2022屆 一輪復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 新高考版第五章 平面向量、復(fù)數(shù)

第五章平面向量、復(fù)數(shù)

第一節(jié)平面向量的概念及線性運算

核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向

1.結(jié)合平面向量的有關(guān)概念，考查對向量特性的理解，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2.結(jié)合向量的線性運算，考查用向量刻畫平面圖形的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng).

3.結(jié)合向量的線性運算的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的思想，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng).

基礎(chǔ)-在微點清障中全面落實

［理清主干知識］

1.向■的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量;向量的大小平面向量是自由向量，可在平面

向量

叫做向量的K度（或稱模）內(nèi)自由平移

零向量長度為0的向量記作0,其方向是任意的

a

單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±—

|a|

方向相同或相反的非零向量（又叫做

平行向量。與任一向量平行或共線

共線向量）

兩向量只有相等或不相等，不能

相等向量長度相等且方向蛔的向量

比較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

2.向■的線性運算

向量

運算定義法則（或幾何意義）運算律

（1）交換律:a+b=b

會+a；

加法求兩個向量和的運算三角形法則

⑵結(jié)合律：（a+b）

平行怖邊形法則

+c=a+（b+c）

求a與b的相反向量

減法-b的和的運算叫做a—b=a4"(—b)

三角方法則

a與b的差

Ra|=|Z||a|,當(dāng)2>0時，za

的方向與a的方向相同；如a)=(i")a；

求實數(shù)2與向量a的

數(shù)乘當(dāng)心0時，xa的方向與aG+〃)a=2a+"a；

積的運算

的方向相反;當(dāng)i=0時，；.ia+b)=za+2b

；.a=0

3.共線向■定理

向量a（aWO）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)九使得b=Aa.

［澄清盲點誤點】

一、關(guān)鍵點練明

1.（向量的有關(guān)概念）下列說法正確的是（）

A.方向相同的向量叫做相等向量

B.共線向量是在同一條直線上的向量

C.零向量的長度等于0

D.無？〃員就是高所在的直線平行于W方所在的直線

解析：選C長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正確；方向相同或相

反的非零向量叫做共線向量，但共線向量不一定在同一條直線上，故B不正確；顯然C正

確；當(dāng)前〃百時，春所在的直線與a所在的直線可能重合，故D不正確.

2.（多選?向量線性運算）下列各式中結(jié)果為零向量的為（）

A.~AB+BCVCA

B.^AB+MB+'BO+OM

C.~0A+0B+B0+CO

D.~AB-~AC￥BD-~CD

答案：AD

3.(共線向量定理)設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量a+xb與一(b-2a)共線，則工

答案：弓

二、易錯點練清

1.（多選?忽視零向量）下列命題中，正確的是（）

A.向量瓶的長度與向量前的長度相等

B.向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反

C.兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同

D.零向量與任意數(shù)的乘積都為零

答案：AC

2.（忽視向量相等的條件）若四邊形滿足前〃就且|前|=|反則四邊形

ABCD的形狀是.

解析：當(dāng)|入方|=|就|時，四邊形A8CD是平行四邊形；

當(dāng)|茄|工|就|時，四邊形4BC&是等腰梯形.

答案：平行四邊形或等腰梯形

能力—在題點全析中補齊短板

考點一平面向量的基本概念

［典例］(1)已知a,b是兩個非零向量，K|a+b|=|a|4-|b|,則下列說法正確的是()

A.a+b=OB.a±b

C.a與b共線反向D.存在正實數(shù)九使a=2b

(2)下列說法中，正確的是()

A.a與b共線，b與c共線，則a與c共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點總是一平行四邊形的四個頂點

C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

［解析］(l)Va,b是兩個非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,.?.向量a與b的方向相同，即

存在正實數(shù)2,使a=2b,故選D.

(2)A錯，當(dāng)b=0時，由a與b共線，b與c共線推不出a與c共線；B錯，任意兩個

相等的非零向量的始點與終點也可以在一條直線上；c正確，當(dāng)a與b中有零向量時，它

們一定共線；D錯，有相同起點的兩個非零向量也可以平行，即可以共線.故選C.

