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文檔簡介
河南省周口市扶溝高級中學2025屆高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有的點()A.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標不變B.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變C.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變D.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變2.已知橢圓,直線與直線相交于點,且點在橢圓內恒成立,則橢圓的離心率取值范圍為()A. B. C. D.3.已知類產品共兩件,類產品共三件,混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分開來,每次隨機檢測一件產品,檢測后不放回,直到檢測出2件類產品或者檢測出3件類產品時,檢測結束,則第一次檢測出類產品,第二次檢測出類產品的概率為()A. B. C. D.4.如圖,雙曲線的左,右焦點分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點.若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.5.已知函數(shù)若關于的方程有六個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.向量,,且,則()A. B. C. D.7.根據(jù)黨中央關于“精準”脫貧的要求,我市某農業(yè)經濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調研,每個縣區(qū)至少派一位專家,則甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為()A. B. C. D.8.若變量,滿足,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.109.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點最多,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知拋物線,F(xiàn)為拋物線的焦點且MN為過焦點的弦,若,,則的面積為()A. B. C. D.11.在中,角,,的對邊分別為,,,若,,,則()A. B.3 C. D.412.已知焦點為的拋物線的準線與軸交于點,點在拋物線上,則當取得最大值時,直線的方程為()A.或 B.或 C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,復數(shù)且(為虛數(shù)單位),則__________,_________.14.已知是定義在上的偶函數(shù),其導函數(shù)為.若時,,則不等式的解集是___________.15.若函數(shù)為偶函數(shù),則.16.已知集合,.若,則實數(shù)a的值是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線l與曲線C分別交于M,N兩點.(1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程;(2)若點P的極坐標為,,求的值.18.(12分)已知函數(shù),.(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù);(2)記函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值點分別為、,求證:.19.(12分)已知橢圓的左右焦點分別是,點在橢圓上,滿足(1)求橢圓的標準方程;(2)直線過點,且與橢圓只有一個公共點,直線與的傾斜角互補,且與橢圓交于異于點的兩點,與直線交于點(介于兩點之間),是否存在直線,使得直線,,的斜率按某種排序能構成等比數(shù)列?若能,求出的方程,若不能,請說理由.20.(12分)已知數(shù)列的前項和和通項滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的前項和.21.(12分)已知函數(shù),,若存在實數(shù)使成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產品所用時間,對每個工人組裝一個該產品的用時作了記錄,得到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù).從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取了個數(shù)據(jù)作為樣本,得到如圖所示的莖葉圖(單位:分鐘).若用時不超過(分鐘),則稱這個工人為優(yōu)秀員工.(1)求這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù);(2)以這個樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率,任意調查名工人,求被調查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
由函數(shù)的最大值求出,根據(jù)周期求出,由五點畫法中的點坐標求出,進而求出的解析式,與對比結合坐標變換關系,即可求出結論.【詳解】由圖可知,,又,,又,,,為了得到這個函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有向左平移個長度單位,得到的圖象,再將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變)即可.故選:A【點睛】本題考查函數(shù)的圖象求解析式,考查函數(shù)圖象間的變換關系,屬于中檔題.2、A【解析】
先求得橢圓焦點坐標,判斷出直線過橢圓的焦點.然后判斷出,判斷出點的軌跡方程,根據(jù)恒在橢圓內列不等式,化簡后求得離心率的取值范圍.【詳解】設是橢圓的焦點,所以.直線過點,直線過點,由于,所以,所以點的軌跡是以為直徑的圓.由于點在橢圓內恒成立,所以橢圓的短軸大于,即,所以,所以雙曲線的離心率,所以.故選:A【點睛】本小題主要考查直線與直線的位置關系,考查動點軌跡的判斷,考查橢圓離心率的取值范圍的求法,屬于中檔題.3、D【解析】
根據(jù)分步計數(shù)原理,由古典概型概率公式可得第一次檢測出類產品的概率,不放回情況下第二次檢測出類產品的概率,即可得解.【詳解】類產品共兩件,類產品共三件,則第一次檢測出類產品的概率為;不放回情況下,剩余4件產品,則第二次檢測出類產品的概率為;故第一次檢測出類產品,第二次檢測出類產品的概率為;故選:D.【點睛】本題考查了分步乘法計數(shù)原理的應用,古典概型概率計算公式的應用,屬于基礎題.4、A【解析】
易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時,最關鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.5、B【解析】
令,則,由圖象分析可知在上有兩個不同的根,再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令,則,如圖與頂多只有3個不同交點,要使關于的方程有六個不相等的實數(shù)根,則有兩個不同的根,設由根的分布可知,,解得.故選:B.【點睛】本題考查復合方程根的個數(shù)問題,涉及到一元二次方程根的分布,考查學生轉化與化歸和數(shù)形結合的思想,是一道中檔題.6、D【解析】
根據(jù)向量平行的坐標運算以及誘導公式,即可得出答案.【詳解】故選:D【點睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導公式的應用,屬于中檔題.7、A【解析】
