江蘇省淮安市高中校協作體高二上學期期中聯考數學試卷（含答案解析）

淮安市高中校協作體2024-2025學年度第一學期高二年級期中聯考數學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，計40分.1.經過兩點的直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應用兩點式求直線斜率.【詳解】由題設，兩點所成直線的斜率.故選：C2.圓的圓心坐標為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將圓的一般方程轉化為標準方程，從而求得圓心坐標.【詳解】圓可化為，所以圓心坐標為.故選：A.3.實軸長為6，虛軸長為8，焦點在x軸上的雙曲線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據雙曲線的實軸長、虛軸長及焦點位置直接寫出雙曲線方程即可.【詳解】由題設，雙曲線方程可設，且，即，所以雙曲線方程為.故選：A4.下列哪條直線與直線垂直（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得出直線的斜率，利用兩直線垂直的斜率公式對各個選項進行驗證即可求解.【詳解】直線斜率為2,若直線m與直線垂直，則，，對于A,的斜率為2,不與直線垂直;對于B,的斜率為2,不與直線垂直;對于C,斜率為-1，不與直線垂直；對于D,的斜率為,與直線垂直.故選:D.5.橢圓的右焦點坐標為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】寫出橢圓標準方程，根據參數關系求得，即可寫出右焦點坐標.【詳解】由題設，橢圓標準方程為，故，所以右焦點為.故選：C6.過點且焦點在y軸上的拋物線方程為（）A.或 B.C.或 D.【答案】D【解析】【分析】根據拋物線焦點的位置設拋物線為，結合所過點求方程.【詳解】由題意，可設拋物線為，又點在拋物線上，所以，故所求拋物線為.故選：D7.直線被圓截得的弦長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，利用圓的弦長公式計算，即可求解.【詳解】由圓，則圓心為，半徑為，由圓心為到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長為.故選：B.8.已知拋物線的焦點到準線的距離為，過焦點且斜率為的直線與拋物線交于，兩點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】聯立直線與拋物線，結合韋達定理及拋物線焦半徑公式可得解.【詳解】由已知拋物線焦點到準線的距離為，即，則拋物線方程為，F1,0，所以直線方程為，即，設直線與拋物線交點Ax1,聯立直線與拋物線，得，則，，又由拋物線可知，，所以，故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.已知三點下列結論正確的是（）A.AB的距離為B.直線BC的一般式方程為C.以BC為直徑的圓方程為D.外接圓的方程為【答案】BCD【解析】【分析】根據兩點間的距離坐標公式以及直線方程、圓的標準方程、待定系數法求解圓的一般方程即可得出結論.【詳解】由題意知,AB的距離為，故A錯誤;直線BC的方程為,即，故B正確；以BC為直徑的圓，圓心為，半徑為,所以圓方程為,即,故C正確;設外接圓的方程為，代入三點坐標得，,解得,所以外接圓的方程為,故D正確.故選：BCD.10.設m為實數，已知方程，則下列結論正確的是（）A.此方程可以表示圓B.此方程可以表示橢圓C.若此方程表示雙曲線，則焦點一定在x軸上D.當時此方程不表示任何曲線【答案】BCD【解析】【分析】根據方程的結構特征逐項計算判斷即可.【詳解】方程可變形為，對于A，當時，方程無解，故此方程不可以表示圓，故A錯誤；對于B，由，即時，此方程的圖形是橢圓，故此方程可以表示橢圓，故B正確；對于C，由，解得，所以方程表示焦點在x軸上的雙曲線，故C正確；對于D，當時，，方程無解，故此方程不表示任何曲線，故D正確.故選：BCD.11.已知橢圓，直線圓下列結論正確的是（）A.橢圓的離心率為B.直線與圓相交C.圓與圓C外離D.橢圓上點到直線l的距離范圍為【答案】AD【解析】【分析】由題意易求離心率判斷A；求得圓心到直線的距離判斷B；求得兩圓的圓心距判斷C；利用平行直線系，聯立直線與橢圓方程，利用判別式可求解相切時的直線，即可根據平行線間距離公式求解判斷D.【詳解】由橢圓，可得，所以，所以橢圓的離心率為，故A正確；由圓，可得，所以圓心，半徑，由圓心到距離，所以直線與圓相離，故B錯誤；由，可得，所以心，半徑為，所以，圓與圓C外切，故C錯誤；設與直線，平行的直線為，聯立，整理得，因為與橢圓有公共點，所以，解得，又與的距離為，所以，所以橢圓上點到直線l的距離范圍為，故D正確.【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于求出與直線平行且與橢圓有公共點的直線方程，進而利用兩直線間的距離公式求解可得答案.