［答案］(1)D(2)C

［方法技巧］解決向量問題的關(guān)鍵點

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(2)共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān).

(3)相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向

量未必是相等向量.

(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象

的平移混為一談.

aa3

(5)非零向量a與一的關(guān)系：一是a方向上的單位向量，因此單位向量一與a方向相同.

|a||a||a|

(6)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能.但向量的模是非負(fù)實數(shù)，可以

比較大小.

(7)在解決向量的概念問題時，要注意兩點：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量

的方向；②考慮零向量是否也滿足條件.

［針對訓(xùn)練］

ab

1.設(shè)a,b都是非零向量，下列四個條件中，一定能使一十1=0成立的是（）

|a||b|

A.a=2bB.a/7b

C.a=—jbD.a±b

ababb

解析：lie由一4--=0得-------W0,即a=-------lal^O,則a與b共線且方向相

|a||b||a||b||b|

ab

反，因此當(dāng)向量a與向量b共線且方向相反時，能使一+—=0成立,對照各個選項可知，

|a||b|

選項A中a與b的方向相同；選項B中a與b共線，方向相同或相反；選項C中a與b

的方向相反；選項D中a與b互相垂直.

2.設(shè)a。為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a=|a|a。；②若a

與a（）平行，則a=|a|a（）；③若a與ao平行且|a|=l,則a=a0,假命題的個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a。的模相同，但方向不一定相同，

故①是假命題；若a與a。平行，則a與a。的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向

時a=一|a|a（）,故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是3?

考點二平面向量的線性運算

考法（一）平面向量的線性運算

［例1］（1）（2020?新高等全國卷U）若。為的邊A"的中點，則而=（）

A.2CD-~CAB.2CA-7JD

C.2CD4-CAD.2C4+CD

點M是A3的中點，且前=喬小，/X

（2）如圖所示，在△ABC中,

5N與CM相交于點E,設(shè)防二=a,AC=b,則3等于（）

A./a+jbB.|a+|b

C.1a+|bD.^a+^b

［解析］(1)VD為△ABC的邊A3的中點，

/.CD=1(C44--CB),：JCB=2CD-~CAt故選A.

——>1——>1——>1——>I

(2)由題意得4N=3AC=中,AM=2^B=2^?

由N,E,8三點共線可知，存在實數(shù)機，滿足

AE=mAN+(V—m)AB=1/nb+(l—〃i)a.

由C,E,M三點共線可知，存在實數(shù)〃，滿足

AE=nAM+(l—n)AC=lna+(l—n)b,

所以&ib+(1—m)a=Ina+(1—n)b.

解叫

因為a,b為基底，所以＜4

；m=］一

/，=5-

所以AE=|a+1b,故選A.

［答案］(DA(2)A

［方法技巧］

向量線性運算的解題策略

(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形

法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則.

(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與巳知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊

形或三角形中求解.

(3)用基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三

角形或多邊形；③運用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果.

考法(二)利用向量的線性運算求參數(shù)

［例2］如圖，一直線￡戶與平行四邊形ASC。的兩邊A5,AO分9

別交于E,尸兩點，且交其對角線AC于K,其中，~AE=fABr~AF=AE-一B

J

TAD,~AK=^ACt則7的值為()

A.|2

B.7

2

D.3

［解析］vAF=|AD,

：.'AB=^AEf~AD=2AF.

*：~AC=~AB+AD,：J~AK=iAC=z（AB++2AF^=|x4E+2x4F.

由E,F,K三點共線可得，|；.4-2z=l,解得故選A.

［答案］A

［方法技巧］

利用向■的線性運算求參數(shù)的方法

與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量線性運算的三角形

法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù).