每個縣區(qū)至少派一位專家,基本事件總數(shù),甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù),由此能求出甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區(qū)進行調研,每個縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為:本題正確選項:【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.8、D【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】解:畫出滿足條件的平面區(qū)域,如圖示:如圖點坐標分別為,目標函數(shù)的幾何意義為,可行域內點與坐標原點的距離的平方,由圖可知到原點的距離最大,故.故選:D【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結合思想,屬于中檔題.9、D【解析】
將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉化為函數(shù)與直線的交點的個數(shù)問題,畫出函數(shù)的圖象,易知直線過定點,故與在時的圖象必有兩個交點,故只需與在時的圖象有兩個交點,再與切線問題相結合,即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點即可,即,當設切點,則,.故選:D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)的問題,曲線的切線問題,注意運用轉化思想和數(shù)形結合思想,屬于較難的壓軸題.10、A【解析】
根據(jù)可知,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知拋物線方程為,設點點,則由拋物線定義知,,則.由得,則.又MN為過焦點的弦,所以,則,所以.故選:A【點睛】本題考查拋物線的方程應用,同時也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.11、B【解析】由正弦定理及條件可得,即.,∴,由余弦定理得?!?選B。12、A【解析】
過作與準線垂直,垂足為,利用拋物線的定義可得,要使最大,則應最大,此時與拋物線相切,再用判別式或導數(shù)計算即可.【詳解】過作與準線垂直,垂足為,,則當取得最大值時,最大,此時與拋物線相切,易知此時直線的斜率存在,設切線方程為,則.則,則直線的方程為.故選:A.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系,涉及到拋物線的定義,考查學生轉化與化歸的思想,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】∵復數(shù)且∴∴∴∴,故答案為,14、【解析】
構造,先利用定義判斷的奇偶性,再利用導數(shù)判斷其單調性,轉化為,結合奇偶性,單調性求解不等式即可.【詳解】令,則是上的偶函數(shù),,則在上遞減,于是在上遞增.由得,即,于是,則,解得.故答案為:【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調性解不等式,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.15、1【解析】試題分析:由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù),.考點:函數(shù)的奇偶性.【方法點晴】本題考查導函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結合思想與轉化思想,具有一定的綜合性和靈活性,屬于較難題型.首先利用轉化思想,將函數(shù)為偶函數(shù)轉化為函數(shù)為奇函數(shù),然后再利用特殊與一般思想,?。?6、9【解析】
根據(jù)集合交集的定義即得.【詳解】集合,,,,則a的值是9.故答案為:9【點睛】本題考查集合的交集,是基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)2.【解析】
(1)由得,求出曲線的直角坐標方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù),即求直線的普通方程;(2)將直線的參數(shù)方程化為標準式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標方程,韋達定理得,點在直線上,則,即可求出的值.【詳解】(1)由可得,即,即,曲線的直角坐標方程為,由直線的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去得,即直線的普通方程為.(Ⅱ)點的直角坐標為,則點在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標準式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標方程,整理得,直線與曲線交于兩點,,即.設點所對應的參數(shù)分別為,由韋達定理可得,.點在直線上,,.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程和普通方程的互化及應用,屬于中檔題.18、(1);(2)見解析.【解析】
(1)利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性與極值,結合零點存在定理可得出結論;(2)設函數(shù)的極大值點和極小值點分別為、,由(1)知,,且滿足,,于是得出,由得,利用正切函數(shù)的單調性推導出,再利用正弦函數(shù)的單調性可得出結論.【詳解】(1),,,當時,,,,則函數(shù)在上單調遞增;當時,,,,則函數(shù)在上單調遞減;當時,,,,則函數(shù)在上單調遞增.,,,,.所以,函數(shù)在與不存在零點,在區(qū)間和上各存在一個零點.綜上所述,函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)為;(2),.由(1)得,在區(qū)間與上存在零點,所以,函數(shù)在區(qū)間與上各存在一個極值點、,且,,且滿足即,,,又,即,,,,,由在上單調遞增,得,再由在上單調遞減,得,即.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題,同時也考查了利用導數(shù)證明不等式,考查分析問題和解決問題的能力,屬于難題.19、(1);(2)不能,理由見解析【解析】
(1)設,則,由此即可求出橢圓方程;(2)設直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得,則直線斜率為,設其方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,結合韋達定理可得關于對稱,可求得,假設存在直線滿足題意,設,可得,由此可得答案.【詳解】解:(1)設,則,,所以橢圓方程為;(2)設直線的方程為,與聯(lián)立得,∴,因為兩直線的傾斜角互補,所以直線斜率為,設直線的方程為,聯(lián)立整理得,,所以關于對稱,由正弦定理得,因為,所以,由上得,假設存在直線滿足題意,設,按某種排列成等比數(shù)列,設公比為,則,所以,則此時直線與平行或重合,與題意不符,所以不存在滿足題意的直線.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關系,考查計算能力與推理能力,屬于難題.20、(1);(2)【解析】
(1)當時,利用可得,故可利用等比數(shù)列的通項公式求出
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