數學優(yōu)化訓練：8函數y=Asin：ωx+φ的圖像

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§7函數y=Asin（ωx+φ）的圖像5分鐘訓練(預習類訓練，可用于課前)1。（高考遼寧卷，文2)函數y=sin（)的最小正周期是（)A.B.πC.2πD。4π解析：y=sin（）的最小正周期T==4π答案：D2。將y=sinx的圖像變換為y=3sin（）的兩種變換方法如下,請在“"處填上變換方法。法一：y=sinxy=sin2xy=sin（2x+)y=3sin（2x+）;法二:y=sinxy=sin(x+）y=sin(2x+）y=3sin（2x+)。解法一：y=sinxy=sin2x圖像上所有點向左平移個單位y=sin［2(x+)］=sin（2x+）y=3sin(2x+）。解法二：y=sinxy=sin（x+)y=sin(2x+)y=3sin(2x+)。3.已知函數y=Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一個周期內的簡圖(如圖1—7圖1-7-1解：因為T=,所以ω=2。又易知A=2，所以y=2sin（2x+φ).將點（，0）帶入上式得0=2sin[2×（）+φ］,即sin(φ—）=0.由｜φ｜<得φ=，所以y=2sin（2x+).它的圖像可由y=sinx的圖像作如下變換得到：y=sinxy=sin(x+）y=sin（2x+)y=2sin(2x+).10分鐘訓練（強化類訓練,可用于課中)1。為了得到函數y=3sin（x-）（x∈R）的圖像，只需把y=3sinx上所有的點（）A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位解析：三角函數圖像的平移變換，應遵循法則：“加左減右”，且移動的單位數僅對一個x而言.據由y=sinx的圖像得到y=sin（x+φ）的圖像的步驟可知，應把y=3sinx圖像上所有的點向右平移個單位，即可獲得y=3sin（x-）的圖像.故選B.答案:B2.函數y=3sin（x+）圖像上的點進行_____________變換，就可得到函數y=3sin(2x+)的圖像（x∈R）（)A.橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變B.橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變C?？v坐標伸長為原來的2倍，橫坐標不變D.縱坐標縮短為原來的，橫坐標不變解析：橫向伸縮變換又稱周期變換,即周期發(fā)生了變化，因此,可先據周期的變大(?。┐_定橫坐標的變化。由y=sinx的圖像得到y=sinωx的圖像，應是將y=sinx圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮?＜ω＜1時，伸長;ω＞1時，壓縮）.故由y=3sin（x+)變?yōu)閥=3sin(2x+）應是橫坐標縮短為原來的.所以選B。答案：B3.下列函數中，周期為的是（）A.y=sin（）B。y=sin（）C.y=sin（）D.y=sin(2x+）解析：y=Asin（ωx+φ)的周期，注意運用T=求時需ω＞0.答案：B4。設y=sin（x+φ）(0≤φ≤π）是R上的偶函數，則φ等于()A.0B。C。D.π解析：函數的奇偶性，可用定義，還可借助于圖像.f（x)為偶函數，則從代數式上應有f（—x)=f（x），從圖像上應有圖像關于y軸對稱。答案：C5。正弦函數在一個周期內的圖像如圖1—7—2所示,求函數的表達式.圖1—7—2解:由題圖可知振幅A=2，又=π，所以周期T=2π，進而ω==1。再據第一個零點為（，0），代入可得φ=。所以y=2sin（x+)。30分鐘訓練（鞏固類訓練，可用于課后）1。函數y=cosx的圖像經過怎樣的變換才能變成函數y=cos（x+）（x∈R)的圖像()A.向左平移個單位B。向左平移個單位C.向右平移個單位D。向右平移個單位解析：平移變換時,一是看準平移的方向；二是確定平移的單位數。根據題意知應把y=cosx的圖像向左平移個單位.故選B。答案：B2。已知函數y=f（x）,現將y=f（x)圖像上的每一點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍,然后把整個圖像沿著x軸向左平移個單位，得到y=sinx的圖像，則函數f(x)的解析式為（）A。f（x）=B.f（x）=C.f（x)=D.f（x)=解析:依題意，函數y=sinx的圖像沿x軸向右平移個單位后，所得的函數是y=.再將其圖像上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?可得函數y=。則y=，即y=f（x）。故選D.答案：D3。方程2sin2x=x—3的解有（）A。1個B。2個C。3個D.4個解析:在同一坐標系下，畫出y=2sin2x和y=x—3的圖像，如下圖，易知有3個交點。故方程有3個實數解。所以選C.答案:C4。已知函數y=Asin（ωx+φ）在同一周期內,當x=時取得最大值，當x=時取得最小值，則該函數的解析式為（）A。y=2sin（—）B。y=sin（3x+）C。y=sin（3x-)D。y=sin（—）解析：由題意，知A=,∴T=.∴ω==3.將()視為第一個最高點，代入可求出φ=，∴y=sin（3x+）。故選B。答案：B5。函數y=sin（2x+5）的圖像的一條對稱軸方程是（)A.x=B。x=C.x=D.x=解析：函數y=sin（2x+）的對稱軸垂直于x軸，有很多條，它們通過圖像的最高點或最低點，即使函數取得最大值或最小值。所以一一代入驗證,可得x=符合要求。故選A.答案：A6。函數y=cos（x+）（x∈R)（）A。是奇函數B.是偶函數C.既不是奇函數又不是偶函數D.既是奇函數又是偶函數解析：除了用定義判斷某一函數的奇偶性之外,還可用圖像加以深化理解.如y=cos（x+φ）若為奇函數,則φ可取哪些值,不妨結合圖像解決。由奇偶函數的定義或圖像，易知y=cos（x+）既不是奇函數又不是偶函數.故選C.答案:C7。函數y=sin（-2x）的單調減區(qū)間為_______________。解析：令t=，易知原函數的單調減區(qū)間即是y=sint的單調增區(qū)間。由2kπ—≤t≤2kπ+（k∈Z)，知2kπ-≤2x-≤2kπ+（k∈Z）,∴kπ-≤x≤kπ+（k∈Z).因此函數y=sin(-2x）的減區(qū)間為［kπ-，kπ+]（k∈Z）。答案：［］(k∈Z)8.如圖1-7—3,彈簧掛著的小球上下振動，時間與小球相對于平衡位置（即靜止時的位置)的高度之間的函數關系式是h=2sin（t+），t∈[0,+∞）。圖1—7—3畫出這個函數在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖，并回答下列問題。(1）小球開始振動(即t=0）時的位置在哪里？(2）小球最高、最低點與平衡位置的距離分別是多少？（3）經過多長時間小球往復振動一次?(4）小球每1s能往復振動多少次？解:因為函數h=2sin（t+），t∈[0，+∞）的最小正周期是T=2π，它在[0，2π]上的簡圖如下.（1）小球開始振動（即t=0）時,h=2sin（0+）=2sin.（2)小球最高、最低點與平衡位置的距離分別是2和—2。（3)小球往復振動一次，即是一個周期2πs.（4）小球每1s能往復振動的次數，即頻率f=.9.已知函數y=Asi