［針對訓(xùn)練］

1.（2021?羯?建模擬）設(shè)M是△43C所在平面上的一點，而3+沐X+笳？=0,D是

4c的中點，標(biāo)=戲，則實數(shù)，的值為（）

1n1

A2B.3

C.2D.1

解析：選B因為。是AC的中點，所以應(yīng)T+求=2詬，又因為應(yīng)1+淑X+:求

［.A1->->［.>->］->->->->

=0,所以爹（AM+MC）=3/WB+MO=0,所以=因為fMb=OM,所以

1

t=y

2.（多選）如圖所示，在△A5C中，。是AB的中點，下列關(guān)于向量下方）/\

表示不正確的是（）

RC

A.~CD=~CA+~DBB.~CD^BC+DA

c.~CD=^ABYACD.~CD=^CA+^CB

解析：選BC對于A,因為。是AB的中點，所以下方=萬不，

因為罰=7才+茄，所以而=前十萬方，所以A正確；

對于B,由三角形法則得，~CD=~CBVBD=~CB4-DA=-~BC+DA,所以B不正

確；

對于C,CD="C44-AD=1AB-AC,所以C不正確；

對于D,因為卻是48的中點，所以而=笈彳+先萬，

所以D正確.

3.在正六邊形4BCDE/中，對角線BO,C/相交于點P,若方則

x+j=.

解析：如圖，記正六邊形A6C&E"的中心為點O,連接05,

易證四邊形OBCO為菱形且P恰為其中心.

*

一2

3

-

2?

答案：I

考點三共線向量定理的應(yīng)用

［典例］(1)已知a,b是不共線的向量，AB=；.a-l-b,AC=a+//b(2,〃￡R),若A,

B,C三點共線，則九〃的關(guān)系一定成立的是()

A.2〃=1B.Aft=-\

C.x—//=-1D.2+〃=2

(2)(2021?石家莊模擬)設(shè)a與62是兩個不共線向量，9=3a+2e2,,=Aa+e2,而

=3?i-2Ae2,若A,B,〃三點共線，則A的值為.

［解析］(1),??封與就有公共點A,,??若A,B,C三點共線，則存在一個實數(shù)/使方

=tACt即ja+b=ra+〃/b,則消去參數(shù)，得，/=1；反之，當(dāng)時，~AB=

，+b,此時存在實數(shù)聲薪工故下9和N共線.丁京與就有公共點A,

B,。三點共線.故選A.

(2)由題意，A,B,。三點共線，故必存在一個實數(shù)九使得下背=大前.

又46=361+26,CB=Aei4-62,CD=3ei—2A:62,

所以BD=CD-CB=3ei-2Are2-(/tei+e2)

=(3—A)e1—(2k+1)62,

所以3ei+2e2=2(3-k)Qi—2(2〃+l)e2,

又a與金不共線，

9

解得

所4-

4

9

剽^-

1)A4

［方法技巧］平面向■共線定理的3個應(yīng)用

證明向

若存在實數(shù)九使a=2b,則a與非零向量b共線

量共線

證明三若存在實數(shù)心使三=7就，7方與就有公共點A,則A,BtC三點共

點共線線

求參數(shù)

利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值

的值

［針對訓(xùn)練］

1.(2021?南京、鹽城模擬)已知向量a=(l,3),b=(m,6),若2〃，貝lj〃尸.

解析：因為a〃b,所以3Xm=6Xl,解得〃］=2.

答案：2

2.設(shè)兩個非零向量a與b不共線.

(1)若而=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求證：A,。三點共線;

⑵試確定實數(shù)上使&a+b和a+Ab共線.

解：(1)證明：V4B=a+b,-flC=2a+8b,CD=3(a-b),

/.BD="5C+CD=2a+8b4-3(a-b)=5(a+b)=5AB,

說共線，又它們有公共點&

AA,B,&三點共線.

(2)；Aa+b與a+Ab共線，

，存在實數(shù)兒使Aa+b=2(a+Ab),即僅一2)a=qA-l)b.

又a,b是兩個不共線的非零向量,

k一2=0,

；?A2-I=O..?.A=±I.

x^-l=O.

素養(yǎng)—在科學(xué)思維中參悟提升

一、創(chuàng)新思維角度——融會貫通學(xué)妙法

結(jié)論“/=嬴萬T+〃笳(tn,〃￡R),/w+〃=lOA,P,B三點共

線”的妙用.

1.如圖，在中，就=；就，尸是BN上的一點，若方=ni~AB

+帝才，則實數(shù)加的值為()

An

解析：選B注意到N,P,B三點共線，

因此A戶=mAB=111AB+^A2V,

從而加+寺=1,所以m=今.

