2015-2024年十年高考數(shù)學真題分類匯編專題03 平面向量（解析版）

2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題03平面向量考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1平面向量平行（共線）求參數(shù)（10年4考）2024·上海卷、2021·全國乙卷、2016·全國卷、2015·全國卷掌握平面向量的基本概念、線性運算及坐標運算，已知平面向量的關系要會求參數(shù)掌握基本定理的基底表示向量、能在平面幾何圖形中的應用掌握平面向量數(shù)量積的表示和計算、會求平面幾何圖形中的范圍及最值等問題?？键c2平面向量垂直求參數(shù)（10年4考）2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷考點3平面向量的基本定理及其應用（10年4考）2022·全國新Ⅰ卷、2020·山東卷、2018·全國卷、2015·北京卷考點4平面向量的模長（10年7考）2024·全國新Ⅱ卷、2023·北京卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2017·全國卷、2017·浙江卷考點5求平面向量數(shù)量積（10年9考）2023·全國乙卷、2022·全國乙卷、2022·北京卷、2020·山東卷、2021·全國新Ⅰ卷、2022·全國甲卷、2021·天津卷、2021·全國新Ⅱ卷、2021·北京卷、2020·天津卷、2020·北京卷考點6求平面向量的夾角（10年6考）2023·全國甲卷、2023·全國甲卷、2022·全國新Ⅱ卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2016·全國卷、2022·天津卷、2020·浙江卷、2019·全國卷、2019·全國卷考點01平面向量平行（共線）求參數(shù)1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知，且，則的值為．【答案】15【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示得到方程，解出即可.【詳解】，，解得．故答案為：15．2．（2021·全國乙卷·高考真題）已知向量，若，則．【答案】【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關于的方程，解方程即可求得實數(shù)的值.【詳解】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.3．（2016·全國·高考真題）已知向量，且，則___________.【答案】【分析】由向量平行的坐標表示得出，求解即可得出答案.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：【點睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù)，屬于基礎題.4．（2015·全國·高考真題）設向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)．【答案】【詳解】因為向量與平行，所以，則所以．考點：向量共線．考點02平面向量垂直求參數(shù)1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.2．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）設向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對A，當時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.3．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．4．（2021·全國甲卷·高考真題）已知向量．若，則．【答案】.【分析】利用向量的坐標運算法則求得向量的坐標，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，屬基礎題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.5．（2020·全國·高考真題）設向量，若，則.【答案】5【分析】根據(jù)向量垂直，結合題中所給的向量的坐標，利用向量垂直的坐標表示，求得結果.【詳解】由可得，又因為，所以，即，故答案為：5.【點睛】本題考查有關向量運算問題，涉及到的知識點有向量垂直的坐標表示，屬于基礎題目.考點03平面向量的基本定理及其應用1．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．2．（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性運算，即可得到答案；【詳解】連結，則為的中位線，，

故選：A3．（2018·全國·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.4．（2015·北京·高考真題）在△ABC中，點M，N滿足，若，則x＝，y＝.【答案】【詳解】特殊化，不妨設，利用坐標法，以A為原點，AB為軸，為軸，建立直角坐標系，，，則，.

考點：本題考點為平面向量有關知識與計算，利用向量相等解題.考點04平面向量的模長1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，結合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.2．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標表示求解作答.【詳解】向量滿足，所以.故選：B3．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿足，，則．【答案】【分析】法一：根據(jù)題意結合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令，結合數(shù)量積的運算律運算求解.【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.4．（2022·全國乙卷·高考真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因為，所以.故選：D5．（2021·全國甲卷·高考真題）若向量滿足，則.【答案】【分析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.6．（2020·全國·高考真題）設為單位向量，且，則.【答案】【分析】整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對變形可得：，問題得解.【詳解】因為為單位向量，所以所以解得：所以故答案為：【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉化能力，屬于中檔題.7．（2019·全國·高考真題）已知向量，則A． B．2C．5 D．50【答案】A【分析】本題先計算，再根據(jù)模的概念求出．【詳解】由已知，，所以，故選A【點睛】本題主要考查平面向量模長的計算，容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．由于對平面向量的坐標運算存在理解錯誤，從而導致計算有誤；也有可能在計算模的過程中出錯．8．（2017·全國·高考真題）已知向量與的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=.【答案】【詳解】∵平面向量與的夾角為，∴.∴故答案為.點睛：(1)求向量的夾角主要是應用向量的數(shù)量積公式．(2)常用來求向量的模．9．（2017·浙江·高考真題）已知向量滿足，則的最小值是，最大值是．【答案】4【詳解】設向量的夾角為，由余弦定理有：，，則：，令，則，據(jù)此可得：，即的最小值是4，最大值是．【名師點睛】本題通過設向量的夾角為，結合模長公式，可得，再利用三角函數(shù)的有界性求出最大、最小值，屬中檔題，對學生的轉化能力和最值處理能力有一定的要求．考點05求平面向量數(shù)量積1．（2023·全國乙卷·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.2．（2022·全國乙卷·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.3．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標系，設，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D

