2015-2024年十年高考數(shù)學真題分類匯編專題17 直線與圓小題綜合（解析版）

2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題17直線與圓小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1直線方程與圓的方程（10年5考）2024·北京卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷2018·天津卷、2016·上海卷、2016·浙江卷2016·天津卷、2016·全國卷、2015·全國卷2016·北京卷、2015·北京卷1.理解、掌握直線的傾斜角與斜率及其關系，熟練掌握直線方程的5種形式及其應用，熟練掌握距離計算及其參數(shù)求解，該內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，通常和圓結合在一起考查，需重點練習2.理解、掌握圓的標準方程和一般方程，并會基本量的相關計算，能正確處理點與圓、直線與圓及圓與圓的位置關系求解，能利用圓中關系進行相關參數(shù)求解，會解決圓中的最值問題，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般考查直線與圓和圓與圓的幾何綜合，需強化練習熟練掌握圓中切線問題的快速求解，該內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，需要大家掌握二級結論來快速解題，需強化練習強化解析幾何聯(lián)動問題考點2直線與圓的位置關系及其應用（10年6考）2023·全國新Ⅱ卷、2022·北京卷、2022·天津卷2020·天津卷、2018·全國卷、2016·全國卷2016·全國卷、2016·全國卷、2016·山東卷2015·湖北卷、2015·湖北卷、2015·全國卷考點3圓中的切線問題（10年7考）2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2023·天津卷2022·全國甲卷、2021·全國新Ⅱ卷、2020·全國卷2020·全國卷、2020·浙江卷、2019·浙江卷2015·山東卷、2015·山東卷、2015·湖北卷考點4直線、圓與其他知識點綜合（10年7考）2024·天津卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國甲卷、2021·全國新Ⅱ卷2021·全國乙卷、2021·全國甲卷、2020·山東卷2020·北京卷、、2018·全國卷、2015·全國卷考點5直線與圓中的最值及范圍問題（10年9考）2024·全國甲卷、2024·全國甲卷、2023·全國乙卷2022·全國新Ⅱ卷、2021·北京卷、2021·全國新Ⅰ卷2020·全國卷、2020·北京卷、2020·全國卷2020·全國卷、2019·江蘇卷、2018·北京卷2018·全國卷、2017·江蘇卷、2016·四川卷2016·四川卷、2016·北京卷考點01直線方程與圓的方程1．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓心坐標，再利用點到直線距離公式即可.【詳解】由題意得，即，則其圓心坐標為，則圓心到直線的距離為.故選：D.2．（2022·全國甲卷·高考真題）設點M在直線上，點和均在上，則的方程為．【答案】【分析】設出點M的坐標，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】[方法一]：三點共圓∵點M在直線上，∴設點M為，又因為點和均在上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線y=3x-4與直線的交點(1,-1).,的方程為.故答案為：3．（2022·全國乙卷·高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為．【答案】或或或．【分析】方法一：設圓的方程為，根據(jù)所選點的坐標，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設圓的方程為，（1）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）設（1）若圓過三點，圓心在直線，設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過三點，設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優(yōu)解．4．（2018·天津·高考真題）在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為．【答案】【詳解】分析：由題意利用待定系數(shù)法求解圓的方程即可.詳解：設圓的方程為，圓經(jīng)過三點（0，0），（1，1），（2，0），則：，解得：，則圓的方程為.點睛：求圓的方程，主要有兩種方法：(1)幾何法：具體過程中要用到初中有關圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關量．一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應該有三個獨立等式．5．（2016·上?！じ呖颊骖}）已知平行直線，則的距離是.【答案】【詳解】試題分析：利用兩平行線間的距離公式得.【考點】兩平行線間距離公式【名師點睛】確定兩平行線間距離，關鍵是注意應用公式的條件，即的系數(shù)必須相同，本題較為容易，主要考查考生的基本運算能力.6．（2016·浙江·高考真題）已知，方程表示圓，則圓心坐標是，半徑是．【答案】；5．【詳解】試題分析：由題意，知，，當時，方程為，即，圓心為，半徑為5，當時，方程為，不表示圓．圓的標準方程.由方程表示圓可得的方程，解得的值，一定要注意檢驗的值是否符合題意，否則很容易出現(xiàn)錯誤．7．（2016·天津·高考真題）已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點在圓C上，且圓心到直線的距離為，則圓C的方程為.【答案】【詳解】試題分析：設，則，故圓C的方程為【考點】直線與圓位置關系【名師點睛】求圓的方程有兩種方法：（1）代數(shù)法：即用“待定系數(shù)法”求圓的方程．①若已知條件與圓的圓心和半徑有關，則設圓的標準方程，列出關于a，b，r的方程組求解．②若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，列出關于D，E，F(xiàn)的方程組求解．（2）幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓的位置關系等求出圓心、半徑，進而寫出圓的標準方程．8．（2016·全國·高考真題）圓的圓心到直線的距離為1，則A． B． C． D．2【答案】A【詳解】試題分析：由配方得，所以圓心為，因為圓的圓心到直線的距離為1，所以，解得，故選A.【考點】圓的方程，點到直線的距離公式【名師點睛】直線與圓的位置關系有三種情況：相交、相切和相離.已知直線與圓的位置關系時，常用幾何法將位置關系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系，以此來確定參數(shù)的值或取值范圍．9．（2015·全國·高考真題）過三點，，的圓交y軸于M，N兩點，則A．2 B．8 C．4 D．10【答案】C【詳解】由已知得，，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為AC中點，半徑為長為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C．考點：圓的方程．10．（2016·北京·高考真題）圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心到直線y＝x＋3的距離為()A．1 B．2C． D．2【答案】C【詳解】試題分析：圓心坐標為，由點到直線的距離公式可知，故選C.【考點】直線與圓的位置關系【名師點睛】點到直線（即）的距離公式記憶容易，對于知求，很方便.11．（2015·北京·高考真題）圓心為且過原點的圓的方程是A．B．C．D．【答案】D【詳解】試題分析：設圓的方程為，且圓過原點，即，得，所以圓的方程為.故選D.考點：圓的一般方程.考點02直線與圓的位置關系及其應用1．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．【答案】（中任意一個皆可以）【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系，求出弦長，以及點到直線的距離，結合面積公式即可解出．【詳解】設點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個皆可以）．2．（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．3．（2022·天津·高考真題）若直線與圓相交所得的弦長為，則．【答案】【分析】計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，因為，解得.故答案為：.4．（2020·天津·高考真題）已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為．【答案】5【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標和半徑，由點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離，進而利用弦長公式，即可求得．【詳解】因為圓心到直線的距離，由可得，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查圓的弦長問題，涉及圓的標準方程和點到直線的距離公式，屬于基礎題．5．（2018·全國·高考真題）直線與圓交于兩點，則．【答案】【分析】方法一：先將圓的方程化成標準方程，求出圓心，半徑，再根據(jù)點到直線的距離公式以及弦長公式即可求出．【詳解】［方法一］：【通性通法】【最優(yōu)解】弦長公式的應用根據(jù)題意，圓的方程可化為，所以圓的圓心為，且半徑是，弦心距，所以．故答案為：.［方法二］：距離公式的應用由解得：或，不妨設，所以．故答案為：.［方法三］：參數(shù)方程的應用直線的參數(shù)方程為，將其代入，可得，化簡得，從而，所以．故答案為：.【整體點評】方法一：利用圓的弦長公式直接求解，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：直接求出弦的端點坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式求出，是求解一般弦長的通性通法，有時計算偏麻煩；方法三：直線參數(shù)方程中弦長公式的應用．6．（2016·全國·高考真題）已知直線：與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點.則.【答案】4【詳解】試題分析：由，得，代入圓的方程，整理得，解得，所以，所以．又直線的傾斜角為，由平面幾何知識知在梯形中，．【考點】直線與圓的位置關系【技巧點撥】解決直線與圓的綜合問題時，一方面，要注意運用解析幾何的基本思想方法（即幾何問題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系的非常緊密，因此，準確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識使問題較為簡捷地得到解決．7．（2016·全國·高考真題）已知直線：與圓交于，兩點，過，分別作的垂線與軸交于，兩點，若，則．【答案】4【分析】由題，根據(jù)垂徑定理求得圓心到直線的距離，可得m的值，既而求得CD的長可得答案.【詳解】因為，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識知在梯形中，．故答案為4【點睛】解決直線與圓的綜合問題時，一方面，要注意運用解析幾何的基本思想方法（即幾何問題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，準確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識使問題較為簡捷地得到解決．8．（2016·全國·高考真題）設直線與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B兩點，若，則圓C的面積為【答案】【詳解】因為圓心坐標與半徑分別為，所以圓心到直線的距離，則，解之得，所以圓的面積，應填答案．9．（2016·山東·高考真題）已知圓截直線所得線段的長度是，則圓與圓的位置關系是A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【詳解】化簡圓到直線的距離，又兩圓相交.選B10．（2015·湖北·高考真題）如圖，已知圓與軸相切于點，與軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且．（Ⅰ）圓的標準方程為_________；（Ⅱ）圓在點處的切線在軸上的截距為_________．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【詳解】設點的坐標為，則由圓與軸相切于點知，點的橫坐標為，即，半徑．又因為，所以，即，所以圓的標準方程為，令得：．設圓在點處的切線方程為，則圓心到其距離為：，解之得．即圓在點處的切線方程為，于是令可得，即圓在點處的切線在軸上的截距為，故應填和．考點：本題考查圓的標準方程和圓的切線問題,屬中高檔題．11．（2015·湖北·高考真題）如圖，圓與軸相切于點，與軸正半軸交于兩點（在的上方），且．（Ⅰ）圓的標準方程為；（Ⅱ）過點任作一條直線與圓相交于兩點，下列三個結論：①；②；③．其中正確結論的序號是．（寫出所有正確結論的序號）

