2015-2024年十年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題20 數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合

2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題20數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和（10年5考）2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅰ卷、2021·全國新Ⅱ卷、2019·全國卷、2018·全國卷、2016·全國卷1.掌握數(shù)列的有關(guān)概念和表示方法，能利用與的關(guān)系以及遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調(diào)性解決簡(jiǎn)單的問題該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，?？疾槔门c關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)及通項(xiàng)公式構(gòu)造的相關(guān)應(yīng)用，需綜合復(fù)習(xí)2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題，熟練掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的性質(zhì)，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等差數(shù)列，或通過構(gòu)造為等差數(shù)列，求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，需綜合復(fù)習(xí)3.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題，熟練掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的性質(zhì)，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等比數(shù)列，或通過構(gòu)造為等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。需綜合復(fù)習(xí)4.熟練掌握裂項(xiàng)相消求和和、錯(cuò)位相減求和、分組及并項(xiàng)求和，該內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，常考結(jié)合不等式、最值及范圍考查，需重點(diǎn)綜合復(fù)習(xí)考點(diǎn)2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和（10年4考）2020·全國卷、2019·全國卷2018·全國卷、2017·全國卷考點(diǎn)3等差等比綜合（10年6考）2022·全國新Ⅱ卷、2020·全國卷、2019·北京卷2017·北京卷、2017·全國卷、2016·北京卷2015·天津卷考點(diǎn)4數(shù)列通項(xiàng)公式的構(gòu)造（10年9考）2024·全國甲卷、2024·全國甲卷、2023·全國甲卷2022·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·天津卷2021·浙江卷、2021·全國乙卷、2021·全國卷2020·全國卷、2019·全國卷、2018·全國卷2016·山東卷、2016·天津卷、2016·天津卷2016·全國卷、2016·全國卷、2016·全國卷2015·重慶卷、2015·全國卷考點(diǎn)5數(shù)列求和（10年10考）2024·天津卷、2024·全國甲卷、2024·全國甲卷2023·全國甲卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·天津卷2020·天津卷、2020·全國卷、2020·全國卷2019·天津卷、2019·天津卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·山東卷、2016·浙江卷2016·山東卷、2016·天津卷、2016·北京卷2015·浙江卷、2015·全國卷、2015·天津卷2015·天津卷、2015·山東卷、2015·山東卷2015·湖北卷、2015·安徽卷考點(diǎn)6數(shù)列中的不等式、最值及范圍問題（10年幾考）2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·浙江卷2021·全國乙卷、2020·浙江卷、2019·浙江卷2017·北京卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2015·重慶卷、2015·浙江卷、2015·四川卷2015·上海卷、2015·安徽卷考點(diǎn)7數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)問題（10年5考）2024·上海卷、2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2019·全國卷、2017·浙江卷、2015·陜西卷2015·湖南卷考點(diǎn)01等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和1．（2023·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．3．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．4．（2019·全國·高考真題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．5．（2018·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）求，并求的最小值．6．（2016·全國·高考真題）等差數(shù)列{}中，.（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[2.6]=2.考點(diǎn)02等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和1．（2020·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．2．（2019·全國·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2018·全國·高考真題）等比數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求．4．（2017·全國·高考真題）記Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知S2=2，S3=-6.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列．考點(diǎn)03等差等比綜合1．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．2．（2020·全國·高考真題）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2019·北京·高考真題）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值．4．（2017·北京·高考真題）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求和：．5．（2017·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.6．（2016·北京·高考真題）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式．7．（2015·天津·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，.(Ⅰ)求和的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)04數(shù)列通項(xiàng)公式的構(gòu)造1．（2024·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．4．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．5．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．6．（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明7．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8．（2021·全國乙卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．9．（2021·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.10．（2020·全國·高考真題）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．11．（2019·全國·高考真題）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.12．（2018·全國·高考真題）已知數(shù)列滿足，，設(shè)．（1）求；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求的通項(xiàng)公式．13．（2016·山東·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.14．（2016·天津·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為，對(duì)任意的是和的等比中項(xiàng).（Ⅰ）設(shè)，求證：是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求證：15．（2016·天津·高考真題）已知是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若對(duì)任意的是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.16．（2016·全國·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中．（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求．17．（2016·全國·高考真題）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式.18．（2016·全國·高考真題）已知是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求的前n項(xiàng)和．19．（2015·重慶·高考真題）在數(shù)列中，（1）若求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若證明：20．（2015·全國·高考真題）為數(shù)列{}的前項(xiàng)和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè),求數(shù)列{}的前項(xiàng)和.考點(diǎn)05數(shù)列求和1．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．(1)求數(shù)列前項(xiàng)和；(2)設(shè)，．（?。┊?dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．2．（2024·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．5．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．6．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．7．（2020·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．8．（2020·全國·高考真題）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．9．（2020·全國·高考真題）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．