4．（2020·山東·高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結果.【詳解】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【點睛】該題以正六邊形為載體，考查有關平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識點有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡單題目.二、多選題5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標，應用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC三、填空題6．（2022·全國甲卷·高考真題）設向量，的夾角的余弦值為，且，，則．【答案】【分析】設與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得．【詳解】解：設與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．7．（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為；的最小值為．【答案】1【分析】設，由可求出；將化為關于的關系式即可求出最值.【詳解】設，，為邊長為1的等邊三角形，，，，為邊長為的等邊三角形，，，，，所以當時，的最小值為.故答案為：1；.8．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知向量，，，．【答案】【分析】由已知可得，展開化簡后可得結果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.9．（2021·北京·高考真題）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則；.【答案】03【分析】根據(jù)坐標求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算直接計算即可.【詳解】以交點為坐標原點，建立直角坐標系如圖所示：則，，，.故答案為：0；3.10．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為，若是線段上的動點，且，則的最小值為．【答案】【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，設點，則點（其中），得出關于的函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)的基本性質求得的最小值.【詳解】，，，，解得，以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，,∵，∴的坐標為,∵又∵,則，設，則（其中），，，，所以，當時，取得最小值.故答案為：；.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.11．（2020·北京·高考真題）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則；．【答案】【分析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得以及的值.【詳解】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、、，，則點，，，因此，，.故答案為：；.【點睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計算，建立平面直角坐標系，求出點的坐標是解答的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.考點06求平面向量的夾角一、單選題1．（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.【詳解】因為，所以，則，，所以.故選：B.2．（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設,由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.3．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C4．（2020·全國·高考真題）已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】計算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算以及向量模的計算，考查計算能力，屬于中等題.5．（2019·全國·高考真題）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉化與化歸、數(shù)學計算等數(shù)學素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關系，再利用向量夾角公式即可計算出向量夾角．【詳解】因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．【點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．6．（2016·全國·高考真題）已知向量,則ABC=A．30 B．45 C．60 D．120【答案】A【詳解】試題分析：由題意，得，所以，故選A．【考點】向量的夾角公式．【思維拓展】（1）平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：；（2）由向量的數(shù)量積的性質知，，，因此，利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關的問題．二、填空題7．（2022·天津·高考真題）在中，，D是AC中點，，試用表示為，若，則的最大值為【答案】【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出，以為基底，表示出，由可得，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出．法二：以點為原點建立平面直角坐標系，設，由可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，方程為，即可根據(jù)幾何性質可知，當且僅當與相切時，最大，即求出．【詳解】方法一：，，，當且僅當時取等號，而，所以．故答案為：；．方法二：如圖所示，建立坐標系：，，，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當且僅當與相切時，最大，此時．故答案為：；．8．（2020·浙江·高考真題）設，為單位向量，滿足，，，設，的夾角為，則的最小值為．【答案】【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡條件得，再根據(jù)向量夾角公式求函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.【詳解】，，，.故答案為：.【點睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.9．（2019·全國·高考真題）已知向量，則.【答案】【分析】根據(jù)向量夾角公式可求出結果.【詳解】．【點睛】本題考查了向量夾角的運算，牢記平面向量的夾角公式是破解問題的關鍵．10．（2019·全國·高考真題）已知為單位向量，且=0，若，則.【答案】.【分析】根據(jù)結合向量夾角公式求出，進一步求出結果.【詳解】因為，，所以，，所以，所以．【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角．滲透了數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉化思想得出答案．專題03平面向量考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1平面向量平行（共線）求參數(shù)（10年4考）2024·上海卷、2021·全國乙卷、2016·全國卷、2015·全國卷掌握平面向量的基本概念、線性運算及坐標運算，已知平面向量的關系要會求參數(shù)掌握基本定理的基底表示向量、能在平面幾何圖形中的應用掌握平面向量數(shù)量積的表示和計算、會求平面幾何圖形中的范圍及最值等問題。考點2平面向量垂直求參數(shù)（10年4考）2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷考點3平面向量的基本定理及其應用（10年4考）2022·全國新Ⅰ卷、2020·山東卷、2018·全國卷、2015·北京卷考點4平面向量的模長（10年7考）2024·全國新Ⅱ卷、2023·北京卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2017·全國卷、2017·浙江卷考點5求平面向量數(shù)量積（10年9考）2023·全國乙卷、2022·全國乙卷、2022·北京卷、2020·山東卷、2021·全國新Ⅰ卷、2022·全國甲卷、2021·天津卷、2021·全國新Ⅱ卷、2021·北京卷、2020·天津卷、2020·北京卷考點6求平面向量的夾角（10年6考）2023·全國甲卷、2023·全國甲卷、2022·全國新Ⅱ卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2016·全國卷、2022·天津卷、2020·浙江卷、2019·全國卷、2019·全國卷考點01平面向量平行（共線）求參數(shù)1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知，且，則的值為．【答案】15【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示得到方程，解出即可.【詳解】，，解得．故答案為：15．2．（2021·全國乙卷·高考真題）已知向量，若，則．【答案】【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關于的方程，解方程即可求得實數(shù)的值.【詳解】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.3．（2016·全國·高考真題）已知向量，且，則___________.【答案】【分析】由向量平行的坐標表示得出，求解即可得出答案.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：【點睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù)，屬于基礎題.4．（2015·全國·高考真題）設向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)．【答案】【詳解】因為向量與平行，所以，則所以．考點：向量共線．考點02平面向量垂直求參數(shù)1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.2．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）設向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對A，當時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.3．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．4．（2021·全國甲卷·高考真題）已知向量．若，則．【答案】.【分析】利用向量的坐標運算法則求得向量的坐標，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，屬基礎題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.5．（2020·全國·高考真題）設向量，若，則.【答案】5【分析】根據(jù)向量垂直，結合題中所給的向量的坐標，利用向量垂直的坐標表示，求得結果.【詳解】由可得，又因為，所以，即，故答案為：5.【點睛】本題考查有關向量運算問題，涉及到的知識點有向量垂直的坐標表示，屬于基礎題目.考點03平面向量的基本定理及其應用1．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．2．（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性運算，即可得到答案；【詳解】連結，則為的中位線，，

