，∠BCA＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵D為AB中點(diǎn)，∴BD＝CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．∵∠A+∠ACD＝∠ACD+∠FCD＝90°，∴∠A＝∠FCD，在△ADE和△CFD中，，∴△ADE≌△CFD（SAS），∴DE＝DF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出證明全等需要的條件．16．（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2．求證OB＝OC．【分析】證明△ABC≌△DCB（AAS），得∠OBC＝∠OCB，再利用等腰三角形的判定即可解決問題．【解答】證明：在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（AAS），∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABC≌△DCB．17．（2022秋?宿豫區(qū)期末）如圖，在△ABC和△BAD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證：AC＝BD．【分析】根據(jù)題意得到∠DAB＝∠CBA，利用ASA定理證明△ADB≌△BCA，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等證明即可．【解答】證明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠DAB＝∠CBA，在△ADB和△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（ASA），∴AC＝BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，熟記三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，點(diǎn)D在AB邊上，BC＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）求證：△DCE≌△CBF；（2）若AB＝AC，求證：DE＝DB．【分析】（1）先證明∠FBC＝∠DCE，再根據(jù)AAS可證△DCE≌△CBF；（2）過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BCH＝∠DCH，BH＝DH，再證明∠ACD＝∠DCH，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知DE＝DH，進(jìn)一步即可得證．【解答】證明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∠BFA＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ABF＝45°，∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∵∠DBC＝∠ABF+∠FBC，∠BDC＝∠A+∠DCE，∴∠FBC＝∠DCE，在△DCE和△CBF中，，∴△DCE≌△CBF（AAS）；（2）過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，如圖所示：∵BC＝CD，∴∠BCH＝∠DCH，BH＝DH，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠FBC＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ABF＝45°，∴∠DCH＝22.5°，∠BDC＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，∴∠ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠ACD＝∠DCH，∵DE⊥AC，CH⊥BD，∴DE＝DH，∴DE＝DB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A、C、D在同一直線上，BC⊥AD，垂足為C，BC＝CD，點(diǎn)E在BC上，AC＝EC，連接AB，DE．（1）求證：△ABC≌△EDC；（2）寫出AB與DE的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）在Rt△ACB和Rt△ECD中，由ASA證明三角形全等；（2）根據(jù)（1）得出∠AFD＝90°即可．【解答】（1）證明：∵BC⊥AD，∴∠ACB＝∠ECD＝90°，在Rt△ACB和Rt△ECD中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）；（2）解：AB⊥DE．理由：如圖延長DE交AB于點(diǎn)F，∵△ABC≌△EDC，∴∠B＝∠D，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠D+∠A＝90°，∴∠AFD＝90°，∴AB⊥DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形全等的判定．20．（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，延長BC，DE交于點(diǎn)M．（1）求證：點(diǎn)A在∠M的平分線上；（2）若AC∥DM，AB＝12，BM＝18，求BC的長．【分析】（1）連接AM，證明Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），可得AB＝AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決問題；（2）證明CM＝AC，設(shè)BC＝x，所以CM＝AC＝18﹣x，根據(jù)勾股定理即可解決問題．【解答】（1）證明：如圖，連接AM，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），∴AB＝AD，∵AB⊥BM，AD⊥DM，∴MA平分∠BMD，∴點(diǎn)A在∠BMD的平分線上；（2）解：∵AC∥DM，∴∠CAM＝∠AMD，∴∠AMB＝∠CAM，∴CM＝AC，設(shè)BC＝x，∴CM＝AC＝18﹣x，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴122+x2＝（18﹣x）2，∴x＝5．∴BC＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到Rt△ABC≌Rt△ADE．21．（2022秋?