2.A,B,。是圓0上不同的三點，線段CO與線段AB交于點9點。與點O不重合),

若&=2員+〃萬聲U，〃WR),則2+〃的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,+8)

C.(1,y[2]D.(-1,0)

解析：選B設(shè)友:二帆萬方，則，〃:>1,

因為/=zO4+〃而，

所以ni~OD=XOA+〃笳,

即萬方=("涼+2蘇,

又知A,3,。三點共線，

所以5+5=1，即2+4=小，

所以幺+〃>1,故選B.

二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動向

1.已知平面上點。與線段A8,若線段A3上有〃(〃>1)個異于端點A,B的互異動點

P|，P2，…，Pn，且滿足不了=為/萬？+"而，"，"KWRJWKW",K￡Z,則

（九彳2…詞?（〃W2…“"）的取值范圍是（）

A.（0,羽B(yǎng).（0,/）

C.（0,D.擊+8）

…m且a+b,a2—2ab-}-b2（a-4一

解析：選B因為（二一戶一面=~.>0,

所以GbW（小戶對任意叫OCR均成立，并且當(dāng)且僅當(dāng)。=力時等號成立.

由于人,4,8共線，所以加+〃A=1,

由于PA在線段AB上且異于端點A,B,結(jié)合而;=2而7+〃K蘇以及平行四邊形法

則可知公>0,〃/>0.若■〃“=；,此時'為線段A8的中點，僅有1點，但〃>1,所以

21+//I,七+〃2、幺"+〃”,1,,.

0<（九處…乙）31〃2???〃〃）=（4〃1）?（2盟2）.........（入心力<（—一聲（一耳—）2??…（—~了=萬，故選

B.

2.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周

解算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為

邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組

成的）.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三

角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)DF=2AFt貝?）（）

A.AD=-^AC+^ABB.AD=|AC-\-^AB

C.AD=^AC+行篇D.AD=.A(?+石46

選

解析：C由題意知AD=3A產(chǎn)，CF=3CEtBE=3BD,

則罰=3AF=3(AC+-CF)=3AC+9銃=3AC+9CB+9笳

=3就+9（前一就）+27說

=一6AC-18AB+27AO,

所以AC=AAC+4/4良

1DI，

3.窗的運用是中式園林設(shè)計的重要組成部分，常常運用象征、隱喻、

借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境.從

窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等.如圖，在

平面直角坐標(biāo)系X。），中，0為正八邊形PiP2…尸8的中心，PiA_Lx軸，

現(xiàn)用如下方法等可能地確定點M：點M滿足2就+萬江+同=0（其中iWi,尺8且i,j

GN0,i關(guān)/）,則點M（異于點O）落在坐標(biāo)軸上的概率為（）

C.]2

D.

O7

解析：選D由題意可知。公+。?所有可能結(jié)果有：

就+就，OPi+OPifoFJ+oK,oH+oK,祐+就，成+旗，南+就,

OPi+OP3fOP2+OP4,曲+誠旗+旗,OPi+OP^t市+砒就+晚，~OPi

+旗,o^+oK,存+成,證+福,市+旗,南+礫,就+話,話+祐,

旗+不￡,5K+成，不及+南，礫+正，礫+礫,南+濟，共有28種.

點M（異于點O）落在坐標(biāo)軸上的結(jié)果有:蘇；+蘇;，蘇;+就，吊+礫,成+旗，

萬芯+砒，涼;+旗，萬貫+蘇，砒+蘇，共有8種，

82

所以點M（異于點0）落在坐標(biāo)軸上的概率為尸===7?故選D?

I課時跟蹤檢測I

一、基礎(chǔ)練一練手感熟練度

L（多選）設(shè)a,b是非零向量,記a與b所成的角為&下列四個條件中，使合=1成

立的充要條件是（）

A.a/7bB.夕=0

C.a=2bD.0=n

解析：選BC合=1等價于非零向量a與b同向共線，即。=0,故B正確.對于選

項C,a=2b,則a與b同向共線，故C正確.