【答案】；①②③【詳解】（Ⅰ）依題意，設（為圓的半徑），因為，所以，所以圓心，故圓的標準方程為．（Ⅱ）因為在圓上，所以可設，所以，，所以，同理可得，所以，，，故①②③都正確.12．（2015·全國·高考真題）過三點，，的圓交y軸于M，N兩點，則A．2 B．8 C．4 D．10【答案】C【詳解】由已知得，，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為AC中點，半徑為長為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C．考點：圓的方程．考點03圓中的切線問題1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當P，A，B三點共線時，C．當時，D．滿足的點有且僅有2個【答案】ABD【分析】A選項，拋物線準線為，根據(jù)圓心到準線的距離來判斷；B選項，三點共線時，先求出的坐標，進而得出切線長；C選項，根據(jù)先算出的坐標，然后驗證是否成立；D選項，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉(zhuǎn)化成的點的存在性問題，此時考察的中垂線和拋物線的交點個數(shù)即可，亦可直接設點坐標進行求解.【詳解】A選項，拋物線的準線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準線和相切，A選項正確；B選項，三點共線時，即，則的縱坐標，由，得到，故，此時切線長，B選項正確；C選項，當時，，此時，故或，當時，，，，不滿足；當時，，，，不滿足；于是不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時點的存在性問題轉(zhuǎn)化成時點的存在性問題，，中點，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個交點，即存在兩個點，使得，D選項正確.方法二：（設點直接求解）設，由可得，又，又，根據(jù)兩點間的距離公式，，整理得，，則關于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點，D選項正確.故選：ABD2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結合夾角公式運算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設切線方程為，即，則，整理得，且設兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

3．（2023·天津·高考真題）已知過原點O的一條直線l與圓相切，且l與拋物線交于點兩點，若，則．【答案】【分析】根據(jù)圓和曲線關于軸對稱，不妨設切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關系，直線與拋物線的位置關系解出．【詳解】易知圓和曲線關于軸對稱，不妨設切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當時，同理可得．故答案為：．4．（2022·全國甲卷·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．【答案】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．5．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化點與圓、點與直線的位置關系為的大小關系，結合點到直線的距離及直線與圓的位置關系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.6．（2020·全國·高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義設出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設直線在曲線上的切點為，則，函數(shù)的導數(shù)為，則直線的斜率，設直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用以及直線與圓的位置的應用，屬于中檔題.7．（2020·全國·高考真題）若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數(shù)的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.8．（2020·浙江·高考真題）設直線與圓和圓均相切，則；b=．【答案】【分析】由直線與兩圓相切建立關于k，b的方程組，解方程組即可.【詳解】設，，由題意，到直線的距離等于半徑，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案為：【點晴】本題主要考查直線與圓的位置關系，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道基礎題.9．（2019·浙江·高考真題）已知圓的圓心坐標是，半徑長是.若直線與圓相切于點，則，.【答案】【分析】本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關系.首先通過確定直線的斜率，進一步得到其方程，將代入后求得，計算得解.【詳解】可知，把代入得，此時.【點睛】解答直線與圓的位置關系問題，往往要借助于數(shù)與形的結合，特別是要注意應用圓的幾何性質(zhì).10．（2015·山東·高考真題）一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【詳解】由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點，設反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為：，即：.又因為光線與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,故選D．考點：1、圓的標準方程；2、直線的方程；3、直線與圓的位置關系.11．（2015·山東·高考真題）過點作圓的兩條切線，切點分別為，則=.【答案】【詳解】如圖，連接，在直角三角形中，所以，，，故.考點：1.直線與圓的位置關系；2.平面向量的數(shù)量積.12．（2015·湖北·高考真題）如圖，已知圓與軸相切于點，與軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且．（Ⅰ）圓的標準方程為_________；（Ⅱ）圓在點處的切線在軸上的截距為_________．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【詳解】設點的坐標為，則由圓與軸相切于點知，點的橫坐標為，即，半徑．又因為，所以，即，所以圓的標準方程為，令得：．設圓在點處的切線方程為，則圓心到其距離為：，解之得．即圓在點處的切線方程為，于是令可得，即圓在點處的切線在軸上的截距為，故應填和．考點：本題考查圓的標準方程和圓的切線問題,屬中高檔題．考點04直線、圓與其他知識點綜合1．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為．【答案】/【分析】先求出圓心坐標，從而可求焦準距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點到直線的距離.【詳解】圓的圓心為，故即，由可得，故或（舍），故，故直線即或，故原點到直線的距離為，故答案為：2．（2023·全國甲卷·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線為，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D3．（2023·全國乙卷·高考真題）設O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結合幾何概型運算求解.【詳解】因為區(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對應的圓心角，結合對稱性可得所求概率.故選：C.

