江西省2024屆高三上學期一輪總復習驗收考試數(shù)學試題（解析版）

24屆高三一輪總復習驗收考試數(shù)學試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，請將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解出集合，利用交集計算即可.【詳解】由可知：，即，故，所以.故選：D.2.已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)的除法運算化簡，找到共軛復數(shù)即可.【詳解】結合題意：，所以.故選：B.3.已知向量，，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】由求出，從而可求解.【詳解】由，，所以，因為，所以，得，所以，故A正確.故選：A.4.曲線在點處的切線與直線平行，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】確定曲線在點處的切線的斜率，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】因為曲線在點處的切線與直線平行，故曲線在點處的切線的斜率為2，因為，所以，所以，故選：C.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】確定函數(shù)的奇偶性排除D選項，再由函數(shù)值的取值范圍排除A、B選項后可得正確結論．【詳解】由已知，為偶函數(shù)，排除D；當時，，，令，，時，，當時，，當時，，所以，當時，，即，所以，當時，，即，可排除A、B.故選:C.6.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】合理換元，求出關鍵數(shù)值，結合誘導公式處理即可.【詳解】令，，得，則，即，整理得，且，那么，則.故選：C.7.《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數(shù)之源，其中河圖排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白點為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，已知3個數(shù)中至多有1個陰數(shù)，則取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出10個數(shù)中任取3個數(shù)，至多有1個陰數(shù)的總基本事件個數(shù)，再列舉出取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的基本事件，利用古典概型概率公式即可求解.【詳解】如圖，白點為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，陽數(shù)為，陰數(shù)為若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)且3個數(shù)中至多有1個陰數(shù)，基本事件總數(shù)為，取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)，基本事件包括，共有12個，取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是.故選：A.8.已知圓柱的底面半徑為1，高為2，，分別為上、下底面圓的直徑，四面體的體積為，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標系，假定的坐標，結合已知解出的坐標，利用線線角的向量求法求解即可.【詳解】如圖，找底面圓心，作與底面垂直，//，，故以為原點，建立空間直角坐標系，規(guī)定，，設，，易知底面圓方程為，則，，故，，故，設到面的距離為，設面的法向量，故有，，解得，，，故，由點到平面的距離公式得，已知四面體的體積為，故得，解得(負根舍去)，易得，故，，，，設直線與所成角，故有.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】對A：由不等式性質(zhì)計算即可得；對B：結合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得；對C、D：舉出反例即可得.【詳解】對A：由，故，則，即，故A正確；對B：由，且為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，故，故B正確；對C：當，時，有，，此時，故C錯誤；對D：當，時，有，，此時，故D錯誤.故選：AB.10.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則A.的圖象關于中心對稱 B.是周期函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.【答案】BC【解析】【分析】對A：由可得的圖象關于直線對稱；對B：結合為奇函數(shù)與即可得周期性；對C：結合對稱性與在上單調(diào)遞增即可得；對D：結合周期性與奇函數(shù)的性質(zhì)計算即可得.【詳解】對A：由，故圖象關于直線對稱，故A錯誤；對B：由為奇函數(shù)，故，又，故，即有，則，即，故是周期函數(shù)且周期為，故B正確；對C：由在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，又的圖象關于直線對稱，故在上單調(diào)遞減，故C正確；對D：由為定義在上的奇函數(shù)，故，有，由的圖象關于直線對稱，故的圖象關于中心對稱，故，由，故，即有，，故，，故D錯誤.故選：BC.11.已知正項數(shù)列滿足，，其中，則（）A.為單調(diào)遞減數(shù)列 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用導數(shù)判斷單調(diào)性，放縮法證明不等式逐個選項分析即可.【詳解】對于AB，由已知得，令，定義域為，，令，，當時，此時恒成立，故在上單調(diào)遞減，，也可得，即，故在上單調(diào)遞減，，當時，，則，故，則，即，故為單調(diào)遞減數(shù)列，故A正確，顯然，故B錯誤，對于C，欲證，且由題意得，即證，即證，取指數(shù)得，又易知，化簡得，故證明恒成立即可，令，，而，故在上單調(diào)遞增，且，故，即恒成立，故得證，故C正確，對于D，由C可知，，，，，，上式相加，得，故得證，故D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是利用導數(shù)證明數(shù)列的單調(diào)性，再構造函數(shù)結合放縮法證明不等式即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.