2.設(shè)0,E,尸分別為△A〃C的三邊BC,CAtA〃的中點，則無為+京=（）

A.ADB.

1—?

C.^BCD.~BC

解析：選A由題意得四+京=去南+王萬)+*大+/)=｝焉+就尸防.

3.設(shè)a是非零向量，2是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()

A.a與檢的方向相反B.a與#a的方向相司

C.|-xa|^|a|D.|-2a|^|；.|-a

解析：選B對于A,當(dāng)久＞0時，a與2a的方向相同，當(dāng)2Vo時，a與2a的方向相反;

B正確；對于C,|一冽=|一川⑶，由于|一刁的大小不確定，故|一然|與⑶的大小關(guān)系不確定;

對于D,M|a是向量，而|一命|表示長度，兩者不能比較大小.

4.如圖，在正六邊形ABCDE尸中，~BA+~CD+~EF=()

A.0B.BE

C.~ADD.~CF

解析：選D由題圖知/+司+/=畝+方+7方=7范+不咨=K.

5.在4A5c中，。為4A5c的重心，若50=248+〃AC,則幺-2"=()

-1

A.B.

D.

44

C--

3-3

解析：選D如圖，延長BO交AC于點M,,??點。為〃。的重心,

???M是AC的中點，

???同=海=翡前+握)

1---->1---->1---->1---->---->

=§B4+qBC=—+§(AC—AB)

=—^AB4-|AC,

—>—>—>21

又30=746+〃AC,//=r,

4

.*.x-2//=—故選D.

二、綜合練一練思維敏銳度

1.己知兩個非零向量a,b互相垂直，若向量m=4a+5b與n=2a+2b共線，則實數(shù)

X的值為（）

A.5B.3

八5

C，2D.2

解析：選C???a,b是非零句量，且互相垂直,

??.4a+5bW0,mWO.

Vm,n共線，，n=〃m,即2a+2b=〃(4a+5b),

2=M,解得）.=*

'=5〃.

2.設(shè)平面向量a,b不共線，若焉=a+5b,就=-2a+8b,9=3（a-b）,貝ij（）

A.AfB,。三點共線B.A,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線D.A,C,。三點共線

解析：選A*："AB=a+5b,~BC=-2a+8b,~CD=3(a-b),/.AD=~XSVBC4-CD

=(a+5b)+(-2a+8b)+3(a-b)=2(a+5b)=2A3,，A。與43共線，即A,B,。三點

共線.

3.已知點O,A,〃不在同一條直線上，點尸為該平面上一點，且2萬7=2蒼T+京,

則（）

A.點尸在線段上

B.點尸在線段Ab的反向延長線上

C.點尸在線段的延長線上

D.點尸不在直線上

解析：選B因為2涼=2京+石彳，所以2方=京，所以點尸在線段A〃的反向

延長線上.

4.（多選）在△A3C中，點E,尸分別是邊8c和AC的中點，。是AE與5尸的交點，

則有（）

A.AE=|AB+|ACB.~AB=2EF

，a1—?11>—>2>2—

C.CP=QCA+WCBD.CP=\CA+^CB

解析：選AC如圖，根據(jù)三角形中線性質(zhì)和平行四邊形法則知，泉

~AE=~AB+BE=~AB4-j-fiC=~AB+|（AC-AB）=1（AC+

AB

~AB)tA是正確的；因為E戶是中位線，所以焉=2下聲，B是錯誤的；設(shè)的中點為G,

則根據(jù)三角形重心性質(zhì)知，(7尸=2?6,所以|(7^4-TB)=3

(CA4-CB\所以C是正確的，D錯誤.

5.設(shè)向量a,b不共線，7X=2a+pb,^BC=a+b,^D=a—2b,若4,B,。三點

共線，則實數(shù)p的值為()

A.-2B.—1

C.1D.2

解析：選B因為就=a+b,CD=a-2b,所以說=就+7^=22—〉又因為4,

Bt0三點共線，所以說共線.設(shè)笈=幺詬，所以2a+pb="2a-b),所以2=2A,

P=-A.,即2=1,p=-1.

