2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程學(xué)案含解析新人教A版必修2

PAGE3．2.2直線的兩點(diǎn)式方程[目標(biāo)]1.記住直線的兩點(diǎn)式方程與截距式方程，并會(huì)用它們求直線的方程；2.會(huì)用兩點(diǎn)式方程與截距式方程解答有關(guān)問(wèn)題．[重點(diǎn)]直線的兩點(diǎn)式方程與截距式方程及應(yīng)用．[難點(diǎn)]截距式方程及應(yīng)用．學(xué)問(wèn)點(diǎn)一直線的兩點(diǎn)式方程[填一填]經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直線方程是eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)，叫做直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式．[答一答]1．過(guò)點(diǎn)A(5,6)和點(diǎn)B(－1,2)的直線的兩點(diǎn)式方程是(B)A.eq\f(y－5,x－6)＝eq\f(y＋1,x－2) B.eq\f(y－6,2－6)＝eq\f(x－5,－1－5)C.eq\f(2－6,y－6)＝eq\f(－1－5,x－5) D.eq\f(x－6,2－6)＝eq\f(y－5,－1－5)2．過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線是否肯定可用兩點(diǎn)式方程表示？提示：不肯定．(1)若x1＝x2且y1≠y2，則直線垂直于x軸，方程為x－x1＝0或x＝x1.(2)若x1≠x2且y1＝y(tǒng)2，則直線垂直于y軸，方程為y－y1＝0或y＝y(tǒng)1.(3)若x1≠x2且y1≠y2，則直線方程可用兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)表示．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二直線的截距式方程[填一填]直線l與x軸的交點(diǎn)為(a,0)，與y軸的交點(diǎn)為(0，b)，其中a≠0，b≠0，則直線l的兩點(diǎn)式方程是eq\f(y－0,b－0)＝eq\f(x－a,0－a)，可以整理為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.它是由直線在x軸上的截距a和y軸上的截距b確定的，所以叫做直線的截距式方程．[答一答]3．在x，y軸上的截距分別是－3,4的直線方程是(A)A.eq\f(x,－3)＋eq\f(y,4)＝1 B.eq\f(x,3)＋eq\f(y,－4)＝1C.eq\f(x,－3)－eq\f(y,4)＝1 D.eq\f(x,4)＋eq\f(y,－3)＝14．截距式方程不能表示哪些直線？提示：截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線在x軸、y軸上的截距都不能為0，所以截距式方程不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線及經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線．學(xué)問(wèn)點(diǎn)三中點(diǎn)坐標(biāo)公式[填一填]若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．[答一答]5．若已知A(x1，y1)及AB中點(diǎn)(x0，y0)，如何求B點(diǎn)的坐標(biāo)？提示：設(shè)B(x，y)，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x,2)＝x0，,\f(y1＋y,2)＝y(tǒng)0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x0－x1，,y＝2y0－y1，))故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2x0－x1,2y0－y1)．類型一直線的兩點(diǎn)式方程[例1]已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC邊的方程；(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．[分析]首先判定是否滿意直線方程兩點(diǎn)式的條件，若滿意，則應(yīng)用公式求解；若不滿意，則依據(jù)詳細(xì)條件寫出方程．[解](1)∵BC邊過(guò)兩點(diǎn)B(5，－4)，C(0，－2)，∴由兩點(diǎn)式得eq\f(y－－4,－2－－4)＝eq\f(x－5,0－5)，即2x＋5y＋10＝0.故BC邊的方程為2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x0＝eq\f(5＋0,2)＝eq\f(5,2)，y0＝eq\f(－4＋－2,2)＝－3.∴M(eq\f(5,2)，－3)．又BC邊上的中線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－3,2)．∴由兩點(diǎn)式得eq\f(y－2,－3－2)＝eq\f(x－－3,\f(5,2)－－3)，即10x＋11y＋8＝0.故BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0.1當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要推斷是否滿意兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不垂直于坐標(biāo)軸，若滿意，則考慮用兩點(diǎn)式求方程.2由于減法的依次性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會(huì)將字母或數(shù)字的依次錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤.在記憶和運(yùn)用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必需留意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.[變式訓(xùn)練1]梯形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－5，1)，B(1，－3)，C(4,1)，D(1,3)．求該梯形中位線所在直線的方程．解：∵kAB＝－eq\f(2,3)，kCD＝－eq\f(2,3)，∴AB∥CD.又AD中點(diǎn)M(－2,2)，BC中點(diǎn)Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－1))，由直線的兩點(diǎn)式方程得梯形的中位線MN所在直線方程為eq\f(y－2,－1－2)＝eq\f(x＋2,\f(5,2)＋2)，化簡(jiǎn)得2x＋3y－2＝0.類型二直線的截距式方程[例2]一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，求此直線方程．[分析]可設(shè)直線方程為截距式．[解]設(shè)所求直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵點(diǎn)A(－2,2)在直線上，∴－eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝1.①又∵直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，∴eq\f(1,2)|a|·|b|＝1.