如皋市校級(jí)期末）如圖，AB＝AC，CD∥AB，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，∠ABE＝∠CAD，延長BE交AD于點(diǎn)F．（1）求證：△ABE≌△CAD；（2）如果∠ABC＝70°，∠ABE＝25°，求∠D的度數(shù)．【分析】（1）直接根據(jù)ASA可證明△ABE≌△CAD；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC＝40°，從而得到∠BAD＝65°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案．【解答】（1）證明：∵CD∥AB，∴∠BAE＝∠ACD，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（ASA）；（2）解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵∠ABE＝25°，∴∠CAD＝∠ABE＝25°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝40°+25°＝65°，∵CD∥AB，∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣65°＝115°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?鎮(zhèn)江期末）已知：如圖，ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，垂足分別為D、C，AC＝BD，且AE＝BF．求證：（1）△ADE≌△BCF；（2）AE∥BF．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠ADE＝∠BCF＝90°，根據(jù)全等三角形的判定證明即可；（2）由（1）得△AED≌△BFC，則有∠A＝∠B，則可判斷AE∥BF．【解答】證明：（1）∵ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，∴∠ADE＝∠BCF＝90°，∵AC＝BD，∴AC+CD＝BD+CD，即AD＝BC，在Rt△ADE與Rt△BCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）；（2）由（1）得△AED≌△BFC，∴∠A＝∠B，∴AE∥BF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解此題的關(guān)鍵是推出AD＝BC．六．全等三角形的應(yīng)用（共4小題）23．（2022秋?泗陽縣期中）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合．（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）求兩堵木墻之間的距離．【分析】（1）根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【解答】（1）證明：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由題意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：兩堵木墻之間的距離為20cm．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．24．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，有兩個(gè)長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個(gè)滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的度數(shù)和為90°，并證明你的結(jié)論．【分析】由圖可得，△ABC與△DEF均是直角三角形，由已知可根據(jù)HL判定兩三角形全等，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，不難求解．【解答】解：∠ABC+∠DFE＝90°，理由如下：由題意可得：△ABC與△DEF均是直角三角形，且BC＝EF，AC＝DF．在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠ABC＝∠DEF，∵∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠ABC+∠DFE＝90°．故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的應(yīng)用．做題時(shí)要注意找已知條件，根據(jù)已知選擇方法得出全等三角形是解題關(guān)鍵．25．（2022秋?灌南縣校級(jí)月考）如圖，兩根旗桿相距12m，某人從B點(diǎn)沿BA走向A點(diǎn)，一段時(shí)間后他到達(dá)點(diǎn)M，此時(shí)他仰望旗桿的頂點(diǎn)C和D，兩次視線的夾角為90°，且CM＝DM，已知旗桿AC的高為3m，該人的運(yùn)動(dòng)速度為1m/s，求：這個(gè)人從B點(diǎn)到M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了多長時(shí)間？【分析】根據(jù)∠CMD＝90°，利用互余關(guān)系可以得出：∠ACM＝∠DMB，證明三角形全等的另外兩個(gè)條件容易看出．利用全等的性質(zhì)可求得AC＝BM＝3，從而求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間．【解答】解：∵∠CMD＝90°，∴∠CMA+∠DMB＝90°，又∵∠CAM＝90°∴∠CMA+∠ACM＝90°，∴∠ACM＝∠DMB，在△ACM和△BMD中，，∴△ACM≌△BMD（AAS），∴AC＝BM＝3m，∴他到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3÷1＝3（s）．答：這個(gè)人從B點(diǎn)到M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了3s．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用；解答本題的關(guān)鍵是利用互余關(guān)系找三角形全等的條件，對應(yīng)角相等，并巧妙地借助兩個(gè)三角形全等，尋找所求線段與已知線段之間的等量關(guān)系．本題的關(guān)鍵是求得Rt△ACM≌Rt△BMD．26．（2021秋?