4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D5．（2022·全國甲卷·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．【答案】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．6．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.7．（2021·全國乙卷·高考真題）雙曲線的右焦點到直線的距離為．【答案】【分析】先求出右焦點坐標，再利用點到直線的距離公式求解.【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點為，所以右焦點到直線的距離為.故答案為：8．（2021·全國甲卷·高考真題）點到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.故選：A.9．（2020·山東·高考真題）（多選）已知曲線.（

）A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【分析】結合選項進行逐項分析求解，時表示橢圓，時表示圓，時表示雙曲線，時表示兩條直線.【詳解】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對于D，若，則可化為，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.【點睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關鍵，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).10．（2020·北京·高考真題）已知雙曲線，則C的右焦點的坐標為；C的焦點到其漸近線的距離是．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程可得出雙曲線的右焦點坐標，并求得雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式可求得雙曲線的焦點到漸近線的距離.【詳解】在雙曲線中，，，則，則雙曲線的右焦點坐標為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點到其漸近線的距離為.故答案為：；.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標準方程求雙曲線的焦點坐標以及焦點到漸近線的距離，考查計算能力，屬于基礎題.11．（2018·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，則點到的漸近線的距離為A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：由離心率計算出，得到漸近線方程，再由點到直線距離公式計算即可．詳解：所以雙曲線的漸近線方程為所以點（4，0）到漸近線的距離故選D點睛：本題考查雙曲線的離心率，漸近線和點到直線距離公式，屬于中檔題．12．（2015·全國·高考真題）一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為.【答案】【詳解】設圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為.考點：橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標準方程考點05直線與圓中的最值及范圍問題1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點，從而可得當時，的最小，結合勾股定理代入計算，即可求解.【詳解】因為直線，即，令，則，所以直線過定點，設，將圓化為標準式為，所以圓心，半徑，當時，的最小，此時.故選：C2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】結合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結合法即可求解.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設，圓化為標準方程得：，設圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，最小，，此時.

故選：C3．（2023·全國乙卷·高考真題）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.【詳解】法一：令，則，代入原式化簡得，因為存在實數(shù)，則，即，化簡得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時，取得最大值，法三：由可得，設，則圓心到直線的距離，解得故選：C.4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是．【答案】【分析】首先求出點關于對稱點的坐標，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：5．（2021·北京·高考真題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點，當變化時，若的最小值為2，則

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長為，則當時，取得最小值為，解得.故選：C.6．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知點在圓上，點、，則（