10．（2019·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.11．（2019·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求.12．（2018·天津·高考真題）設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*）；{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整數(shù)n的值．13．（2017·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.14．（2017·山東·高考真題）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且.(I)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；(II){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn,已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.15．（2016·浙江·高考真題）設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為.已知=4，=2+1，.（Ⅰ）求通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{||}的前項(xiàng)和.16．（2016·山東·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.17．（2016·天津·高考真題）已知是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若對(duì)任意的是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.18．（2016·北京·高考真題）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式．19．（2015·浙江·高考真題）已知數(shù)列和滿足，（1）求與；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.20．（2015·全國·高考真題）為數(shù)列{}的前項(xiàng)和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè),求數(shù)列{}的前項(xiàng)和.21．（2015·天津·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，.(Ⅰ)求和的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（2015·天津·高考真題）已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.（Ⅰ）求的值和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.23．（2015·山東·高考真題）已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.24．（2015·山東·高考真題）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.25．（2015·湖北·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，．26．（2015·安徽·高考真題）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．考點(diǎn)06數(shù)列中的不等式、最值及范圍問題1．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．2．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．3．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．5．（2020·浙江·高考真題）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．6．（2019·浙江·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對(duì)每成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記證明：7．（2017·北京·高考真題）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求和：．8．（2016·浙江·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足，．（Ⅰ）證明：，；（Ⅱ）若，，證明：，．9．（2016·天津·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為，對(duì)任意的是和的等比中項(xiàng).（Ⅰ）設(shè)，求證：是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求證：10．（2015·重慶·高考真題）在數(shù)列中，（1）若求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若證明：11．（2015·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足=且=-（）.（1）證明：1（）；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明（）.12．（2015·四川·高考真題）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列前項(xiàng)和，求使成立的的最小值．13．（2015·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列與滿足，.（1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的第項(xiàng)是最大項(xiàng)，即（），求證：數(shù)列的第項(xiàng)是最大項(xiàng)；（3）設(shè)，（），求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且.14．（2015·安徽·高考真題）設(shè)，是曲線在點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，證明.考點(diǎn)07數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)問題1．（2024·上?！じ呖颊骖}）若．(1)過，求的解集；(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．2．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.3．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．4．（2019·全國·高考真題）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．5．（2017·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足：，證明：當(dāng)時(shí)，（I）；（II）；（III）.6．（2015·陜西·高考真題）設(shè)是等比數(shù)列，，，，的各項(xiàng)和，其中，，．（Ⅰ）證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且；（Ⅱ）設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比較與的大小，并加以證明．7．（2015·湖南·高考真題）已知，函數(shù)，記為的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn)，證明：（1）數(shù)列是等比數(shù)列（2）若，則對(duì)一切，恒成立.專題20數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和（10年5考）2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅰ卷、2021·全國新Ⅱ卷、2019·全國卷、2018·全國卷、2016·全國卷1.掌握數(shù)列的有關(guān)概念和表示方法，能利用與的關(guān)系以及遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調(diào)性解決簡(jiǎn)單的問題該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，?？疾槔门c關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)及通項(xiàng)公式構(gòu)造的相關(guān)應(yīng)用，需綜合復(fù)習(xí)2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題，熟練掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的性質(zhì)，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等差數(shù)列，或通過構(gòu)造為等差數(shù)列，求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，需綜合復(fù)習(xí)3.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題，熟練掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的性質(zhì)，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等比數(shù)列，或通過構(gòu)造為等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。需綜合復(fù)習(xí)4.熟練掌握裂項(xiàng)相消求和和、錯(cuò)位相減求和、分組及并項(xiàng)求和，該內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，常考結(jié)合不等式、最值及范圍考查，需重點(diǎn)綜合復(fù)習(xí)考點(diǎn)2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和（10年4考）2020·全國卷、2019·全國卷2018·全國卷、2017·全國卷考點(diǎn)3等差等比綜合（10年6考）2022·全國新Ⅱ卷、2020·全國卷、2019·北京卷2017·北京卷、2017·全國卷、2016·北京卷2015·天津卷考點(diǎn)4數(shù)列通項(xiàng)公式的構(gòu)造（10年9考）2024·全國甲卷、2024·全國甲卷、2023·全國甲卷2022·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·天津卷2021·浙江卷、2021·全國乙卷、2021·全國卷2020·全國卷、2019·全國卷、2018·全國卷2016·山東卷、2016·天津卷、2016·天津卷2016·全國卷、2016·全國卷、2016·全國卷2015·重慶卷、2015·全國卷考點(diǎn)5數(shù)列求和（10年10考）2024·天津卷、2024·全國甲卷、2024·全國甲卷2023·全國甲卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·天津卷2020·天津卷、2020·全國卷、2020·全國卷2019·天津卷、2019·天津卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·山東卷、2016·浙江卷2016·山東卷、2016·天津卷、2016·北京卷2015·浙江卷、2015·全國卷、2015·天津卷2015·天津卷、2015·山東卷、2015·山東卷2015·湖北卷、2015·安徽卷考點(diǎn)6數(shù)列中的不等式、最值及范圍問題（10年幾考）2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·浙江卷2021·全國乙卷、2020·浙江卷、2019·浙江卷2017·北京卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2015·重慶卷、2015·浙江卷、2015·四川卷2015·上海卷、2015·安徽卷考點(diǎn)7數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)問題（10年5考）2024·上海卷、2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2019·全國卷、2017·浙江卷、2015·陜西卷2015·湖南卷考點(diǎn)01等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和1．