灌云縣月考）為了解學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，某校老師在七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，設(shè)置了這樣的問題：因?yàn)槌靥羶啥薃，B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計(jì)方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接AO并延長到點(diǎn)C，連接BO并延長到點(diǎn)D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可．乙：如圖②，先確定直線AB，過點(diǎn)B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點(diǎn)C，最后測量BC的長即可．（1）甲、乙兩同學(xué)的方案哪個(gè)可行？（2）請說明方案可行的理由．【分析】（1）甲同學(xué)作出的是全等三角形，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等測量的，所以是可行的；（2）甲同學(xué)利用的是“邊角邊”，乙同學(xué)的方案只能知道兩三角形的兩邊相等，不能判定△ABD與△CBD全等，故方案不可行．【解答】解：（1）甲同學(xué)的方案可行；（2）甲同學(xué)方案：在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同學(xué)方案：在△ABD和△CBD中，只能知道DC＝DA，DB＝DB，不能判定△ABD與△CBD全等，故方案不可行．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解決問題的關(guān)鍵．一．選擇題（共7小題，滿分21分，每小題3分）1．（3分）如圖是兩個(gè)全等三角形，則∠1＝（）A．62° B．72° C．76° D．66°【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等解答．【解答】解：第一個(gè)圖中，∠1＝180°﹣42°﹣62°＝76°，∵兩個(gè)三角形全等，∴∠1＝76°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．2．（3分）如圖，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠BAC＝∠DAC B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．AB∥CD【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠DCA，∠D＝∠B，∠DAC＝∠BCA，根據(jù)平行線的判定得出AD∥BC，AB∥CD即可．【解答】解：∵△ABC≌△CDA，∴∠BAC＝∠DCA，∠D＝∠B，∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC，AB∥CD，即只有選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B、選項(xiàng)C、選項(xiàng)D都正確；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定，注意：①全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．3．（3分）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)共線，∠A＝∠D，AB＝DE，添加一個(gè)條件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠B＝∠DEF B．AC＝DF C．AC∥DF D．BE＝CF【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴當(dāng)添加∠B＝∠DEF時(shí)，根據(jù)“ASA”可判斷△ABC≌△DEF；當(dāng)條件AC＝DF時(shí)，根據(jù)“SAS”可判斷△ABC≌△DEF；當(dāng)添加AC∥DF時(shí)，則∠ACB＝∠DFE，根據(jù)“AAS”可判斷△ABC≌△DEF．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵．選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件．4．（3分）如圖，E是線段AB的中點(diǎn)，∠AEC＝∠DEB，再添加一個(gè)條件，使得△AED≌△BEC，所添加的條件不正確的是（）A．AD＝BC B．DE＝CE C．∠A＝∠B D．∠C＝∠D【分析】分別判斷選項(xiàng)所添加的條件，根據(jù)三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵∠AEC＝∠DEB，∴∠AED＝∠BEC，∵E是線段AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，A、添加AD＝BC，不能判定△AED≌△BEC，符合題意；B、添加DE＝CE，利用SAS能判定△AED≌△BEC，不符合題意；C、添加∠A＝∠B，利用ASA能判定△AED≌△BEC，不符合題意；D、添加∠C＝∠D，利用AAS能判定△AED≌△BEC，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對全等三角形的判定，等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，熟練地運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵，是一個(gè)開放型的題目，比較典型．5．（3分）下列條件不可以判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．兩條直角邊對應(yīng)相等 B．有兩條邊對應(yīng)相等 C．一條邊和一銳角對應(yīng)相等 D．一條邊和一個(gè)角對應(yīng)相等【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL對4個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，然后即可得出答案．【解答】解：∵A、兩條直角邊對應(yīng)相等可利用SAS判定兩直角三角形全等，B、兩邊對應(yīng)相等，可利用HL或SSA判定兩直角三角形全等；C、一條邊和一銳角對應(yīng)相等，可利用AAS或ASA判定兩直角三角形全等．