山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一講函數(shù)及其表示學(xué)案含解析

PAGE10-其次章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一講函數(shù)及其表示ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問梳理·雙基自測(cè)eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問點(diǎn)一函數(shù)的概念及表示1．函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，B設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)關(guān)系f：A→B假如依據(jù)某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的隨意一個(gè)數(shù)x，在集合B中有唯一的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)假如按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的隨意一個(gè)元素x在集合B中有唯一的元素y與之對(duì)應(yīng)名稱稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射記法y＝f(x)，x∈A對(duì)應(yīng)f：A→B是一個(gè)映射2.函數(shù)(1)函數(shù)實(shí)質(zhì)上是從一個(gè)非空數(shù)集到另一個(gè)非空數(shù)集的映射．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則.(3)函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表法.(4)兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才相同．學(xué)問點(diǎn)二分段函數(shù)及應(yīng)用在一個(gè)函數(shù)的定義域中，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫分段函數(shù)，分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)．eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)1．映射：(1)映射是函數(shù)的推廣，函數(shù)是特別的映射，A，B為非空數(shù)集的映射就是函數(shù)；(2)映射的兩個(gè)特征：第一，在A中取元素的隨意性；其次，在B中對(duì)應(yīng)元素的唯一性；(3)映射問題允很多對(duì)一，但不允許一對(duì)多．2．推斷兩個(gè)函數(shù)相等的依據(jù)是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一樣．3．分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．4．與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn)．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列推斷不正確的為(ABC)A．函數(shù)f(x)的圖象與直線x＝1的交點(diǎn)只有1個(gè)B．已知f(x)＝m(x∈R)，則f(m3)等于m3C．y＝lnx2與y＝2lnx表示同一函數(shù)D．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，－1≤x≤1，,x＋3，x>1或x<－1，))則f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，－1≤x≤1，,－x＋3，x>1或x<－1))題組二走進(jìn)教材2．(必修P23T2改編)下列所給圖象是函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①中當(dāng)x>0時(shí)，每一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的y值，因此不是函數(shù)圖象，②中當(dāng)x＝x0時(shí)，y的值有兩個(gè)，因此不是函數(shù)圖象，③④中每一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)唯一的y值，因此是函數(shù)圖象．3．(必修1P24T4改編)已知f(x5)＝lgx，則f(2)等于(D)A．lg2 B．lg32C．lgeq\f(1,32) D．eq\f(1,5)lg2[解析]解法一：由題意知x>0，令t＝x5，則t>0，x＝teq\f(1,5)，∴f(t)＝lgteq\f(1,5)＝eq\f(1,5)lgt，即f(x)＝eq\f(1,5)lgx(x>0)，∴f(2)＝eq\f(1,5)lg2，故選D．解法二：令x5＝2，則x＝2eq\f(1,5)，∴f(2)＝lg2eq\f(1,5)＝eq\f(1,5)lg2.故選D．4．(必修1P25BT1改編)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的定義域是[－3,0]∪[2,3]；值域是[1,5]；其中只與x的一個(gè)值對(duì)應(yīng)的y值的范圍是[1,2)∪(4,5].題組三考題再現(xiàn)5．(2024·江蘇，5分)函數(shù)y＝eq\r(7＋6x－x2)的定義域是[－1,7].[解析]要使函數(shù)有意義，則7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，則函數(shù)的定義域是[－1,7]．6．(2024·陜西，5分)設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x<0，))則f[f(－2)]＝(C)A．－1 B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,2)[解析]∵f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4)，∴f[f(－2)]＝f(eq\f(1,4))＝1－eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2)，故選C．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一函數(shù)的概念及表示考向1函數(shù)與映射的概念——自主練透例1(1)下列對(duì)應(yīng)是否是從集合A到B的映射，能否構(gòu)成函數(shù)？①A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4.