）A．點到直線的距離小于B．點到直線的距離大于C．當最小時，D．當最大時，【答案】ACD【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.【點睛】結論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.7．（2020·全國·高考真題）點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點，設，當直線與垂直時，點到直線距離最大，即可求得結果.【詳解】由可知直線過定點，設，當直線與垂直時，點到直線距離最大，即為.故選：B.【點睛】該題考查的是有關解析幾何初步的問題，涉及到的知識點有直線過定點問題，利用幾何性質(zhì)是解題的關鍵，屬于基礎題.8．（2020·北京·高考真題）已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點的距離減去半徑1可得答案.【詳解】設圓心，則，化簡得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當且僅當在線段上時取得等號，故選：A.【點睛】本題考查了圓的標準方程，屬于基礎題.9．（2020·全國·高考真題）已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】當直線和圓心與點的連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標為，半徑為，設，當過點的直線和直線垂直時，圓心到過點的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時根據(jù)弦長公式得最小值為.故選：B.【點睛】本題考查圓的簡單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長，屬于基礎題.10．（2020·全國·高考真題）已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識可知，四點共圓，且，根據(jù)可知，當直線時，最小，求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識即可求出直線的方程．【詳解】圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而，當直線時，，，此時最?。嗉?，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D.【點睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關系的應用，以及圓的幾何性質(zhì)的應用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學運算能力，屬于中檔題．11．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是.【答案】4.【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為切點與直線之間的距離，然后利用導函數(shù)確定切點坐標可得最小距離【詳解】當直線平移到與曲線相切位置時，切點Q即為點P到直線的距離最小.由，得，，即切點，則切點Q到直線的距離為，故答案為．【點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取導數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.12．（2018·北京·高考真題）在平面直角坐標系中，記為點到直線的距離，當、變化時，的最大值為A． B．C． D．【答案】C【分析】為單位圓上一點，而直線過點，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.【詳解】為單位圓上一點，而直線過點，所以的最大值為，選C.【點睛】與圓有關的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化．13．（2018·全國·高考真題）直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．14．（2017·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系xOy中，A（-12,0），B（0,6），點P在圓O：x2+y2=50上，若·20，則點P的橫坐標的取值范圍是【答案】【詳解】設，由，易得，由，可得或，由得P點在圓左邊弧上，結合限制條件，可得點P橫坐標的取值范圍為．點睛:對于線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)氖欠忾]區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求橫坐標或縱坐標、直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等，最后結合圖形確定目標函數(shù)的最值或取值范圍．15．（2016·四川·高考真題）已知正三角形ABC的邊長為，平面ABC內(nèi)的動點P，M滿足，，則的最大值是A． B． C． D．【答案】B【詳解】設D為三角形ABC的外心，如圖可得.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，則設由已知，得，又，它表示圓上的點與點的距離的平方的，，故選B.【名師點睛】本題考查平面向量的夾角與向量的模，由于結論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個參數(shù)表示出來，解題時首先對條件進行化簡變形，本題中得出，且，因此我們采用解析法，即建立直角坐標系，寫出點的坐標，同時動點的軌跡是圓，則，因此可用圓的性質(zhì)得出最值．因此本題又考查了數(shù)形結合的數(shù)學思想．16．（2016·四川·高考真題）在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足==,===–2，動點P，M滿足=1，=，則的最大值是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由已知易得.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則設由已知，得，又，它表示圓上的點與點的距離的平方的，，故選B.【考點】平面向量的數(shù)量積運算，向量的夾角，解析幾何中與圓有關的最值問題【名師點睛】本題考查平面向量的夾角與向量的模，由于結論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個參數(shù)表示出來，解題時首先對條件進行化簡變形，本題中得出，且，因此我們采用解析法，即建立直角坐標系，寫出點的坐標，同時動點的軌跡是圓，則，因此可用圓的性質(zhì)得出最值．因此本題又考查了數(shù)形結合的數(shù)學思想．17．（2016·北京·高考真題）已知A（2,5），B（4,1）.若點P（x,y）在線段AB上，則2x?y的最大值為A．?1 B．3 C．7 D．8【答案】C【詳解】由題意得，線段AB的方程：，，∴，當時等號成立，即的最大值為7.故選：C.【點睛】求函數(shù)值域的常用方法：①單調(diào)性法；②配方法；③分離常數(shù)法；④導數(shù)法；⑤不等式法；⑥圖象法．求函數(shù)的值域是個較復雜的問題，它比求函數(shù)的定義域難度要大，而單調(diào)性法，即根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性求函數(shù)的值域是較為簡單且常用的方法，應重點掌握．專題17直線與圓小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1直線方程與圓的方程（10年5考）2024·北京卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷2018·天津卷、2016·上海卷、2016·浙江卷2016·天津卷、2016·全國卷、2015·全國卷2016·北京卷、2015·北京卷1.理解、掌握直線的傾斜角與斜率及其關系，熟練掌握直線方程的5種形式及其應用，熟練掌握距離計算及其參數(shù)求解，該內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，通常和圓結合在一起考查，需重點練習2.理解、掌握圓的標準方程和一般方程，并會基本量的相關計算，能正確處理點與圓、直線與圓及圓與圓的位置關系求解，能利用圓中關系進行相關參數(shù)求解，會解決圓中的最值問題，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般考查直線與圓和圓與圓的幾何綜合，需強化練習熟練掌握圓中切線問題的快速求解，該內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，需要大家掌握二級結論來快速解題，需強化練習強化解析幾何聯(lián)動問題考點2直線與圓的位置關系及其應用（10年6考）2023·全國新Ⅱ卷、2022·北京卷、2022·天津卷2020·天津卷、2018·全國卷、2016·全國卷2016·全國卷、2016·全國卷、2016·山東卷2015·湖北卷、2015·湖北卷、2015·全國卷考點3圓中的切線問題（10年7考）2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2023·天津卷2022·全國甲卷、2021·全國新Ⅱ卷、2020·全國卷2020·全國卷、2020·浙江卷、2019·浙江卷2015·山東卷、2015·山東卷、2015·湖北卷考點4直線、圓與其他知識點綜合（10年7考）2024·天津卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國甲卷、2021·全國新Ⅱ卷2021·全國乙卷、2021·全國甲卷、2020·山東卷2020·北京卷、、2018·全國卷、2015·全國卷考點5直線與圓中的最值及范圍問題（10年9考）2024·全國甲卷、2024·全國甲卷、2023·全國乙卷2022·全國新Ⅱ卷、2021·北京卷、2021·全國新Ⅰ卷2020·全國卷、2020·北京卷、2020·全國卷2020·全國卷、2019·江蘇卷、2018·北京卷2018·全國卷、2017·江蘇卷、2016·四川卷2016·四川卷、2016·北京卷考點01直線方程與圓的方程1．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓心坐標，再利用點到直線距離公式即可.