故選：A3．（2018·全國·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.4．（2015·北京·高考真題）在△ABC中，點M，N滿足，若，則x＝，y＝.【答案】【詳解】特殊化，不妨設，利用坐標法，以A為原點，AB為軸，為軸，建立直角坐標系，，，則，.

考點：本題考點為平面向量有關知識與計算，利用向量相等解題.考點04平面向量的模長1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，結合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.2．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標表示求解作答.【詳解】向量滿足，所以.故選：B3．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿足，，則．【答案】【分析】法一：根據(jù)題意結合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令，結合數(shù)量積的運算律運算求解.【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.4．（2022·全國乙卷·高考真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因為，所以.故選：D5．（2021·全國甲卷·高考真題）若向量滿足，則.【答案】【分析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.6．（2020·全國·高考真題）設為單位向量，且，則.【答案】【分析】整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對變形可得：，問題得解.【詳解】因為為單位向量，所以所以解得：所以故答案為：【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉化能力，屬于中檔題.7．（2019·全國·高考真題）已知向量，則A． B．2C．5 D．50【答案】A【分析】本題先計算，再根據(jù)模的概念求出．【詳解】由已知，，所以，故選A【點睛】本題主要考查平面向量模長的計算，容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．由于對平面向量的坐標運算存在理解錯誤，從而導致計算有誤；也有可能在計算模的過程中出錯．8．（2017·全國·高考真題）已知向量與的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=.【答案】【詳解】∵平面向量與的夾角為，∴.∴故答案為.點睛：(1)求向量的夾角主要是應用向量的數(shù)量積公式．(2)常用來求向量的模．9．（2017·浙江·高考真題）已知向量滿足，則的最小值是，最大值是．【答案】4【詳解】設向量的夾角為，由余弦定理有：，，則：，令，則，據(jù)此可得：，即的最小值是4，最大值是．【名師點睛】本題通過設向量的夾角為，結合模長公式，可得，再利用三角函數(shù)的有界性求出最大、最小值，屬中檔題，對學生的轉化能力和最值處理能力有一定的要求．考點05求平面向量數(shù)量積1．（2023·全國乙卷·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.2．（2022·全國乙卷·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.3．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標系，設，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D

4．（2020·山東·高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結果.【詳解】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【點睛】該題以正六邊形為載體，考查有關平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識點有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡單題目.二、多選題5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標，應用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC三、填空題6．（2022·全國甲卷·高考真題）設向量，的夾角的余弦值為，且，，則．【答案】【分析】設與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得．【詳解】解：設與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．7．（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為；的最小值為．【答案】1【分析】設，由可求出；將化為關于的關系式即可求出最值.【詳解】設，，為邊長為1的等邊三角形，，，，為邊長為的等邊三角形，，，，，所以當時，的最小值為.故答案為：1；.8．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知向量，，，．【答案】【分析】由已知可得，展開化簡后可得結果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.9．（2021·北京·高考真題）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則；.【答案】03【分析】根據(jù)坐標求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算直接計算即可.【詳解】以交點為坐標原點，建立直角坐標系如圖所示：則，，，.故答案為：0；3.10．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為，若是線段上的動點，且，則的最小值為．【答案】【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，設點，則點（其中），得出關于的函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)的基本性質求得的最小值.【詳解】，，，，解得，以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，,∵，∴的坐標為,∵又∵,則，設，則（其中），，，，所以，當時，取得最小值.故答案為：；.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.11．（2020·北京·高考真題）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則；．【答案】【分析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得以及的值.【詳解】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、、，，則點，，，因此，，.故答案為：；.【點睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計算，建立平面直角坐標系，求出點的坐標是解答的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.考點06求平面向量的夾角一、單選題1．（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.【詳解】因為，所以，則，，所以.故選：B.2．（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【