D、一條邊和一個(gè)角對應(yīng)相等不能判定兩直角三角形全等．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL，此題難度不大，是一道基礎(chǔ)題．6．（3分）根據(jù)下列條件能唯一畫出△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．AB＝5，AC＝6，∠A＝45° D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可判斷選項(xiàng)A，根據(jù)全等三角形的判定定理判斷選項(xiàng)B，選項(xiàng)C，選項(xiàng)D即可．【解答】解：A．3+4＜8，不符合三角形三邊關(guān)系定理，不能作出三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．不符合全等三角形的判定定理，不能作出唯一的三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．符合全等三角形的判定定理SAS，能作出唯一的三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D．不符合全等三角形的判定定理，不能作出唯一的三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理和三角形的三邊關(guān)系定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．7．（3分）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且AB＝AC+CD，若∠BAC＝81°，則∠ACB的大小為（）A．36° B．66° C．79° D．89°【分析】在AB上截取AC'＝AC，連接DC'，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】解：在AB上截取AC'＝AC，連接DC'，∵AB＝AC+CD，∴BC'＝DC，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠C'AD＝∠DAC，在△ACD和△AC'D中，，∴△ACD≌△AC'D（SAS），∴C'D＝CD，∠ACD＝∠AC'D，∴DC'＝BC'，∴△BC'D是等腰三角形，∴∠C'BD＝∠C'DB，設(shè)∠C'BD＝∠C'DB＝x，則∠ACD＝∠AC'D＝2x，∵∠BAC＝81°，∴x+2x+81°＝180°，解得：x＝33°，∴∠ACB＝33°×2＝66°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答．二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）8．（3分）如圖，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB＝30°，∠A′CB′＝70°，則∠ACA′的度數(shù)是40°．【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACB＝∠A′CB′，然后求解即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′＝70°，∴∠ACA′＝∠ACB﹣∠A′CB＝70°﹣30°＝40°．故答案為：40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗）．在圖中，要測量工件內(nèi)槽寬AB．只要測量CD的長度即可，該做法的依據(jù)是根據(jù)SAS證明△AOB≌△COD．【分析】本題讓我們了解測量兩點(diǎn)之間的距離，只要符合全等三角形全等的條件之一SAS，只需要測量易測量的邊CD上．測量方案的操作性強(qiáng)．【解答】解：連接AB，CD，如圖，∵點(diǎn)O分別是AC、BD的中點(diǎn)，∴OA＝OC，OB＝OD．在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS）．∴CD＝AB．即：需要測量CD的長度，即為工件內(nèi)槽寬AB．其依據(jù)是根據(jù)SAS證明△AOB≌△COD．故答案為：根據(jù)SAS證明△AOB≌△COD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的應(yīng)用．在實(shí)際生活中，對于難以實(shí)地測量的線段，常常通過兩個(gè)全等三角形，轉(zhuǎn)化需要測量的線段到易測量的邊上或者已知邊上來，從而求解．10．（3分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則∠1+∠2＝135°．【分析】直接利用網(wǎng)格得出對應(yīng)角∠1＝∠3，進(jìn)而得出答案．【解答】解：如圖所示：由題意可得：∠1＝∠3，則∠1+∠2＝∠2+∠3＝135°．故答案為：135°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等圖形，正確借助網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵．11．（3分）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，∠BDE＝∠CDF，請你添加一個(gè)條件，使DE＝DF成立．你添加的條件是答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C或∠BED＝∠CFD或∠AED＝∠AFD．（不再添加輔助線和字母）【分析】答案不唯一根據(jù)AB＝AC，推出∠B＝∠C，根據(jù)ASA證出△BED和△CFD全等即可；添加∠BED＝∠CDF，根據(jù)AAS即可推出△BED和△CFD全等；根據(jù)∠AED＝∠AFD推出∠B＝∠C，根據(jù)ASA證△BED≌△CFD即可．【解答】解：答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C或∠BED＝∠CFD，或∠AED＝∠AFD等；理由是：①條件為AB＝AC，理由是：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDE和△CDF中∴△BED≌△CFD（ASA），∴DE＝DF；②條件為：∠B＝∠C，由①知：DE＝DF；③條件為∠BED＝∠CFD，理由是：∵在△BDE和△CDF中∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；④條件為：∠AED＝∠AFD，理由是：∵∠AED＝∠AFD，∠AED＝∠B+∠BDE，∠AFD＝∠C+∠CDF，∴∠B＝∠C，由①知：△BED≌△CFD，所以DE＝DF；故答案為：答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C或∠BED＝∠CFD或∠AED＝∠AFD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．