6.(多選)已知向量萬才=(1,-3),而=(一2,1),0C=(/+3,r-8),若點A,B,C

能構(gòu)成三角形，則實數(shù)，可以為()

A.—2B.1

C.1D.-1

解析：選ABD若點4,B,。能構(gòu)成三角形，則A,B,C三點不共線，故向量其，

就不共線..由于向量萬1=(1,-3),員=(-2,1),OC=U4-3,Z-8),故苗=前一百

=(-3,4),左=衣一前=(什5"-9),若A,8,C三點不共線，則一3(￡—9)-4(f+5)W0,

?【HL

7.已知點O為△A5C的外接圓的圓心，且萬：+下不+/=0,貝必為。。的內(nèi)角A

等于()

A.30°B.45。

C.60°D.90°

解析：選A由京+加+而=0,得萬^+而=/，由。是△ABC外接圓的圓

心，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形0AC3為菱形，且NC4O=60。，故NCAb=30。，

選A.

8.已知向量a,b不共線，且c=2a+b,d=a+(22-l)b,若c與d共線反向，則實

數(shù)幺的值為(

C.1或gD.-1或g

解析：選B由于c與d共線反向，則存在實數(shù)/HiLc=Ad(AvO),于是2a+b=A[a+

俗-1)6],

整理得2a+b=Aa+(2M—A)b.

2=A,

由于a,b不共線，所以有1

2xA—A=l,

整理得如一2一1=0,解得)=1或幺=一;.

又因為AvO,所以7v0,故2=一：.

9.在△ABC中'&為叱所在平面內(nèi)一點'且9=透+菱AC,則就=()

B.§

D.1

解析：選B如圖，由已知得，點。在△4BC中與A3平行的中位

線上，且在靠近5C邊的三等分點處，從而有S^BD=y^ABCfSAACI)=

/△ABC,SgCD=11_“SABCD1

1t-2―所以

10.如圖，點。是正六邊形A3CDE尸的中心，在分別以正六邊形的頂點

和中心為始點或終點的向量中，與向量畝相等的向量有個.

解析：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義，易知與向量市相等的

向量有言，~DOt~EFt共3個.

答案：3

11.如圖，在△A8C中，點。，E是線段6c上兩個動點，KAD4-AE=

XAB+JAC,貝的最小值為________.

Ry

解析：易知1,y均為正數(shù),

設(shè)防=/￡S^+/i/，3=2京+〃就，

?:R,C,O共線，???利+〃=1,同理，Ji+〃=1.

VAD+7E=X^4B+J7?=(/W+2)成+(〃+")就，

???x+y=〃2+〃+2+〃=2.

注+4KM)a+>)=l(5+"學(xué)學(xué)牛+2夠f)K，當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)友時等號成

立，則十1+?4的最小值為9宗

xy，

fg9

答案：2

12.在△4BC中，P為BC的中點,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c就十

aPA+b~PB=(h則△ABC的形狀為.

解析：二?在曲叱中，產(chǎn)為5c的中點，：J~PA=-\{AB+AC),

又,.,c*+a五彳前=0,"PB=^CB=|(7B-7c),

:.cAC-|a(AB4-AC)+%面-AC)=0,

(a+C—?a—b—?

..tc-----2~JAC—^~AB=0,

即=^-^AB,

'a-b

_>_>_2_=0?

又下方，AC不共緩，.,?<,解得。=》=c,

1c-a亍-rb=0,

???△4BC為等邊三角形.

答案：等邊三角形

13.在直角梯形A3C&中，ZA=90°,N3=30。，AB=2y[3tBC=2,點E在線段CD

上，若右=茄+〃/方，則〃的取值范圍是.

解析：由題意可求得AO=1,CD=V3,：.~AB=2DC.

V點E在線段C。上，

：.~DE=ADC(0WK1).

VAE=AD4-D￡,

又AE=AO+〃AB=AD+2〃DC=AD+-fDE，

AL乙

答案:[o,I]

14.如圖，O,At8三點不共線，7)C=2OAf~OD=3OBf

設(shè)了X=a,=b.