②A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝4x.③A＝N，B＝Q，f：x→y＝eq\f(1,x2).④A＝{衡中高三·一班的同學(xué)}，B＝[0,150]，f：每個(gè)同學(xué)與其高考數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)相對(duì)應(yīng)．(2)(多選題)(2024·河南安陽(yáng)模擬改編)設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4個(gè)圖形中，能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有(BC)(3)以下給出的同組函數(shù)中，是否表示同一函數(shù)？①f1：y＝eq\f(x,x)；f2：y＝1；f3：y＝x0.②f1：y＝eq\r(x2)；f2：y＝(eq\r(x))2；f3：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x>0，,－x，x<0.))③f1：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2.))f2：xx≤11<x<2x≥2y123f3：[解析](1)①是映射，也是函數(shù)；②不是映射，更不是函數(shù)，因?yàn)閺腁到B的對(duì)應(yīng)為“一對(duì)多”；③當(dāng)x＝0時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的y值不存在．故不是映射，更不是函數(shù)；④是映射，但不是函數(shù)，因?yàn)榧螦不是數(shù)集．(2)A圖象不滿意函數(shù)的定義域，不正確；B、C滿意函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域，正確；D不滿意函數(shù)的定義，故選B、C．(3)①中f1的定義域?yàn)閧x|x≠0}，f2的定義域?yàn)镽，f3的定義域?yàn)閧x|x≠0}，故不是同一函數(shù)；②中f1的定義域?yàn)镽，f2的定義域?yàn)閧x|x≥0}，f3的定義域?yàn)閧x|x≠0}，故不是同一函數(shù)；③中f1，f2，f3的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，故是同一函數(shù)．[答案](1)①是映射，也是函數(shù)②不是映射，更不是函數(shù)③不是映射，更不是函數(shù)④是映射，但不是函數(shù)(3)不同函數(shù)①②；同一函數(shù)③名師點(diǎn)撥?1．映射與函數(shù)的含義(1)映射只要求第一個(gè)集合A中的每個(gè)元素在其次個(gè)集合B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)；至于B中的元素有無(wú)原象、有幾個(gè)原象卻無(wú)所謂．(2)函數(shù)是特別的映射：當(dāng)映射f：A→B中的A，B為非空數(shù)集時(shí)，且每個(gè)象都有原象，即稱為函數(shù)．2．推斷兩個(gè)函數(shù)是否相同的方法(1)構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，則值域肯定相同．(2)兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，才是相同函數(shù)．考向2求函數(shù)的解析式——師生共研例2已知f(x)滿意下列條件，分別求f(x)的解析式．(1)已知f(eq\r(x)－1)＝x－2eq\r(x)，求f(x)；(2)函數(shù)f(x)滿意方程2f(x)＋f(eq\f(1,x))＝2x，x∈R且x≠0.求f(x)；(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(0)＝1，對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．[分析](1)利用換元法，即設(shè)t＝eq\r(x)－1求解；(2)利用解方程組法，將x換成eq\f(1,x)求解；(3)已知函數(shù)類型，可用待定系數(shù)法；(4)由于變量較多，可用賦值法求解．[解析](1)解法一：設(shè)eq\r(x)－1＝t(t≥－1)，∴eq\r(x)＝t＋1，x＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，∴f(t)＝t2＋2t＋1－2(t＋1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥－1)．解法二：由f(eq\r(x)－1)＝x－2eq\r(x)＝(eq\r(x)－1)2－1，∵eq\r(x)≥0，∴eq\r(x)－1≥－1，∴f(x)＝x2－1(x≥－1)．(2)因?yàn)?f(x)＋f(eq\f(1,x))＝2x，①將x換成eq\f(1,x)，則eq\f(1,x)換成x，得2f(eq\f(1,x))＋f(x)＝eq\f(2,x).②由①②消去f(eq\f(1,x))，得3f(x)＝4x－eq\f(2,x).所以f(x)＝eq\f(4,3)x－eq\f(2,3x)(x∈R且x≠0)．(3)(待定系數(shù)法)因?yàn)閒(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，因此應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,5a＋b＝17，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7.))故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，∴f(y)＝y(tǒng)2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.名師點(diǎn)撥?函數(shù)解析式的求法(1)湊配法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式．(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法．(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，即令t＝g(x)，反解出x，代入原式可得f(t)，改寫即得f(x)．此時(shí)要留意新元的取值范圍．(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與f(eq\f(1,x))或f(－x)等的表達(dá)式，可依據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．(5)賦值法：給變量給予某些特別值，從而求出函數(shù)解析式．〔變式訓(xùn)練1〕(1)已知f(cosx)＝sin2x，則f(x)＝1－x2，x∈[－1,1].(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，則f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x(x∈R).