【詳解】由題意得，即，則其圓心坐標為，則圓心到直線的距離為.故選：D.2．（2022·全國甲卷·高考真題）設點M在直線上，點和均在上，則的方程為．【答案】【分析】設出點M的坐標，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】[方法一]：三點共圓∵點M在直線上，∴設點M為，又因為點和均在上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線y=3x-4與直線的交點(1,-1).,的方程為.故答案為：3．（2022·全國乙卷·高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為．【答案】或或或．【分析】方法一：設圓的方程為，根據(jù)所選點的坐標，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設圓的方程為，（1）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）設（1）若圓過三點，圓心在直線，設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過三點，設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優(yōu)解．4．（2018·天津·高考真題）在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為．【答案】【詳解】分析：由題意利用待定系數(shù)法求解圓的方程即可.詳解：設圓的方程為，圓經(jīng)過三點（0，0），（1，1），（2，0），則：，解得：，則圓的方程為.點睛：求圓的方程，主要有兩種方法：(1)幾何法：具體過程中要用到初中有關圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關量．一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應該有三個獨立等式．5．（2016·上?！じ呖颊骖}）已知平行直線，則的距離是.【答案】【詳解】試題分析：利用兩平行線間的距離公式得.【考點】兩平行線間距離公式【名師點睛】確定兩平行線間距離，關鍵是注意應用公式的條件，即的系數(shù)必須相同，本題較為容易，主要考查考生的基本運算能力.6．（2016·浙江·高考真題）已知，方程表示圓，則圓心坐標是，半徑是．【答案】；5．【詳解】試題分析：由題意，知，，當時，方程為，即，圓心為，半徑為5，當時，方程為，不表示圓．圓的標準方程.由方程表示圓可得的方程，解得的值，一定要注意檢驗的值是否符合題意，否則很容易出現(xiàn)錯誤．7．（2016·天津·高考真題）已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點在圓C上，且圓心到直線的距離為，則圓C的方程為.【答案】【詳解】試題分析：設，則，故圓C的方程為【考點】直線與圓位置關系【名師點睛】求圓的方程有兩種方法：（1）代數(shù)法：即用“待定系數(shù)法”求圓的方程．①若已知條件與圓的圓心和半徑有關，則設圓的標準方程，列出關于a，b，r的方程組求解．②若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，列出關于D，E，F(xiàn)的方程組求解．（2）幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓的位置關系等求出圓心、半徑，進而寫出圓的標準方程．8．（2016·全國·高考真題）圓的圓心到直線的距離為1，則A． B． C． D．2【答案】A【詳解】試題分析：由配方得，所以圓心為，因為圓的圓心到直線的距離為1，所以，解得，故選A.【考點】圓的方程，點到直線的距離公式【名師點睛】直線與圓的位置關系有三種情況：相交、相切和相離.已知直線與圓的位置關系時，常用幾何法將位置關系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系，以此來確定參數(shù)的值或取值范圍．9．（2015·全國·高考真題）過三點，，的圓交y軸于M，N兩點，則A．2 B．8 C．4 D．10【答案】C【詳解】由已知得，，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為AC中點，半徑為長為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C．考點：圓的方程．10．（2016·北京·高考真題）圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心到直線y＝x＋3的距離為()A．1 B．2C． D．2【答案】C【詳解】試題分析：圓心坐標為，由點到直線的距離公式可知，故選C.【考點】直線與圓的位置關系【名師點睛】點到直線（即）的距離公式記憶容易，對于知求，很方便.11．（2015·北京·高考真題）圓心為且過原點的圓的方程是A．B．C．D．【答案】D【詳解】試題分析：設圓的方程為，且圓過原點，即，得，所以圓的方程為.故選D.考點：圓的一般方程.考點02直線與圓的位置關系及其應用1．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．【答案】（中任意一個皆可以）【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系，求出弦長，以及點到直線的距離，結合面積公式即可解出．【詳解】設點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個皆可以）．2．（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．3．（2022·天津·高考真題）若直線與圓相交所得的弦長為，則．【答案】【分析】計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，因為，解得.故答案為：.4．（2020·天津·高考真題）已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為．【答案】5【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標和半徑，由點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離，進而利用弦長公式，即可求得．【詳解】因為圓心到直線的距離，由可得，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查圓的弦長問題，涉及圓的標準方程和點到直線的距離公式，屬于基礎題．5．（2018·全國·高考真題）直線與圓交于兩點，則．【答案】【分析】方法一：先將圓的方程化成標準方程，求出圓心，半徑，再根據(jù)點到直線的距離公式以及弦長公式即可求出．【詳解】［方法一］：【通性通法】【最優(yōu)解】弦長公式的應用根據(jù)題意，圓的方程可化為，所以圓的圓心為，且半徑是，弦心距，所以．故答案為：.［方法二］：距離公式的應用由解得：或，不妨設，所以．故答案為：.［方法三］：參數(shù)方程的應用直線的參數(shù)方程為，將其代入，可得，化簡得，從而，所以．故答案為：.【整體點評】方法一：利用圓的弦長公式直接求解，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：直接求出弦的端點坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式求出，是求解一般弦長的通性通法，有時計算偏麻煩；方法三：直線參數(shù)方程中弦長公式的應用．6．（2016·全國·高考真題）已知直線：與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點.則.【答案】4【詳解】試題分析：由，得，代入圓的方程，整理得，解得，所以，所以．又直線的傾斜角為，由平面幾何知識知在梯形中，．【考點】直線與圓的位置關系【技巧點撥】解決直線與圓的綜合問題時，一方面，要注意運用解析幾何的基本思想方法（即幾何問題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系的非常緊密，因此，準確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識使問題較為簡捷地得到解決．7．（2016·全國·高考真題）已知直線：與圓交于，兩點，過，分別作的垂線與軸交于，兩點，若，則．【答案】4【分析】由題，根據(jù)垂徑定理求得圓心到直線的距離，可得m的值，既而求得CD的長可得答案.【詳解】因為，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識知在梯形中，．故答案為4【點睛】解決直線與圓的綜合問題時，一方面，要注意運用解析幾何的基本思想方法（即幾何問題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，準確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識使問題較為簡捷地得到解決．8．（2016·全國·高考真題）設直線與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B兩點，若，則圓C的面積為【答案】【詳解】因為圓心坐標與半徑分別為，所以圓心到直線的距離，則，解之得，所以圓的面積，應填答案．9．（2016·山東·高考真題）已知圓截直線所得線段的長度是，則圓與圓的位置關系是A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【詳解】化簡圓到直線的距離，又兩圓相交.選B10．（2015·湖北·高考真題）如圖，已知圓與軸相切于點，與軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且．（Ⅰ）圓的標準方程為_________；（Ⅱ）圓在點處的切線在軸上的截距為_________．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【詳解】設點的坐標為，則由圓與軸相切于點知，點的橫坐標為，即，半徑．又因為，所以，即，所以圓的標準方程為，令得：．設圓在點處的切線方程為，則圓心到其距離為：，解之得．即圓在點處的切線方程為，于是令可得，即圓在點處的切線在軸上的截距為，故應填和．考點：本題考查圓的標準方程和圓的切線問題,屬中高檔題．11．（2015·湖北·高考真題）如圖，圓與軸相切于點，與軸正半軸交于兩點（在的上方），且．（Ⅰ）圓的標準方程為；（Ⅱ）過點任作一條直線與圓相交于兩點，下列三個結論：①；②；③．其中正確結論的序號是．（寫出所有正確結論的序號）

