2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.3簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-1.3簡(jiǎn)潔的邏輯聯(lián)結(jié)詞[目標(biāo)]1.了解聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的含義.2.會(huì)用聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)或改寫某些數(shù)學(xué)命題，并推斷新命題的真假．[重點(diǎn)]1.了解“或”，“且”，“非”的含義；2.能推斷命題“p∧q”，“p∨q”，“非p”的真假．[難點(diǎn)]1.應(yīng)用邏輯聯(lián)結(jié)詞表述命題；2.含參數(shù)問題的探討．學(xué)問點(diǎn)一邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”[填一填][答一答]1．邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與生活中的“或”有什么區(qū)分？提示：邏輯中的“或”與日常生活中的“或”是有區(qū)分的，前者包括“或此、或彼、或兼”三種情形，后者只包括“或此、或彼”兩種情形．2．命題“綈p”與命題“p的否命題”有何不同？提示：命題“綈p”與“p的否命題”完全不同，前者是對(duì)命題的結(jié)論否定，后者是既否定條件又否定結(jié)論．如：若命題p為“若s則t”，則綈p：若s則綈t，否命題：若綈s則綈t.學(xué)問點(diǎn)二含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假推斷[填一填][答一答]3．不等式5≥3是否成立？提示：這是“p∨q”類型的命題，其中p：5>3，是真命題，q：5＝3，是假命題，所以p∨q是真命題，故5≥3成立．4．為什么命題“方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1或x＝2”不是“p或q”形式的命題？提示：此命題是真命題．假設(shè)它是由命題p：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1和命題q：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2用“或”聯(lián)結(jié)而成的，因?yàn)槊}p：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1是假命題，同理可知，命題q也是假命題，所以p或q是假命題，與原命題是真命題沖突，所以原命題不是“p或q”形式的命題，原命題中的“或”不是邏輯聯(lián)結(jié)詞．1．含有“且”“或”“非”的命題的構(gòu)成分析用“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)的命題稱為復(fù)合命題，但推斷一個(gè)命題是簡(jiǎn)潔命題還是復(fù)合命題，不能僅從字面上看它是否含有“或”“且”“非”等邏輯聯(lián)結(jié)詞，而應(yīng)從命題的結(jié)構(gòu)來看是否用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題．如“四邊相等且四角相等的四邊形是正方形”不是“且”聯(lián)結(jié)的復(fù)合命題，而是一個(gè)復(fù)合條件的簡(jiǎn)潔命題．2．常見詞語的否定對(duì)簡(jiǎn)潔命題的否定要留意一些常見否定詞的運(yùn)用，下面是常用的正面敘述詞語和它的否定詞語.原詞語等于大于(>)小于(<)是都是否定詞語不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是原詞語至多有一個(gè)至少有一個(gè)至多有n個(gè)否定詞語至少有兩個(gè)一個(gè)也沒有至少有n＋1個(gè)原詞語隨意的隨意兩個(gè)全部的能否定詞語某個(gè)某兩個(gè)某些不能3.命題“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的記憶(1)對(duì)于“p∧q”，簡(jiǎn)稱為“一假則假”，即p，q中只要有一個(gè)為假，則“p∧q”為假；(2)對(duì)于“p∨q”，簡(jiǎn)稱為“一真則真”，即p，q中只要有一個(gè)為真，則“p∨q”為真．類型一用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)造命題【例1】指出下列命題的構(gòu)成形式，以及構(gòu)成它的簡(jiǎn)潔命題：(1)1是質(zhì)數(shù)或合數(shù)；(2)他是運(yùn)動(dòng)員兼教練；(3)不等式|x－2|≤0沒有實(shí)數(shù)解；(4)要么周長相等的兩個(gè)三角形全等，要么面積相等的兩個(gè)三角形全等；(5)這部作品不僅藝術(shù)上有缺點(diǎn)，而且政治上也有錯(cuò)誤．【分析】依據(jù)命題中所運(yùn)用的邏輯聯(lián)結(jié)詞，或者命題所表達(dá)的實(shí)際意義推斷命題的結(jié)構(gòu)．【解】(1)這個(gè)命題是p∨q形式，其中p：1是質(zhì)數(shù)，q：1是合數(shù)．(2)這個(gè)命題是p∧q形式，其中p：他是運(yùn)動(dòng)員，q：他是教練．