（2023·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．3．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．4．（2019·全國·高考真題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．5．（2018·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）求，并求的最小值．6．（2016·全國·高考真題）等差數(shù)列{}中，.（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[2.6]=2.考點(diǎn)02等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和1．（2020·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．2．（2019·全國·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2018·全國·高考真題）等比數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求．4．（2017·全國·高考真題）記Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知S2=2，S3=-6.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列．考點(diǎn)03等差等比綜合1．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．2．（2020·全國·高考真題）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2019·北京·高考真題）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值．4．（2017·北京·高考真題）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求和：．5．（2017·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.6．（2016·北京·高考真題）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式．7．（2015·天津·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，.(Ⅰ)求和的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)04數(shù)列通項(xiàng)公式的構(gòu)造1．（2024·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．4．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．5．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．6．（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明7．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8．（2021·全國乙卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．9．（2021·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.10．（2020·全國·高考真題）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．11．（2019·全國·高考真題）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.12．（2018·全國·高考真題）已知數(shù)列滿足，，設(shè)．（1）求；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求的通項(xiàng)公式．13．（2016·山東·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.14．（2016·天津·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為，對(duì)任意的是和的等比中項(xiàng).（Ⅰ）設(shè)，求證：是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求證：15．（2016·天津·高考真題）已知是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若對(duì)任意的是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.16．（2016·全國·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中．（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求．17．（2016·全國·高考真題）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式.18．（2016·全國·高考真題）已知是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求的前n項(xiàng)和．19．（2015·重慶·高考真題）在數(shù)列中，（1）若求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若證明：20．（2015·全國·高考真題）為數(shù)列{}的前項(xiàng)和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè),求數(shù)列{}的前項(xiàng)和.考點(diǎn)05數(shù)列求和1．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．(1)求數(shù)列前項(xiàng)和；(2)設(shè)，．（?。┊?dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．2．（2024·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．5．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．6．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．7．（2020·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．8．（2020·全國·高考真題）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．9．（2020·全國·高考真題）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．10．（2019·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.11．（2019·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求.12．（2018·天津·高考真題）設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*）；{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整數(shù)n的值．13．（2017·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.14．（2017·山東·高考真題）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且.(I)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；(II){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn,已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.15．（2016·浙江·高考真題）設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為.已知=4，=2+1，.（Ⅰ）求通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{||}的前項(xiàng)和.16．（2016·山東·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.17．（2016·天津·高考真題）已知是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若對(duì)任意的是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.18．（2016·北京·高考真題）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式．19．（2015·浙江·高考真題）已知數(shù)列和滿足，（1）求與；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.20．（2015·全國·高考真題）為數(shù)列{}的前項(xiàng)和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè),求數(shù)列{}的前項(xiàng)和.21．（2015·天津·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，.(Ⅰ)求和的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（2015·天津·高考真題）已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.（Ⅰ）求的值和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.23．（2015·山東·高考真題）已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.24．（2015·山東·高考真題）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.25．（2015·湖北·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，．26．（2015·安徽·高考真題）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．考點(diǎn)06數(shù)列中的不等式、最值及范圍問題1．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．2．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．3．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．5．（2020·浙江·高考真題）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．6．（2019·浙江·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對(duì)每成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記證明：7．（2017·