12．（3分）如圖，△ABC≌△BAD，如果AB＝6，BD＝5，AD＝4，那么AC＝5．【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等解答．【解答】解：∵△ABC≌△BAD，BD＝5，∴AC＝BD＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，∠ACB＝∠DBC，請你再補(bǔ)充一個(gè)條件，使得△ACB≌△DBC，這個(gè)條件可以是∠A＝∠D，理由是AAS；這個(gè)條件也可以是AC＝DB，理由是SAS；這個(gè)條件還可以是∠ABC＝∠DCB，理由是ASA．【分析】條件可以是∠A＝∠D，可利用AAS判定△ACB≌△DBC；條件也可以是AC＝DB，可利用SAS判定△ACB≌△DBC；條件還可以是∠ABC＝∠DCB，可利用ASA判定△ACB≌△DBC．【解答】解：添加∠A＝∠D，在△ACB和△DBC中，，∴△ACB≌△DBC（AAS）；添加AC＝DB，在△ACB和△DBC中，，∴△ACB≌△DBC（SAS）；添加∠ABC＝∠DCB，在△ACB和△DBC中，，∴△ACB≌△DBC（ASA）；故答案為：∠A＝∠D；AAS；AC＝DB；SAS；∠ABC＝∠DCB；ASA．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．14．（3分）三角形在日常生活和生產(chǎn)中有很多應(yīng)用，如圖房屋支架、起重機(jī)的臂膀中都有三角形結(jié)構(gòu)，這是利用了三角形的穩(wěn)定性．【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行解答．【解答】解：房屋支架、起重機(jī)的臂膀中都有三角形結(jié)構(gòu)，這是利用了三角形的穩(wěn)定性．故答案為：穩(wěn)定．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，關(guān)鍵是掌握當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．15．（3分）如圖所示，AD、A1D1分別是銳角△ABC和△A1B1C1中邊BC、B1C1的高，且AB＝A1B1，AD＝A1D1，若要使△ABC≌△A1B1C1，可補(bǔ)充的條件是∠C＝∠C1（只需要填寫一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件即可）【分析】根據(jù)HL推出Rt△ADB≌Rt△A1D1B1，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠B1，根據(jù)AAS推出全等即可．【解答】解：∠C＝∠C1，理由是：∵AD、A1D1分別是銳角△ABC和△A1B1C1中邊BC、B1C1的高，∴∠ADB＝∠A1D1B1＝90°，在Rt△ADB和Rt△A1D1B1中∴Rt△ADB≌Rt△A1D1B1（HL），∴∠B＝∠B1，在△ABC和△A1B1C1中∴△ABC≌△A1B1C1（AAS），故答案為：∠C＝∠C1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，能熟練地掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，此題是一道開放型的題目，答案不唯一．三．解答題（共8小題）16．如圖，把一個(gè)三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一個(gè)“U”形槽中，使三角板的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別槽的兩壁及底邊上滑動(dòng)，已知∠D＝∠E＝90°，在滑動(dòng)過程中你發(fā)現(xiàn)線段AD與BE有什么關(guān)系？試說明你的結(jié)論．【分析】易發(fā)現(xiàn)AD與BE所在的△ABD與△BCE在滑動(dòng)過程中始終全等，因而AD＝BE．【解答】解：AD＝BE，AD⊥BE．理由如下：∵∠D＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°又∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠EBC＝90°∴∠BAD＝∠EBC；又∵AB＝BC，∠D＝∠E；∴△ABD≌△BCE（AAS）；∴AD＝BE，AD⊥BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用；證明兩條線段相等，一般證明它們所在的三角形全等．本題中不論三角板如何滑動(dòng)，始終有AB＝BC，∠ABC＝90度，做題時(shí)要注意找規(guī)律．17．如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個(gè)條件AB＝ED，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．并寫出證明過程．【分析】根據(jù)題意可得∠B＝∠D，∠BAC＝∠DEF＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理可知只需要添加一條對應(yīng)邊相等即可，由此求解即可．【解答】解：添加條件AB＝ED，證明如下：在Rt△ABC和Rt△EDF中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL等等．18．如圖，已知△ABC≌△ADE，BC的延長線交DA于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)G，∠AED＝105°，∠CAD＝15°，∠B＝50°，求∠DGF的度數(shù)．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠AED＝105°，∠D＝∠B＝50°，求得∠ACF＝180°﹣∠ACB＝75°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠AED＝105°，∠B＝50°，∴∠ACB＝∠AED＝105°，∠D＝∠B＝50°，∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝75°，∵∠CAD＝15°，∴∠AFC＝180°﹣∠CAF﹣∠ACF＝90°，∴