(3)這個(gè)命題是?p形式，其中p：不等式|x－2|≤0有實(shí)數(shù)解．(4)這個(gè)命題是p∨q形式，其中p：周長相等的兩個(gè)三角形全等，q：面積相等的兩個(gè)三角形全等．(5)這個(gè)命題是p∧q形式，其中p：這部作品藝術(shù)上有缺點(diǎn)，q：這部作品政治上有錯(cuò)誤．1辨別含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的構(gòu)成形式時(shí)，應(yīng)依據(jù)組成含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的語句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞，或語句的意義確定含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的形式，精確理解語義應(yīng)留意抓住一些關(guān)鍵詞.如“是……也是……”，“兼”，“不但……而且……”，“既……又……”，“要么……，要么……”等.2要留意數(shù)學(xué)中和生活中一些特別表達(dá)方式和特別關(guān)系式.如a≥3是a>3或a＝3，xy＝0是x＝0或y＝0，x2＋y2＝0是x＝0且y＝0.指出下列命題的構(gòu)成形式，以及構(gòu)成它的簡(jiǎn)潔命題：(1)48是16與12的公倍數(shù)；(2)方程x2＋x＋3＝0沒有實(shí)數(shù)根；(3)相像三角形的周長相等或?qū)?yīng)角相等；(4)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩段弧．解：(1)這個(gè)命題是p∧q形式，其中p：48是16的倍數(shù)，q：48是12的倍數(shù)．(2)這個(gè)命題是?p形式，其中p：方程x2＋x＋3＝0有實(shí)數(shù)根．(3)這個(gè)命題是p∨q形式，其中p：相像三角形周長相等，q：相像三角形對(duì)應(yīng)角相等．(4)這個(gè)命題是p∧q形式，其中p：垂直于弦的直徑平分這條弦，q：垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的兩段?。愋投壿嬄?lián)結(jié)詞的命題的真假【例2】指出下列命題的真假．(1)不等式|x＋2|≤0沒有實(shí)數(shù)解；(2)－1是偶數(shù)或奇數(shù)；(3)eq\r(2)屬于集合Q，也屬于集合R.【解】(1)此命題是“綈p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有實(shí)數(shù)解，因?yàn)閤＝－2是該不等式的一個(gè)解，所以命題p為真命題，即綈p為假命題，所以原命題為假命題．(2)此命題是“p∨q”的形式，其中p：－1是偶數(shù)；q：－1是奇數(shù)．因?yàn)槊}p為假命題，命題q為真命題，所以“p∨q”為真命題，故原命題為真命題．(3)此命題是“p∧q”的形式，其中p：eq\r(2)屬于集合Q；q：eq\r(2)屬于集合R.因?yàn)槊}p為假命題，命題q為真命題，所以“p∧q”為假命題，故原命題為假命題．推斷復(fù)合命題的真假的步驟：1確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式；2推斷其中簡(jiǎn)潔命題的真假；3依據(jù)真值表推斷復(fù)合命題的真假.分別寫出下列含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的形式，并推斷其真假．(1)等腰三角形頂角的平分線平分且垂直于底邊；(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；(3)A(A∪B)．解：(1)這個(gè)命題是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形頂角的平分線平分底邊，q：等腰三角形頂角的平分線垂直于底邊，因?yàn)閜真，q真，則“p∧q”真，所以該命題是真命題．(2)這個(gè)命題是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因?yàn)閜假，q真，則“p∨q”真，所以該命題是真命題．(3)這個(gè)命題是“綈p”的形式，其中p：A?(A∪B)，因?yàn)閜真，則“綈p”假，所以該命題是假命題．類型三利用命題的真假求參數(shù)的取值范圍【例3】已知a>0，a≠1，設(shè)p：函數(shù)y＝loga(x＋1)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減；q：曲線y＝x2＋(2a－3)x＋1與x軸交于不同的兩點(diǎn)，假如“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解】當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝loga(x＋1)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)不是單調(diào)遞減；曲線y＝x2＋(2a－3)x＋1與x軸交于不同的兩點(diǎn)等價(jià)于Δ＝(2a－3)2－4>0，即0<a<eq\f(1,2)或a>eq\f(5,2).