【答案】；①②③【詳解】（Ⅰ）依題意，設（為圓的半徑），因為，所以，所以圓心，故圓的標準方程為．（Ⅱ）因為在圓上，所以可設，所以，，所以，同理可得，所以，，，故①②③都正確.12．（2015·全國·高考真題）過三點，，的圓交y軸于M，N兩點，則A．2 B．8 C．4 D．10【答案】C【詳解】由已知得，，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為AC中點，半徑為長為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C．考點：圓的方程．考點03圓中的切線問題1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當P，A，B三點共線時，C．當時，D．滿足的點有且僅有2個【答案】ABD【分析】A選項，拋物線準線為，根據(jù)圓心到準線的距離來判斷；B選項，三點共線時，先求出的坐標，進而得出切線長；C選項，根據(jù)先算出的坐標，然后驗證是否成立；D選項，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉(zhuǎn)化成的點的存在性問題，此時考察的中垂線和拋物線的交點個數(shù)即可，亦可直接設點坐標進行求解.【詳解】A選項，拋物線的準線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準線和相切，A選項正確；B選項，三點共線時，即，則的縱坐標，由，得到，故，此時切線長，B選項正確；C選項，當時，，此時，故或，當時，，，，不滿足；當時，，，，不滿足；于是不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時點的存在性問題轉(zhuǎn)化成時點的存在性問題，，中點，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個交點，即存在兩個點，使得，D選項正確.方法二：（設點直接求解）設，由可得，又，又，根據(jù)兩點間的距離公式，，整理得，，則關于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點，D選項正確.故選：ABD2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結合夾角公式運算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設切線方程為，即，則，整理得，且設兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