②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝1，,ab＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,ab＝－2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2.))其次個(gè)方程組無(wú)解．故所求直線方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,1)＝1或eq\f(x,－1)＋eq\f(y,－2)＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.解題時(shí)，肯定要留意依據(jù)不同的條件，用適當(dāng)?shù)闹本€表達(dá)式來(lái)求直線方程.本題三角形的兩直角邊長(zhǎng)恰好是直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的肯定值，故設(shè)為截距式是比較適當(dāng)?shù)?[變式訓(xùn)練2](1)過(guò)點(diǎn)A(4,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為(C)A.x＋y＝5B.x－y＝5C.x＋y＝5或x－4y＝0D.x－y＝5或x－4y＝0解析：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(0,0)時(shí)，直線方程為y＝eq\f(1,4)x，即x－4y＝0；當(dāng)直線不過(guò)點(diǎn)(0,0)時(shí)，可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，把(4,1)代入，解得a＝5，∴直線方程為x＋y＝5.綜上可知，直線方程為x＋y＝5或x－4y＝0.(2)若直線y＝－eq\f(b,a)x－eq\f(c,b)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則(D)A.ab>0，bc<0 B.ab>0，bc>0C.ab<0，bc>0 D.ab<0，bc<0解析：因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，所以－eq\f(b,a)>0，即ab<0，且直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的上方，所以－eq\f(c,b)>0，即bc<0，故選D.類型三直線方程形式的敏捷選用[例3]已知直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，直角頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，頂點(diǎn)C在x軸上．(1)求邊BC所在直線的方程；(2)求△ABC的斜邊上的中線所在直線的方程．[解](1)因?yàn)橹苯侨切蜛BC的直角頂點(diǎn)為B(1，eq\r(3))，所以AB⊥BC，故kAB·kBC＝－1.又A(－2,0)，所以kAB＝eq\f(\r(3)－0,1＋2)＝eq\f(\r(3),3)，從而kBC＝－eq\f(1,kAB)＝－eq\r(3)，所以邊BC所在直線的方程為y－eq\r(3)＝－eq\r(3)(x－1)，即eq\r(3)x＋y－2eq\r(3)＝0.(2)因?yàn)橹本€BC的方程為eq\r(3)x＋y－2eq\r(3)＝0，點(diǎn)C在x軸上，由y＝0，得x＝2，即C(2,0)，所以斜邊AC的中點(diǎn)為(0,0)，故斜邊中線為OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．設(shè)直線OB的方程為y＝kx，由點(diǎn)B(1，eq\r(3))在直線OB上，得k＝eq\r(3)，所以△ABC的斜邊上的中線OB所在直線的方程為y＝eq\r(3)x.許多與直線有關(guān)的綜合問(wèn)題，如與三角形有關(guān)的問(wèn)題，須要設(shè)出直線方程形式，在選擇直線方程形式時(shí)要留意選擇技巧，如當(dāng)已知直線過(guò)某個(gè)點(diǎn)時(shí)，可選擇點(diǎn)斜式或斜截式，當(dāng)已知截距關(guān)系時(shí)，可選擇點(diǎn)斜式，也可選擇截距式等，不論選擇哪種形式，都要留意考慮問(wèn)題的全面性，做到?jīng)]有遺漏.[變式訓(xùn)練3]已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,4)，B(－2，6)，C(－8,0)．(1)求三角形三邊所在直線的方程．(2)求AC邊上的垂直平分線的方程．解：(1)直線AB的方程為eq\f(y－4,6－4)＝eq\f(x－0,－2－0)，整理得x＋y－4＝0；直線BC的方程為eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x＋8,－2＋8)，整理得x－y＋8＝0；由截距式可知，直線AC的方程為eq\f(x,－8)＋eq\f(y,4)＝1，整理得x－2y＋8＝0.(2)線段AC的中點(diǎn)為D(－4,2)，直線AC的斜率為eq\f(1,2)，則AC邊上的垂直平分線的斜率為－2，所以AC邊的垂直平分線的方程為y－2＝－2(x＋4)，整理得2x＋y＋6＝0.1．過(guò)兩點(diǎn)A(1,1)，B(0，－1)的直線方程是(A)A.eq\f(y＋1,1＋1)＝x B.eq\f(y－1,－1)＝eq\f(x－1,－1)C.eq\f(y－1,0－1)＝eq\f(x－1,－1－1) D.y＝x解析：干脆運(yùn)用直線的兩點(diǎn)式方程．2．直線eq\f(x,a2)－eq\f(y,b2)＝1在y軸上的截距是(B)A.b2B.－b2C.|b|D.±解析：直線方程化為eq\f(x,a2)＋eq\f(y,－b2)＝1，故直線在y軸上的截距為－b2.3．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，－2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距和為2的直線方程是(D)A.eq\f(x,2)＋eq\f(y,－2)＝1 B.eq\f(x,－2)＋eq\f(y,2)＝1C.eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1 D.eq\f(x,4)－eq\f(y,2)＝1解析：直線在x軸的截距設(shè)為a，由題意得直線在y軸上的截距為－2，所以－2＋a＝2，a＝4.故直線方程為eq\f(x,4)－eq\f(y,2)＝1.4．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)，在x軸上的截距為－2的直線方程是x－4y＋2＝0.解析：設(shè)直線方程為eq\f(x,－2)＋eq\f(y,b)＝1，將(2,1)代入上式，得b＝eq\f(1,2)，即x－4y＋2＝0.5．已知點(diǎn)A(－3，－1)，B(1,5)，求過(guò)線段AB的中點(diǎn)M，且在x軸上截距是在y軸上截距的2倍的直線方程．解：M點(diǎn)的坐標(biāo)是(－1,2)．①設(shè)在x軸，y軸上的截距分別為a，b，若截距a，b不為0時(shí)，設(shè)方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－1,a)＋\f(2,b)＝1，,a＝2b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝\f(3,2).))所求方程為x＋2y－3＝0.②若a＝b＝0時(shí)，則此直線過(guò)點(diǎn)M(－1,2)和原點(diǎn)(0,0)，方程為y＝－2x.所以，所求直線方程為x＋2y－3＝0或y＝－2x.——本課須駕馭的兩大問(wèn)題1．求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及