(3)定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x＋1)＝2f(x)．若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1－x)，則當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－eq\f(xx＋1,2).[解析](1)(換元法)設(shè)cosx＝t，t∈[－1,1]，∵f(cosx)＝sin2x＝1－cos2x，∴f(t)＝1－t2，t∈[－1,1]．即f(x)＝1－x2，x∈[－1,1]．(2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq\f(1,2).所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x(x∈R)．(3)(轉(zhuǎn)換法)當(dāng)－1≤x≤0，則0≤x＋1≤1，故f(x＋1)＝(x＋1)(1－x－1)＝－x(x＋1)，又f(x＋1)＝2f(x)，所以當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－eq\f(xx＋1,2).考點(diǎn)二分段函數(shù)及應(yīng)用——多維探究角度1分段函數(shù)求值問題例3(2024·山西太原期中)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，x≥2，,fx＋1，x<2，))則f(log23)＝(A)A．eq\f(1,6) B．3C．eq\f(1,3) D．6[解析]∵函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，x≥2，,fx＋1，x<2，))∴f(log23)＝f(log23＋1)＝(eq\f(1,2))log23＋1＝(eq\f(1,2))logeq\f(1,2)eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).故選A．角度2分段函數(shù)與方程的交匯問題例4設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx2，－1<x<0，,ex－1，x≥0.))若f(1)＋f(a)＝2，則a＝1或－eq\f(\r(2),2).[解析]由于f(1)＝e1－1＝1，再依據(jù)f(1)＋f(a)＝2得f(a)＝1.當(dāng)a≥0時(shí)，f(a)＝ea－1＝1，解得a＝1；當(dāng)－1<a<0時(shí)，f(a)＝sin(πa2)＝1，解得a2＝eq\f(1,2)＋2k，k∈Z.由－1<a<0，得a＝－eq\f(\r(2),2).綜上，a＝1或－eq\f(\r(2),2).角度3分段函數(shù)與不等式的交匯問題例5(2024·全國(guó)Ⅰ，12)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))則滿意f(x＋1)<f(2x)的x取值范圍是(D)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，0)[解析]畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖可知：①當(dāng)x＋1≥0且2x≥0，即x≥0時(shí)，f(2x)＝f(x＋1)，不滿意題意；②當(dāng)x＋1>0且2x<0，即－1<x<0時(shí)，f(x＋1)<f(2x)明顯成立；③當(dāng)x＋1≤0時(shí)，x≤－1，此時(shí)2x<0，若f(x＋1)<f(2x)，則x＋1>2x，解得x<1.故x≤－1.綜上所述，x的取值范圍為(－∞，0)．名師點(diǎn)撥?分段函數(shù)問題的求解策略(1)分段函數(shù)的求值問題，應(yīng)首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，然后選定相應(yīng)的解析式代入求解．(2)分段函數(shù)與方程、不等式的交匯問題，一般要依據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進(jìn)行分類探討，最終應(yīng)留意檢驗(yàn)所求參數(shù)值(范圍)是否適合相應(yīng)的分段區(qū)間．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2024·江西撫州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－22m＋1，x≤3，,log2x－3，x>3，))其中m∈R，則f(3＋4m)＝(A)A．2m B．6C．m D．2m或6(2)(角度2)(2024·安徽江淮十校聯(lián)考)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,－log2x＋1，x>1，))且f(a)＝－2，則f(4－a)＝(C)A．－4 B．－2C．－1 D．0(3)(角度3)(2024·課標(biāo)全國(guó)Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))則滿意f(x)＋f(x－eq\f(1,2))>1的x的取值范圍是(－eq\f(1,4)，＋∞).[解析](1)因?yàn)?＋4m>3，所以f(3＋4m)＝log24m＝2m，故選A．(2)當(dāng)a≤1時(shí)沖突；當(dāng)a>1時(shí)，令－log2(a＋1)＝－2得a＝3，∴f(4－a)＝f(1)＝－1，故選C．(3)當(dāng)x>eq\f(1,2)時(shí)，x－eq\f(1,2)>0，f(x)>2eq\f(1,2)＝eq\r(2)，f(x－eq\f(1,2))>20＝1，∴f(x)＋f(x－eq\f(1,2))>1，在x>eq\f(1,2)時(shí)恒成立，當(dāng)0<x≤eq\f(1,2)時(shí)，x－eq\f(1,2)≤0，f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＝2x＋(x－eq\f(1,2))＋1>1，當(dāng)x≤0時(shí)，x－eq\f(1,2)<0，此時(shí)f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＝x＋1＋(x－eq\f(1,2))＋1＝2x＋eq\f(3,2)，令f(x)＋f(x－eq\f(1,2))>1，則有2x＋eq\f(3,2)>1，∴x>－eq\f(1,4)，當(dāng)－eq\f(1,4)<x≤0時(shí)，有f(x)＋f(x－eq\f(1,2))>1恒成立，綜上，當(dāng)x>－eq\f(1,4)時(shí)，f(x)＋f(x－eq\f(1,2))>1恒成立．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升數(shù)學(xué)抽象——函數(shù)新定義問題中的核心素養(yǎng)例6設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)隨意