3．（2023·天津·高考真題）已知過原點O的一條直線l與圓相切，且l與拋物線交于點兩點，若，則．【答案】【分析】根據(jù)圓和曲線關于軸對稱，不妨設切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關系，直線與拋物線的位置關系解出．【詳解】易知圓和曲線關于軸對稱，不妨設切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當時，同理可得．故答案為：．4．（2022·全國甲卷·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．【答案】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．5．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化點與圓、點與直線的位置關系為的大小關系，結合點到直線的距離及直線與圓的位置關系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.6．（2020·全國·高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義設出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設直線在曲線上的切點為，則，函數(shù)的導數(shù)為，則直線的斜率，設直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用以及直線與圓的位置的應用，屬于中檔題.7．（2020·全國·高考真題）若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數(shù)的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.8．（2020·浙江·高考真題）設直線與圓和圓均相切，則；b=．【答案】【分析】由直線與兩圓相切建立關于k，b的方程組，解方程組即可.【詳解】設，，由題意，到直線的距離等于半徑，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案為：【點晴】本題主要考查直線與圓的位置關系，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道基礎題.9．（2019·浙江·高考真題）已知圓的圓心坐標是，半徑長是.若直線與圓相切于點，則，.【答案】【分析】本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關系.首先通過確定直線的斜率，進一步得到其方程，將代入后求得，計算得解.【詳解】可知，把代入得，此時.【點睛】解答直線與圓的位置關系問題，往往要借助于數(shù)與形的結合，特別是要注意應用圓的幾何性質(zhì).10．（2015·山東·高考真題）一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【詳解】由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點，設反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為：，即：.又因為光線與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,故選D．考點：1、圓的標準方程；2、直線的方程；3、直線與圓的位置關系.11．（2015·山東·高考真題）過點作圓的兩條切線，切點分別為，則=.【答案】【詳解】如圖，連接，在直角三角形中，所以，，，故.考點：1.直線與圓的位置關系；2.平面向量的數(shù)量積.12．（2015·湖北·高考真題）如圖，已知圓與軸相切于點，與軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且．（Ⅰ）圓的標準方程為_________；（Ⅱ）圓在點處的切線在軸上的截距為_________．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【詳解】設點的坐標為，則由圓與軸相切于點知，點的橫坐標為，即，半徑．又因為，所以，即，所以圓的標準方程為，令得：．設圓在點處的切線方程為，則圓心到其距離為：，解之得．即圓在點處的切線方程為，于是令可得，即圓在點處的切線在軸上的截距為，故應填和．考點：本題考查圓的標準方程和圓的切線問題,屬中高檔題．考點04直線、圓與其他知識點綜合1．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為．【答案】/【分析】先求出圓心坐標，從而可求焦準距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點到直線的距離.【詳解】圓的圓心為，故即，由可得，故或（舍），故，故直線即或，故原點到直線的距離為，故答案為：2．（2023·全國甲卷·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線為，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D3．（2023·全國乙卷·高考真題）設O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結合幾何概型運算求解.【詳解】因為區(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對應的圓心角，結合對稱性可得所求概率.故選：C.

