高等數(shù)學(xué)(微積分)教學(xué)大綱

《高等數(shù)學(xué)（微積分）》教學(xué)大綱課程代碼:執(zhí)行日期:許可部門：上海商學(xué)院教務(wù)處適用專業(yè)：公共必修課有效期限：2009.9—2012.7上海商學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)院高等數(shù)學(xué)（微積分）教學(xué)大綱課程名稱：高等數(shù)學(xué)（微積分） 課程編碼：英文名稱：AdvancedMathematics（Calculus）學(xué)時(shí)：144 學(xué)分：8開課學(xué)期：第一學(xué)年第一、第二學(xué)期適用專業(yè)：財(cái)經(jīng)類本科課程類別：公共必修課先修課程：完成高中階段的數(shù)學(xué)課程建議教材：21世紀(jì)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教材《微積分》楊愛珍主編復(fù)旦大學(xué)出版社一、課程目的、任務(wù)數(shù)學(xué)向社會科學(xué)滲透及社會的數(shù)字化是當(dāng)今科技發(fā)展的一般趨勢。它是一門研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，也是一種思維模式和文化素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)高素質(zhì)經(jīng)濟(jì)管理人才中具有其獨(dú)特的、不可替代的重要作用?！陡叩葦?shù)學(xué)》是高等學(xué)校經(jīng)管類專業(yè)本科生必修的重要基礎(chǔ)理論課程。通過課程的教學(xué)，應(yīng)使學(xué)生獲得一元函數(shù)微積分、多元函數(shù)微積分、無窮級數(shù)、常微分方程及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用方面的基本概念、基本理論、基本方法和運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)各類后繼課程和今后從事科研活動、閱讀或撰寫科技論文奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在教學(xué)過程中要注意培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力，綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析解決問題的能力和較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力。二、課程教學(xué)基本要求本課程按不同教學(xué)內(nèi)容分為兩個層次。文中用粗體字排印的內(nèi)容，應(yīng)使學(xué)生深入領(lǐng)會和掌握，并能熟練運(yùn)用。其中，概念、理論用“理解”一詞表述，方法、運(yùn)算的要求用“掌握”一詞表述。非黑體字排印的內(nèi)容，也是必不可少的，只是在教學(xué)要求上低于前者。其中，概念、理論的要求用“了解”一詞表述，方法、運(yùn)算的要求用“會”或“了解”一詞表述。（一）函數(shù)、極限、連續(xù) （18學(xué)時(shí)）1．理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的基本性態(tài)（奇偶性、周期性、單調(diào)性、有界性）。2．理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念，理解初等函數(shù)的概念。3．會建立簡單經(jīng)濟(jì)問題的函數(shù)關(guān)系式，掌握常見的經(jīng)濟(jì)函數(shù)（需求函數(shù)、成本函數(shù)、收益函數(shù)、利潤函數(shù)、庫存函數(shù)）。4．了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念（對極限的分析定義不作要求），了解函數(shù)極限的性質(zhì)（唯一性、局部有界性、局部保號性）。5．了解無窮大、無窮小的概念及性質(zhì)，了解無窮小的階及比較法，會用等價(jià)無窮小求極限。6．掌握極限的四則運(yùn)算法則，會用變量代換求簡單復(fù)合函數(shù)的極限。7．了解極限存在的兩個準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則），了解兩個重要極限并會用于求相關(guān)的極限。8．理解函數(shù)連續(xù)的概念，了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念，會判斷間斷點(diǎn)的類型（第一類、第二類）。9．了解初等函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理、最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理）。（二）一元函數(shù)微分學(xué) （28學(xué)時(shí)）1．理解導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義和經(jīng)濟(jì)意義（含邊際與彈性的概念），了解函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。2．掌握基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，掌握導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，了解反函數(shù)求導(dǎo)法則，掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法及取對數(shù)求導(dǎo)法。3．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法。了解常見函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式。4．理解微分的概念，了解微分概念中包含的局部線性化思想，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分的形式不變性，會求函數(shù)的微分。5．了解羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理，會用洛必達(dá)法則求不定式的極限。6．了解泰勒定理以及用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的思想（對泰勒定理的證明及利用泰勒定理證明相關(guān)問題不作要求）。7．理解函數(shù)極值的概念，掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值的方法。會求解經(jīng)濟(jì)管理中的最大值最小值應(yīng)用問題。8．會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求曲線的拐點(diǎn)，會描繪簡單函數(shù)的圖形（包括水平漸近線和鉛直漸近線）。（三）一元函數(shù)積分學(xué) （26學(xué)時(shí)）1．理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法，會求簡單有理函數(shù)的不定積分。3．理解定積分的概念及幾何意義，了解定積分的基本性質(zhì)和積分中值定理。4．理解積分上限函數(shù)的概念及其求導(dǎo)定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。5．掌握定積分的換元積分法與分部積分法。6．掌握實(shí)際問題中建立定積分表達(dá)式的元素法（微元法），會建立簡單的幾何問題和經(jīng)濟(jì)問題的定積分表達(dá)式。7．了解兩類反常積分及其收斂性的概念，了解Γ函數(shù)的概念。（四）多元函數(shù)微積分學(xué) （30學(xué)時(shí)）1．理解空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，會求空間中兩點(diǎn)的距離。2．掌握平面的方程和直線的方程及其求法。3．了解曲面方程及空間曲線方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形。4．理解二元函數(shù)的概念及幾何意義，了解多元函數(shù)的概念。5．了解二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。6．理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。