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.準線為的拋物線的標準方程是_______________【答案】【解析】【分析】根據準線方程寫出拋物線方程即可.【詳解】由拋物線的準線為，故，則拋物線方程為.所以拋物線標準方程為.故答案為：13.在軸，軸上的截距分別為的直線方程為_____________（用一般式表示）【答案】【解析】【分析】直接由直線的截距式方程得答案.【詳解】∵直線在軸上的截距為2，在軸上截距為3，由直線方程的截距式得：，化為一般式：．故答案為：．14.過點作斜率為的直線與雙曲線相交于，若是線段的中點，則雙曲線的離心率為______【答案】##【解析】【分析】利用點差法，結合是線段的中點，直線的斜率為，即可求出雙曲線的離心率.【詳解】設,，則①,②,∵是線段的中點,∴故過點作斜率為的直線的方程是，∴①②兩式相減可得:∴.∴.∴∴∴故答案為:.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.分別寫出滿足下列條件的直線方程（用一般式表示）（1）經過點，且與直線垂直（2）經過兩直線與的交點，且與直線平行【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據直線垂直設所求直線，將點代入求參數，即得方程；（2）求直線交點，根據直線平行設所求直線，代入點求參數，即得方程.【小問1詳解】由題意，可設直線方程為，代入點，有，則，所求直線方程為；【小問2詳解】聯立，解得，設所求直線方程為，則，即，所求直線方程為.16.分別寫出滿足下列條件的圓的方程（用標準式表示）（1）圓心為且經過點（2）經過兩點且圓心在直線上（3）圓心在正半軸上，并且與直線都相切【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求得圓的半徑即可求得圓的標準方程；（2）求得的垂直平分線方程，聯立方程組可求得圓心坐標，進而求得圓的半徑即可；（3）設圓心為，根據題意可得，求解即可.【小問1詳解】因為，，所以圓的半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】因為，所以的中點為，，所以線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線的方程為，即，由，解得，所以圓心為半徑為，則圓的方程為；【小問3詳解】設圓心為，則，的，故圓方程為.17.分別寫出滿足下列要求的曲線方程（1）兩個焦點坐標分別為，且經過的橢圓方程（2）兩個焦點坐標分別為，漸近線方程為的雙曲線方程（3）對稱軸為軸，焦點到準線的距離為2的拋物線方程【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先根據橢圓定義得出結合焦點坐標即可求出橢圓方程；（2）根據漸近線方程及焦點坐標列方程組求出即可寫出雙曲線方程；（3）先設拋物線方程，由已知可知即可得出拋物線方程.【小問1詳解】設橢圓方程為，利用橢圓定義求出由求出,則橢圓方程為.【小問2詳解】設雙曲線方程為有又求出則雙曲線方程為【小問3詳解】設拋物線方程為,則焦點到準線的距離知拋物線方程為.18.已知一結論：若圓C的方程是，則經過圓C上一點的切線方程為.（1）由上面結論分別寫出下面兩個所求的切線方程（不需要解題過程）①經過雙曲線上一點的切線方程②經過拋物線上一點的切線方程（2）已知橢圓方程為，A為橢圓上頂點，P為橢圓的右頂點，求橢圓上點到直線AP距離的最大值并求出點M坐標（注：若需要橢圓上經過某點的切線方程可以直接寫）【答案】（1）①；②；（2）.【解析】【分析】（1）①②設切線方程，分別聯立雙曲線、拋物線，利用得到關于的方程，結合點在曲線上求，再代回到切線方程并整理即可得答案；（2）根據題設得到直線的方程為，由過橢圓上一點的切線與直線AP平行時，點到直線距離可取最大，進而求出切線與橢圓的切點坐標（離較遠的點），應用點線距離公式求答案.【小問1詳解】①令切線為，聯立，則，所以，且，由，所以，則，而，所以，則切線為，即，所以切線方程為；②令切線為，聯立，則，且，所以，而，則，所以，則，即，所以.【小問2詳解】由題知，當過橢圓上一點的切線與直線AP平行時，點到直線距離可取最大，由，則直線的方程為，由題設，類比可得過點M的切線方程為，得，代入橢圓方程，，則，故，所以或（離直線較近，舍去），所以M到直線距離最大值為.19.已知雙曲線與橢圓有相同焦點.（1）求值并求橢圓離心率的范圍.（2）若雙曲線的左頂點為拋物線的焦點，求拋物線的標準方程.（3）A為雙曲線C的右頂點，B在第一象限且為雙曲線C上的點，若B到x軸的距離為．若直線AB與圓相切，求雙曲線C的離心率.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據焦點相同求出，再由可得答案；（2）根據拋物線的焦點可得答案；（3）設直線AB與圓的切點為，B坐標為，代