4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D5．（2022·全國甲卷·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．【答案】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．6．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.7．（2021·全國乙卷·高考真題）雙曲線的右焦點到直線的距離為．【答案】【分析】先求出右焦點坐標，再利用點到直線的距離公式求解.【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點為，所以右焦點到直線的距離為.故答案為：8．（2021·全國甲卷·高考真題）點到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.故選：A.9．（2020·山東·高考真題）（多選）已知曲線.（

）A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【分析】結合選項進行逐項分析求解，時表示橢圓，時表示圓，時表示雙曲線，時表示兩條直線.【詳解】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對于D，若，則可化為，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.【點睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關鍵，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).10．（2020·北京·高考真題）已知雙曲線，則C的右焦點的坐標為；C的焦點到其漸近線的距離是．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程可得出雙曲線的右焦點坐標，并求得雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式可求得雙曲線的焦點到漸近線的距離.【詳解】在雙曲線中，，，則，則雙曲線的右焦點坐標為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點到其漸近線的距離為.故答案為：；.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標準方程求雙曲線的焦點坐標以及焦點到漸近線的距離，考查計算能力，屬于基礎題.11．（2018·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，則點到的漸近線的距離為A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：由離心率計算出，得到漸近線方程，再由點到直線距離公式計算即可．詳解：所以雙曲線的漸近線方程為所以點（4，0）到漸近線的距離故選D點睛：本題考查雙曲線的離心率，漸近線和點到直線距離公式，屬于中檔題．12．（2015·全國·高考真題）一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為.【答案】【詳解】設圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為.考點：橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標準方程考點05直線與圓中的最值及范圍問題1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點，從而可得當時，的最小，結合勾股定理代入計算，即可求解.【詳解】因為直線，即，令，則，所以直線過定點，設，將圓化為標準式為，所以圓心，半徑，當時，的最小，此時.故選：C2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】結合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結合法即可求解.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設，圓化為標準方程得：，設圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，最小，，此時.

故選：C3．（2023·全國乙卷·高考真題）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.【詳解】法一：令，則，代入原式化簡得，因為存在實數(shù)，則，即，化簡得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時，取得最大值，法三：由可得，設，則圓心到直線的距離，解得故選：C.4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是．【答案】【分析】首先求出點關于對稱點的坐標，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：5．（2021·北京·高考真題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點，當變化時，若的最小值為2，則

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長為，則當時，取得最小值為，解得.故選：C.6．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知點在圓上，點、，則（

）A．點