2023年高考各地試卷甲卷理數(shù)-解析

PAGE1PAGE22023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題一、單選題1．設(shè)全集,集合，?U(M∪N)=（A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出．【詳解】因為整數(shù)集，，所以，?U故選：A．2．設(shè)，則（

）A．-1 B．0

· C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等即可解出．【詳解】因為，所以，解得：．故選：C.3．執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的（

）

A．21 B．34 C．55 D．89【答案】B【分析】根據(jù)程序框圖模擬運(yùn)行，即可解出．【詳解】當(dāng)時，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，，，；當(dāng)時，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，，，；當(dāng)時，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，，，；當(dāng)時，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出．故選：B.4．已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因為,所以a+b即,即1+1+2a?b=2如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.5．設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.6．某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【答案】A【分析】先算出同時愛好兩項的概率,利用條件概率的知識求解.【詳解】同時愛好兩項的概率為，記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛好滑冰”為事件，則，所以.故選:.7．設(shè)甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.【詳解】當(dāng)時，例如但，即推不出；當(dāng)時，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B8．已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D9．現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.【詳解】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有種.故選：B.10．函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.【詳解】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點(diǎn)，作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；所以由圖可知，與的交點(diǎn)個數(shù)為.故選：C.11．已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】法一：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因為底面為正方形，，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因為底面為正方形，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因為，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.12．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．二、填空題13．若為偶函數(shù)，則________．【答案】2【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗即可得解.【詳解】因為為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.故答案為：2.14．若x，y滿足約束條件，設(shè)的最大值為____________．【答案】15【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可.【詳解】作出可行域，如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時，有最大值，由可得，即,所以.故答案為：1515．在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有____________個公共點(diǎn)．【答案】12【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2，中點(diǎn)為，取，中點(diǎn)，側(cè)面的中心為，連接，如圖，由題意可知，為球心，在正方體中，，即，則球心到的距離為，所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點(diǎn)，同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點(diǎn)，所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.故答案為：1216．在中，，的角平分線交BC于D，則_________．【答案】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因為，所以，，又，所以，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．三、解答題17．設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，所以，化簡得：，當(dāng)時，，即，當(dāng)時都滿足上式，所以．（2）因為，所以，，兩式相減得，，即，．18．如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面，再由勾股定理求出為中點(diǎn)，即可得證；（2）利用直角三角形求出的長及點(diǎn)到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.【詳解】（1）如圖，底面，面，，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面，過作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距離為1，，在中，，設(shè)，則，為直角三角形，且，，，，，解得，，（2），，過B作，交于D，則為中點(diǎn)，由直線與距離為2，所以，，，在，，延長，使，連接，由知四邊形為平行四邊形，，平面，又平面，則在中，，，在中，，，,又到平面距離也為1，所以與平面所成角的正弦值為.19．一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng).實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對照組實驗組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能【分析】（1）利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨(dú)立性檢驗的卡方計算進(jìn)行檢驗，即可得解.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.20．已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出；（2）設(shè)直線：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．【詳解】（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因為，解得：．（2）因為，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因為，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時，的面積．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.21．已知函數(shù)(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點(diǎn),再對討論即可.【詳解】（1）令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對應(yīng)當(dāng).22．已知點(diǎn)，直線（t為參數(shù)），為的傾斜角，l與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求l的極坐標(biāo)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的幾何意義即可解出；（2）求出直線的普通方程，