∵“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，∴命題p與命題q恰好一真一假，當(dāng)p真，q假時(shí)，函數(shù)y＝loga(x＋1)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，曲線y＝x2＋(2a－3)x＋1與x軸交于一點(diǎn)或沒有交點(diǎn)，因此a∈(0,1)∩([eq\f(1,2)，1)∪(1，eq\f(5,2)])，即a∈[eq\f(1,2)，1)；當(dāng)p假，q真時(shí)，函數(shù)y＝loga(x＋1)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)不是單調(diào)遞減，曲線y＝x2＋(2a－3)x＋1與x軸交于不同的兩點(diǎn)，因此，a∈(1，＋∞)∩((0，eq\f(1,2))∪(eq\f(5,2)，＋∞))，即a∈(eq\f(5,2)，＋∞)．綜上可知，a的取值范圍為[eq\f(1,2)，1)∪(eq\f(5,2)，＋∞)．解決此類問題的方法，一般是先假設(shè)p，q分別為真，求出其中的參數(shù)取值范圍，然后當(dāng)它們?yōu)榧贂r(shí)取其補(bǔ)集，最終確定參數(shù)的取值范圍.當(dāng)p，q中參數(shù)的范圍不易求出時(shí)，也可以利用綈p與p，綈q與q不能同真同假的特點(diǎn)，先求綈p，綈q中參數(shù)的范圍.已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實(shí)根．若命題“p∧q”與命題“綈q”都是假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：p滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4>0,m>0))，解得m>2；q滿意Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，解得1<m<3.∵命題“綈q”是假命題，∴命題q是真命題，又∵命題“p∧q”是假命題，∴命題p是假命題，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤2,1<m<3))，解得1<m≤2.類型四素養(yǎng)提升命題的否定與否命題【例4】寫出下列命題的否定形式和否命題：(1)若abc＝0，則a、b、c中至少有一個(gè)為零；(2)若x2＋y2＝0，則x、y全為零；(3)等腰三角形有兩個(gè)內(nèi)角相等．【精解詳析】(1)否定形式：若abc＝0，則a、b、c全不為零；否命題：若abc≠0，則a、b、c全不為零．(2)否定形式：若x2＋y2＝0，則x、y不全為零；否命題：若x2＋y2≠0，則x、y不全為零．(3)否定形式：等腰三角形的隨意兩個(gè)內(nèi)角都不相等；否命題：不是等腰三角形的隨意兩個(gè)內(nèi)角都不相等．【解后反思】命題的否定(即綈p)與否命題是簡(jiǎn)潔混淆的兩個(gè)概念，精確把握它們之間的聯(lián)系與區(qū)分．(1)區(qū)分：①概念：命題的否定形式是干脆對(duì)命題進(jìn)行否定；而否命題則是原命題的條件和結(jié)論分別否定后所組成的命題．②構(gòu)成：對(duì)于“若p，則q”形式的命題，其否定形式為“若p，則綈q”，也就是不變更條件，而否定結(jié)論；而其否命題則為“若綈p，則綈q”，也就是條件和結(jié)論都否定．③真值：否定命題的真值與原命題相反；而否命題的真值與原命題無關(guān)．(2)聯(lián)系：①它們都是把原命題的條件或結(jié)論否定后組成的新命題．②它們?cè)诜穸ㄟ^程中，對(duì)其正面敘述的詞語的否定敘述都是一樣的(如“至多有一個(gè)”的否定為“至少有兩個(gè)”)．寫出下列命題的否定形式和命題的否命題．(1)若a>b，則a－2>b－2；(2)到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)在圓上．解：(1)否定形式：若a>b，則a－2≤b－2；否命題：若a≤b，則a－2≤b－2.(2)否定形式：到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)不在圓上；否命題：到圓心的距離不等于半徑的點(diǎn)不在圓上．1．命題“梯形的兩對(duì)角線相互不平分”的形式為(C)A．p∨q B．p∧qC．綈p D．簡(jiǎn)潔命題解析：設(shè)p：梯形的兩對(duì)角線相互平分，則本題是綈p形式．2．命題“xy≠0”是指(A)A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0C．x，y至少有一個(gè)為0 D．x，y不都是0解析：在x，y中若有一個(gè)為0，則xy＝0，故x，y都不是0，選A.3．選用綈，∧，∨填空，使下列命題成為真命題：(1)x∈(A∪B)，則x∈A∨x∈B；(2)x∈(A∩B)，則x∈A∧x∈B；(3)若ab＝0，則a＝0∨b＝0；(4)a，b∈R，a>0∧b>0，則ab>0.4．由命題p：“矩形有外接圓”，q：“矩形有內(nèi)切圓”組成的命題“綈p”“p∧q”“p∨q”形式的命題中真命題是p∨q.解析：命題p為真命題，命題q為假命題，故p∧q為假，p∨q為真，綈p為假．5．分別寫出由下列命題構(gòu)成的“綈p”“p∧q”“p∨q”形式的命題，并推斷它們的真假．(1)p：梯形有一組對(duì)邊平行，q：梯形有一組對(duì)邊相等；(2)p：不等式x2－2x＋1