《空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示》同步學(xué)案(教師版)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示》同步學(xué)案情境導(dǎo)入1.平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)運(yùn)算能推廣到空間直角坐標(biāo)系中去嗎?2.你能根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式|AB|=x1-自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引1.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a=a(1)a+(2)a-(3)λa=_________,(4)a?2.空間向量的平行與垂直設(shè)a=a當(dāng)b≠0時(shí),a//b?3.空間向量的模設(shè)a=a1a4.空間向量的夾角公式設(shè)a=a1a5.空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1則P1所以P1答案:1.(1)a(2)a(3)λ42.a3.4.5.x預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)1.已知向量a=-325,b=1A.3B.4C.5D.62.已知點(diǎn)A-423關(guān)于Ozx平面的對(duì)稱點(diǎn)為A1,點(diǎn)A1關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A.8B.12C.16D.193.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,下列說(shuō)法正確的是()A.向量AB的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)相同B.向量AB的坐標(biāo)與點(diǎn)B的坐標(biāo)相同C.向量AB與向量OB的坐標(biāo)相同D.向量AB與向量OB-4.在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A102,B1-31,點(diǎn)M在y軸上,且點(diǎn)M到點(diǎn)A與到點(diǎn)答案1.C解析:因?yàn)閍?b=-3×1+2x+5×-12.A解析:點(diǎn)A-423關(guān)于Ozx平面的對(duì)稱點(diǎn)為A1-4-23,點(diǎn)A13.D解析:因?yàn)辄c(diǎn)A,B不一定為坐標(biāo)原點(diǎn),所以選項(xiàng)A,B,C都不正確.因?yàn)锳B=OB-OA,4.0解析:設(shè)M0y0.由|MA|=|MB|得1-0新知探究探究點(diǎn)1空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示知識(shí)詳解設(shè)a=a(1)a+(2)a-(3)λa(4)a?特別提示1.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示是完全一致的.例如,一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).2.在確定了向量的坐標(biāo)后,就可以用空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算了,還要熟練應(yīng)用下列有關(guān)的乘法公式:(1)a+b2典例探究例1已知空間四點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)分別是(-1,2,1),134,0-1(1)p+2(2)3p(3)p-(4)cosp解析:已知兩點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)公式表示由這兩點(diǎn)構(gòu)成的向量的坐標(biāo),再根據(jù)向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的法則求解即可.答案:因?yàn)锳-121所以p=(1)p+2q=(2)3p-q(3)p-(4)cosp變式訓(xùn)練1已知a=2(1)a+b;(2)a-b;(3)(5)(a答案:1234因?yàn)?a=4-2-45探究點(diǎn)2利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問(wèn)題知識(shí)詳解1.設(shè)a=a當(dāng)b≠0時(shí);a2.平行與垂直問(wèn)題主要有兩種題型:(1)平行與垂直的判斷;(2)利用平行與垂直求參數(shù)或其他問(wèn)題,即平行與垂直的應(yīng)用.解題時(shí)要注意:(1)適當(dāng)引入求參數(shù)(比如向量a,b平行,可設(shè)a=λb,λ∈R),典例探究例2已知空間中三點(diǎn)A-202,B-11(1)若|c|=3,且c//BC(2)若ka+b與ka-2b(3)若λa+b+μa-b與解析:答案:(1)因?yàn)閏//BC,所以c=m所以|c所以m=±1,所以c=-2-1(2)由題意知ka+b所以k-1k所以k=2或k=-52,即ka+b與ka-2b互相垂直時(shí)(3)由題意知a+b=0由題意知2μλ+μ即當(dāng)λ,μ滿足λ-μ=0時(shí),可使λa+b+μ變式訓(xùn)練2已知a=(1)若a//b,求實(shí)數(shù)λ與m(2)若|a|=5,且與c=2答案:(1)由a//b,得λ+112λ所以實(shí)數(shù)λ=1(2)因?yàn)閨a|=5,所以λ+1化簡(jiǎn),得5λ2+2λ=3,因此,a=探究點(diǎn)3利用空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示求夾角與距離知識(shí)詳解1.利用空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示求向量夾角和空間兩點(diǎn)間的距離.(1)利用|a|=a(2)利用cosa?b(3)利用P1P22.注意異面直線所成的角與向量的夾角不一致,它們可能相等,也可能互補(bǔ).典例探究例3在長(zhǎng)方體OABC-O1A1B1C1中,OA=2,AB=3,A(1)求直線AO1與B(2)作O1D?AC于D,求點(diǎn)O1到點(diǎn)解析:建系Oxyz→得各點(diǎn)的坐標(biāo)→數(shù)量及運(yùn)算→夾角、長(zhǎng)度公式→幾何結(jié)論答案:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz(1)由題意得A200所以AO所以cosA所以AO1與B1(2)由題意得O1因?yàn)镃030,所以O(shè)1所以-2x+3y=0,x-2-2所以D18所以O(shè)1變式訓(xùn)練3如圖所示,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D(1)求證:EF?CF;(2)求EF與GC所成角的余弦值;(3)求CE的長(zhǎng).答案:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,由題可得D00所以EF(1)因?yàn)镋F?所以EF?CF,即(2)EF?CG|所以cosEF(3)CE=|CE易錯(cuò)易混解讀例在ΔABC中,已知AB=240,BC錯(cuò)解:因?yàn)锳B=所以cosAB所以∠ABC=45錯(cuò)因分析:錯(cuò)解中忽視了向量的方向,事實(shí)上,∠ABC的大小不是向量AB,BC的夾角,而是向量BA正解:因?yàn)锳B=所以BA=所以cosBABC=BA糾錯(cuò)心得:在利用向量求角時(shí),一定要注意向量的方向,若AB與BC的夾角為θ,則BA與BC的夾角為π-θ