點(diǎn)到直線的距離公式（1課時(shí)）教案

第二章直線和圓的方程2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式（1課時(shí)）【教學(xué)內(nèi)容】點(diǎn)到直線的距離公式，及推導(dǎo)和應(yīng)用．【教學(xué)目標(biāo)】1．利用坐標(biāo)法推導(dǎo)并掌握點(diǎn)到直線的距離公式，培養(yǎng)和提高數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；2.利用向量法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，掌握用向量法推導(dǎo)的分析過(guò)程，體會(huì)向量法和坐標(biāo)法的差異，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)；3．能利用點(diǎn)到直線的距離公式，解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力．【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式；教學(xué)難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)．【教學(xué)過(guò)程】（說(shuō)明：本環(huán)節(jié)包括新授、小結(jié)、布置作業(yè)等）上節(jié)課我們研究?jī)牲c(diǎn)間的位置關(guān)系，得到兩點(diǎn)間的距離公式.今天我們來(lái)研究點(diǎn)與直線的位置關(guān)系.我們知道，在解析幾何中，點(diǎn)在直線上，則滿足直線方程.如果點(diǎn)不在直線上，還可以研究點(diǎn)到直線的距離.在就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——點(diǎn)到直線的距離公式.熱身練習(xí)：點(diǎn)P(?1,2)到直線x=2的距離是_____.點(diǎn)P(?1,2)到直線y=1的距離是_____.答：通過(guò)作圖，能作出點(diǎn)P到直線l的距離即點(diǎn)P到直線的垂線段的長(zhǎng)度，分別為3和1.追問(wèn):那么點(diǎn)P(?1,2)到直線2x+y?10=0的距離呢？問(wèn)題1：如圖，已知點(diǎn)，直線，如何求到直線的距離？分析：要求點(diǎn)到直線的距離，即求點(diǎn)與垂足間的垂線段距離.追問(wèn)1：如何求出的距離？利用兩點(diǎn)間距離公式，確定，點(diǎn)的坐標(biāo).其中，點(diǎn)坐標(biāo)已知.只需求的坐標(biāo).追問(wèn)2：如何求出點(diǎn)的坐標(biāo)？點(diǎn)是直線與垂線的交點(diǎn)，所以聯(lián)立兩條直線方程求交點(diǎn)坐標(biāo).追問(wèn)3：如何求垂線的方程？已知一點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，求出的斜率，即可寫(xiě)出的點(diǎn)斜式方程.斜率不存在時(shí)，方程為x=x0追問(wèn)4：如何求垂線的斜率？垂線與直線垂直，直線的斜率為，可得垂線的斜率.由此，求得垂線方程為，整理得.解方程組：將（1）×A+（2）×B得，整理得.同理可得則.利用兩點(diǎn)間距離公式通分，原式由此，求得點(diǎn)到直線的距離.問(wèn)題5：公式有什么結(jié)構(gòu)特征？公式的分子：保留直線方程一般式的結(jié)構(gòu)，只是把的坐標(biāo)代入到了直線方程中，體現(xiàn)了公式與直線方程關(guān)系.特別地，如果在直線上，點(diǎn)到直線的距離為0，此時(shí)，式子中的分子為0，整個(gè)式子也等于0.運(yùn)算結(jié)果與實(shí)際相符.這么一來(lái)，這個(gè)公式可以表示平面內(nèi)任一點(diǎn)到任一直線的距離.注意，因?yàn)樗蟮氖蔷嚯x，所以要加絕對(duì)值保證結(jié)果為正.分母則是未知數(shù)系數(shù)的平方和再開(kāi)根.從向量法的推導(dǎo)過(guò)程中，我們也能發(fā)現(xiàn)實(shí)際是與已知直線垂直的方向向量的模.問(wèn)題6：向量是解決空間距離、角度問(wèn)題的有力工具，能否用向量方法求點(diǎn)到直線的距離呢?如圖，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的距離中最短的.追問(wèn)7：點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)所成向量與向量有何關(guān)系呢？設(shè)M(x,y)是直線上的任意一點(diǎn)，是在直線方向上的投影.追問(wèn)2：的模投影向量的模？，其中n是與直線的方向向量垂直的單位向量.追問(wèn)8：如何利用直線方程得到與直線的方向向量垂直的單位向量n呢?因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為(?B,因此，由向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得與直線垂直的一個(gè)方向向量為(A,B)，由此，與直線垂直的單位向量.由此便可計(jì)算的長(zhǎng)度.因?yàn)?，其中，所?5)因?yàn)镸(x,y)在直線上，則.代入(5)式整理得.問(wèn)題9:除了上述兩種方法，你還有其他推導(dǎo)方法嗎?構(gòu)造直角三角形，過(guò)點(diǎn)P作與x,y軸平行的直線交于點(diǎn)S、R，典型例題講解：例1.求點(diǎn)到下列直線的距離.（1）2x+y?10=0.（2）3x=2(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得（2）先將直線化為一般式3x?2=0，再代入點(diǎn)到直線公式得例2.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，求的面積.解：如圖，設(shè)邊AB上的高為h，則.邊AB上的高就是點(diǎn)到直線AB的距離.邊AB所在直線的方程為，即.點(diǎn)到直線的距離.因此，.追問(wèn)10:你還有其他方法嗎？答：割補(bǔ)法求三角形面積，構(gòu)造方法不唯一.課堂小結(jié)：1．本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線的距離公式，它是解析幾何中非常重要的一個(gè)公式.推導(dǎo)公式中完整介紹了兩種方法：第一種方法是坐標(biāo)法，將點(diǎn)到直線距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，由兩點(diǎn)間的距離公式得到結(jié)論，這種方法思路自然但運(yùn)算復(fù)雜；第二種方法是向量法，運(yùn)用向量的投影和數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行推導(dǎo)，雖然運(yùn)算量不大，但是需要一定的整體觀和構(gòu)造技巧.2．能利用點(diǎn)到直線的距離公式，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，注意運(yùn)用公式前，將直線方程化為一般式.答疑課程：?jiǎn)栴}1：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么？答：本節(jié)課的核心就是點(diǎn)到直線的距離公式.即點(diǎn)到直線的距離為.問(wèn)題2：如何證明這個(gè)公式？答：我們采用三種方法推導(dǎo)：1、坐標(biāo)法（求垂足Q的坐標(biāo)）2、向量法3、等面積法除了這三種證明方法，你還有沒(méi)有其他的想法？請(qǐng)同學(xué)們課后思考？問(wèn)題3：坐標(biāo)法和向量法各有特點(diǎn)，說(shuō)一說(shuō)你的體會(huì)？答：坐標(biāo)法是解析幾何問(wèn)題中最本質(zhì)的方法，都是通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)建立方程再計(jì)算獲得結(jié)論.第二種坐標(biāo)法采用了“設(shè)而不求”的想法，通過(guò)整體代換的思想簡(jiǎn)化了運(yùn)算.向量法利用了投影向量的概念，借助向量運(yùn)算獲得點(diǎn)到直線距離公式。這個(gè)方法十分巧妙，大大降低了運(yùn)算量，但是需要熟練使用向量的相關(guān)知識(shí).問(wèn)題4：公式怎么記憶呢？答：公式的分子：保留直線方程一般式的結(jié)構(gòu)，只是把的坐標(biāo)代入到了直線方程中，體現(xiàn)了公式與直線方程關(guān)系.注意，因?yàn)樗蟮氖蔷嚯x，所以要加絕對(duì)值保證結(jié)果為正.分母則是未