請寫出一個焦點在軸上，焦距為4的橢圓的標準方程______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結合橢圓的標準方程寫出得解.【詳解】依題意，設橢圓方程為，其半焦距，顯然，令，得，所以橢圓的標準方程為.故答案為：（答案不唯一）.13.動點與兩個定點，滿足，則點到直線：的距離的最大值為______.【答案】【解析】【分析】利用兩點距離公式及已知求得的軌跡是圓心為，半徑為2的圓上，再確定直線所過的定點并判斷其與圓的位置關系，要使圓上點到直線距離最大，有圓心與定點所在直線與直線垂直，進而求最大值.【詳解】令，則，整理得，所以的軌跡是圓心為，半徑為2的圓上，又直線：可化為，易知過定點，由，故點在圓外，則圓心與定點所在直線與直線垂直，圓心與直線距離最大，所以點到直線距離的最大值為.故答案為：14.函數(shù)（）在區(qū)間上有且只有兩個零點，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【詳解】利用三角函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可.由于區(qū)間上有且只有兩個零點，所以，即，由得，，，∵，∴，∴或，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用整體法得到，再根據(jù)零點個數(shù)得到不等式組，解出即可.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知某種業(yè)公司培育了新品種的軟籽石榴，從收獲的果實中隨機抽取了50個軟籽石榴，按質(zhì)量（單位：g）將它們分成5組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖.（1）用樣本估計總體，求該品種石榴的平均質(zhì)量；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（2）按分層隨機抽樣，在樣本中，從質(zhì)量在區(qū)間，，內(nèi)的石榴中抽取7個石榴進行檢測，再從中抽取3個石榴作進一步檢測.記這3個石榴中質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.【答案】（1）416g（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)的計算公式求解；（2）由分層抽樣，計算這三個組中抽取的個數(shù)，根據(jù)可能的取值，計算對應的概率，列出分布列，由公式求數(shù)學期望.【小問1詳解】該品種石榴的平均質(zhì)量為，所以該品種石榴的平均質(zhì)量為416g.【小問2詳解】質(zhì)量在區(qū)間，，內(nèi)的頻率比為，所以分層抽樣抽取時，質(zhì)量在區(qū)間，，內(nèi)的石榴個數(shù)分別為2，2，3.由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P.16.設為數(shù)列的前項和，已知是首項為、公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）令，為數(shù)列的前項積，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列定義可得，由與的關系即可得；（2）由與可得，即可得，由，可得，借助等比數(shù)列求和公式計算即可得證.【小問1詳解】由是首項為、公差為的等差數(shù)列，故，即，當時，，故，當時，，符合上式，故；【小問2詳解】由，，故，則，由，故，則.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.（1）證明：；（2）點在線段上，當直線與平面所成角的正弦值為時，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）要證，需要證過的平面與垂直即可，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理結合條件即得；（2）建立空間直角坐標系，先根據(jù)條件確定點的坐標，再求二面角.【小問1詳解】如圖：由于平面平面，平面平面，過點作的垂線交的延長線于點，則平面.連接交于，連接，∵，，∴，∴，又，，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，即，又平面，平面，∴，又平面，∴平面，又∵平面，∴.【小問2詳解】以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，由于在上，設，則，∴，又平面的法向量，設直線與平面所成角為，∴，解得或（舍去），∴，∴，，，設平面的法向共，平而的法向共，則即，取，得，，∴，故平面與平面夾角的余弦值為.18.已知雙曲線：（，）的左焦點到其漸近線的距離為，點在上.（1）求的標準方程；（2）若直線與交于，（不與點重合）兩點，記直線，，的斜率分別為，，，且，是否存在值，使得.若存在，求出的值和直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）；直線為【解析】【分析】（1）借助漸近線公式及點到直線的距離公式，并代入點計算即可得；（2）借助韋達定理結合從而得到直線中所設參數(shù)的關系，取線段中點，由可得，即可得的值和直線的方程.【小問1詳解】由雙曲線：可得，漸近線方程為：，則有，化簡得，又上，即，即，故：；【小問2詳解】由題意可知直線的斜率存在且斜率為，設直線為，、，聯(lián)立直線與雙曲線，消去可得，則有且，即且，有，，由，故、，則，即有，即，故或，當時，直線為，過點，故舍去，當時，直線為，由、，則線段中點為，，，即，由，，，故有，即，解得，故，則直線為，即存在，使得，此時直線的方程為..【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于借助韋達定理結合題目所給，計算出直線中參數(shù)得關系.19.若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.（1）若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；（2）若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.【答案】（1）是上的“3類函數(shù)”，理由見詳解.（2）（3）證明過程見詳解.【解析】【分析】（1）由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明即可；（2）由已知條件轉化為對于任意，都有，，只需且，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可.（3）分和兩種情況進行證明，，用放縮法進行證明即可.【小問1詳解】對于任意不同的，有，，所以，，所以是上的“3類函數(shù)”.【小問2詳解