掌握求偏導(dǎo)數(shù)和全微分的方法。7．掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)（對抽象復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，只作簡單要求）。8．會求由一個方程確定的隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。9．理解二元函數(shù)極值與條件極值概念，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求解簡單的最大值最小值問題。10．理解二重積分的概念及幾何意義，了解二重積分的性質(zhì)，掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)），會計(jì)算無界區(qū)域上簡單的反常二重積分。11．會運(yùn)用多元函數(shù)的微積分知識，解決簡單的經(jīng)濟(jì)問題。（五）無窮級數(shù) （22學(xué)時(shí)）1．理解無窮級數(shù)及其收斂、發(fā)散與收斂級數(shù)和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2．了解正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法及其極限形式，掌握幾何級數(shù)與SKIPIF1<0級數(shù)的斂散性結(jié)論，掌握正項(xiàng)級數(shù)的比值審斂法。3．了解交錯級數(shù)的萊布尼茨定理，了解絕對收斂與條件收斂的概念，了解絕對收斂與收斂的關(guān)系。4．會求簡單冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域，了解冪級數(shù)在收斂域內(nèi)的基本性質(zhì)，會求簡單冪級數(shù)的和函數(shù)。5．會用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的麥克勞林展開式將簡單函數(shù)展開成冪級數(shù)。6．了解無窮級數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的簡單應(yīng)用。（六）微分方程與差分方程 （20學(xué)時(shí)）1．了解微分方程的基本概念。2．掌握可分離變量方程、齊次方程、一階線性方程的解法。3．會用降階法求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等類型的高階微分方程。4．會通過建立微分方程模型，解決簡單的經(jīng)濟(jì)問題。三、課程教學(xué)內(nèi)容（分章節(jié)）（一）函數(shù)與極限函數(shù)，極限的概念與性質(zhì)，極限的運(yùn)算，函數(shù)的連續(xù)性。重點(diǎn)：函數(shù)、極限、無窮小的概念，極限的四則運(yùn)算，函數(shù)的連續(xù)性難點(diǎn)：極限與連續(xù)（二）導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則，高階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的微分。重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（三）中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理，洛必達(dá)法則，函數(shù)單調(diào)性的判別法，函數(shù)的極值及其求法，曲線的凹向與拐點(diǎn)，曲線的漸近線，函數(shù)圖形的描繪，函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。重點(diǎn)：洛必達(dá)法則，函數(shù)增減性的判別法，函數(shù)極值、最大值、最小值的求法。判斷函數(shù)的凹凸并求拐點(diǎn)。函數(shù)圖形的描繪。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用（邊際與彈性）難點(diǎn)：經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題的求解（四）不定積分不定積分的概念與性質(zhì)，不定積分的換元積分法，不定積分的分部積分法，有理函數(shù)的積分。重點(diǎn)：原函數(shù)、不定積分的概念，不定積分的性質(zhì)和基本公式，換元積分法和分部積分法難點(diǎn)：不定積分的計(jì)算（五）定積分及其應(yīng)用定積分的概念與性質(zhì)，定積分基本定理，定積分的換元積分法，定積分的分部積分法，反常積分，定積分的幾何應(yīng)用，定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用。重點(diǎn)：定積分的概念，積分上限的函數(shù)加及其導(dǎo)數(shù)，牛頓-萊布尼茨公式，定積分的換元積分法和分部積分法，定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算難點(diǎn)：定積分的計(jì)算（六）多元函數(shù)微積分空間解析幾何簡介，多元函數(shù)的基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，二元函數(shù)的極值和最值，二重積分。重點(diǎn)：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)、全微分、二重積分的計(jì)算難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)、二重積分的計(jì)算（七）無窮級數(shù)無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)，正項(xiàng)級數(shù)及其斂散性判別法，任意項(xiàng)級數(shù)及其斂散性判別法，冪級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)展開式。重點(diǎn)：無窮級數(shù)收斂和發(fā)散的概念，正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法，冪級數(shù)的收斂半徑，冪級數(shù)的展開難點(diǎn)：常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別（八）微分方程與差分方程微分方程的基本概念，一階微分方程，可降階的二階微分方程，二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)線性微分方程。重點(diǎn)：微分方程的概念，一階可分離變量、一階線性微分方程難點(diǎn)：解微分方程四、課程的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求（另附實(shí)驗(yàn)教學(xué)大綱）無五、課程各教學(xué)環(huán)節(jié)的要求每次課堂講授后要布置一定量的習(xí)題（90%計(jì)算題、10%證明題）讓學(xué)生練習(xí)，作業(yè)原則上批改一半以上，對于作業(yè)中存在的普遍性問題教師應(yīng)在課堂上作詳細(xì)講解。每章至少應(yīng)安排一次習(xí)題課，以便學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握和理解，并能鞏固重點(diǎn)，排解難點(diǎn)。本課程為考試課程，原則上期中、期末各一次。考試采用閉卷形式，評分采用百分制。命題題型：選擇題、填空題、簡答題、計(jì)算題和證明題等?？傇u成績由期中、期末試卷的成績和平時(shí)成績構(gòu)成：平時(shí)成績占總評成績的10％，平時(shí)成績由課堂表現(xiàn)（包括遲到、早退和曠課）、作業(yè)情況和平時(shí)測驗(yàn)的成績幾部分構(gòu)成。期中試卷成績占總評成績的30％，期末試卷成績占總評成績的60％。六、課程學(xué)時(shí)分配序號主要內(nèi)容學(xué)時(shí)分配作業(yè)題量備注1函數(shù)與極限16+2602導(dǎo)數(shù)與微分14+2603中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用10+2304不定積分12+2605定積分及其應(yīng)用10+2606多元函數(shù)微積分26+4407無窮級數(shù)18+4408微分方程與差分方程16+430總計(jì)122+22380七、課程的主要參考書[1]《微積分》，趙樹嫄，中國人民大學(xué)出版社，2005[2]《微積分（經(jīng)管類）》，吳贛昌，中國人民大學(xué)出版社，2007