(1)試用a,b表示向量OE；

(2)設(shè)線段A3,OEfCD的中點分別為L,M,N,試證明：L,W,N三點共線.

解：(l)???b,EtC三點共線，

：JOE=x7)C+(1-x)OB=2.ra+(l-x)b,①

同理，VA,E,。三點共線，可得萬百=ya+3(l-y)b,②

2x=yf24

由①②，得'解得X=g,y=M，

1一工=3。一力,

_—?a-\rb—?1—?4。+3力

(2)證明：VOL=—,OM=^OE=10,

—?1—>.—>2。+3b

ON=T(OC-^-OD)=-—,

—>—?—?6Q+12^—>—>—>Q+2b

：.MN=ON-OM=-—,ML=OL~

：.~MN=6MLt

又丁就與南有公共點M,:,L,MtN三點共線.

15.已知a,b不共線，O4=a,OB=b,OC=c,OD=d,~OE=ef設(shè)f￡R,如

果3a=c,2b=d,e=/(a+b),是否存在實數(shù)，使C,D,E三點在一釜直線上？若存在，求

出實數(shù)，的值；若不存在，請說明理由.

解：由題設(shè)知，CD=d-c=2b-3a,~CE=e-c=(r-3)a+/b,C,D,E三點在一條

直線上的充要條件是存在實數(shù)A,使得益方，即3)a+/b=-3Aa+2Ab,

整理得(，-3+3A)a=(2A-f)b.

f-3+3A=0,￡

因為a,b不共線，所以有，解得『與

［L2A=0,5

故存在實數(shù)，=/使C,D,E三點在一條直線上.

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向

1.與向量線性運算相結(jié)合，考查平面向量基本定理及其應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

2.與向量的坐標(biāo)表示相結(jié)合，考查向量的線性運算，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

3.與向量的坐標(biāo)表示相結(jié)合，考查向量共線，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

基礎(chǔ)-在微點清障中全面落實

［理清主干知識］

1.平面向■基本定理

如果6,e?是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,2

且只有一對實數(shù)的,右，使a=2向+右62.

其中，不共線的向量a,金叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一蛆基彘

2.平面向量的坐標(biāo)運算

(1)向■加法、減法、數(shù)乘及向■的模

設(shè)a=(x”yi),b=(x2,刃)，則

a+b=(xi+x2,yi+)‘2)，a-b=(xi-xz*yi~V2)*

2a=(Ari,刖i),\a\=yjxx+yi

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(X1,J1),3(X2,J2),則工^=(工2—X1,力一力),\AB|=yl(X2—xi)2+(y2—yi)2.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=Cn,ji),b=(x2，yi)f則a〃bOxiy2-x2yi=0.

［澄清盲點誤點］

一、關(guān)鍵點練明

1.(基底的判斷)下列各組向量中，可以作為基底的是()

A.ei=(0,0),A=(L—2)

B.6i=(-1,2)?e2=(5,7)

C.61=(3,5),e>=(6,10)

D.61=(2,—3),e2=(j，一：)

答案：B

2.(數(shù)乘運算)已知向量a=(T,3),b=(2,D，則3a—2b=()

A.(-7,7)B.(-3,-2)

C.(6,2)D.(4,-3)

答案：A

3.(向量共線的應(yīng)用)已知向量a=(叫4),b=(3,-2),且2〃也則血=.

答案：一6

二、易錯點練清

L(混淆基底的選擇)如圖，在正方形A5CD中，E為。C的中點，若笈D\—//C

=；.AB4-//AC,則7+〃的值為()\//

11----------

A.zB.—z

C.1D.-1

解析：選A因為E為OC的中點，所以就=前+詬=打了+V區(qū)+防=打9

1>>1>，>'>[A>]|

,即所以;一彳，所以；〃=子

+DE+AD=T/AB4-AEAE=-3/88+AC,1=///=1,1+/

2.(混淆單位向量的方向)已知A(-5,8),5(7,3),則與向量7G反向的單位向量為

解析：由已知得了密=(12,-5),所以|融|=13,因此與防反向的單位向量為一■^適

■1J

=(-13>S.

答案:(T，S

3.(忽視基向量不共線)給出下列三個向量：a