2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章概率2.6正態(tài)分布學(xué)案含解析北師大版選修2-3

PAGE§6正態(tài)分布學(xué)問點一連續(xù)型隨機變量[填一填]在頻率分布直方圖中，為了了解得更多，圖中的區(qū)間會分得更細，假如將區(qū)間無限細分，最終得到一條曲線，這條曲線稱為隨機變量X的分布密度曲線，這條曲線對應(yīng)的函數(shù)稱為X的分布密度函數(shù)，記為f(x)．正態(tài)分布的密度函數(shù)為f(x)＝－∞<x<＋∞.它有兩個重要的參數(shù)：均值μ和方差σ2(σ>0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X聽從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布．[答一答]1．正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線，當(dāng)μ肯定時，σ改變與曲線的影響怎樣？提示：曲線的形態(tài)由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．學(xué)問點二正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)[填一填](1)函數(shù)圖像關(guān)于直線x＝μ對稱；(2)σ(σ>0)的大小確定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”；(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.[答一答]2．若X～N(μ，σ2)，則P(μ－a<X<μ＋a)的幾何意義是什么？提示：表示X取值的概率等于正態(tài)曲線與X＝μ－a，X＝μ＋a以及X軸所圍成的圖形的面積．1．對正態(tài)分布的理解(1)參數(shù)μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去估計．它在正態(tài)曲線中的作用是確定了其對稱軸的位置，并且正態(tài)曲線在x＝μ處達到峰值(即最大值)．(2)參數(shù)σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計．它在正態(tài)曲線中的作用是當(dāng)μ肯定時，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．2．如何理解正態(tài)曲線？正態(tài)曲線指的是一個函數(shù)的圖像，這個函數(shù)就是總體的概率密度函數(shù)，其解析式是，對于這個函數(shù)解析式，要留意以下幾點：(1)函數(shù)的自變量是x，定義域是R；(2)解析式中含有兩個常數(shù)：π和e，這是兩個無理數(shù)，其中π是圓周率，e是自然對數(shù)；(3)解析式中含有兩個參數(shù)：μ和σ，其中μ可取隨意實數(shù)，σ>0，在不同的正態(tài)分布中，μ，σ的取值是不同的，這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù)．(4)解析式中前面有一個系數(shù)eq\f(1,σ\r(2π))，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為－eq\f(x－μ2,2σ2)，其中σ這個參數(shù)在解析式中的兩個位置上出現(xiàn)，留意兩者的一樣性．3．求一個聽從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間的概率應(yīng)考慮的內(nèi)容(1)曲線位于x軸上方，且與x軸之間的面積為1；(2)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱；(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.題型一正態(tài)分布密度曲線及其性質(zhì)[例1]關(guān)于正態(tài)曲線性質(zhì)有下列敘述：(1)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，這條曲線在x軸的上方；(2)曲線關(guān)于直線x＝0對稱，這條曲線只有當(dāng)x∈(－3σ，3σ)時，才在x軸的上方；(3)曲線關(guān)于y軸對稱，因為曲線對應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)是一個偶函數(shù)；(4)曲線在x＝μ時位于最高點，由這一點向左、右兩邊延長時，曲線漸漸降低；(5)曲線的對稱軸由μ確定，曲線的形態(tài)由σ確定；(6)當(dāng)μ肯定時，σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“高瘦”．上述說法正確的是()A．只有(1)(4)(5)(6)B．只有(2)(4)(5)C．只有(3)(4)(5)(6)D．只有(1)(5)(6)[思路探究]正態(tài)曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對稱，在x＝μ時處于最高點并由該點向左、右兩邊無限延長時，漸漸降低的曲線，該曲線總是位于x軸的上方，曲線的形態(tài)由σ確定，而且當(dāng)μ肯定時，比較若干不同的σ對應(yīng)的正態(tài)曲線，可以發(fā)覺σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“高瘦”．[答案]A右圖是一個正態(tài)曲線．試依據(jù)該圖像寫出其正態(tài)分布的密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差．解：從給出的正態(tài)分布密度曲線可知，該曲線關(guān)于直線x＝20對稱，最大值是eq\f(1,2\r(π))，∴μ＝20，eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2\r(π))，得σ＝eq\r(2).∴正態(tài)分布的分布密度函數(shù)的解析式為均值μ＝20，方差σ2＝(eq\r(2))2＝2.題型二正態(tài)變量在三個常用區(qū)間上的概率的應(yīng)用[例2]在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成果X聽從一個正態(tài)分布，即X～N(90,100)．(1)試求考試成果X位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名考生，試估計考試成果在(80,100)之間的考生大約有多少人？[思路探究]eq\x(正態(tài)分布)→eq\x(\a\al(確定μ，σ,的值))→eq\x(\a\al(正態(tài)分布在三個特,殊區(qū)間上的概率))→eq\x(\a\al(求,解))[解]∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)P(70<X<110)＝P(90－2×10<X<90＋2×10)＝0.954，即成果X位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率為0.954.(2)P(80<X<100)＝P(90－10<X<90＋10)＝0.683，∴2000×0.683＝1366(人)．即考試成果在(80,100)之間的考生大約有1366人．規(guī)律方法解答此類問題的關(guān)鍵有兩個：(1)熟記隨機變量的取值位于區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)的概率值；(2)依據(jù)已知條件確定問題所在的區(qū)間，并結(jié)合三個特別區(qū)間上的概率值求解．某年級的一次信息技術(shù)測驗成果近似聽從正態(tài)分布N(70,102)，假如規(guī)定低于60分為不及格，求：(1)成果不及格的學(xué)生占多少？(2)成果在80～90之間的學(xué)生占多少？解：(1)設(shè)學(xué)生的得分為隨機變量X，X～N(70,102)，如圖所示，則μ＝70，σ＝10，P(70－10<X<70＋10)＝0.683，∴不及格的學(xué)生的比為eq\f(1,2)×(1－0.683)＝0.1585，即成果不及格的學(xué)生占15.85%.(2)成果在80～90之間的學(xué)生的比為eq\f(1,2)[P(50<X<90)－P(60<X<80)]＝eq\f(1,2)×(0.954－0.683)＝0.1355，即成果在80～90之間的學(xué)生占13.55%.題型三正態(tài)分布的實際應(yīng)用[例3]設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分數(shù)X～N(110,202)，且知滿分是150分，這個班的學(xué)生共54人．求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)．[思路探究]要求及格的人數(shù)，需求出P(90≤X≤150)，而求此概率需將問題化為正態(tài)變量幾種特別值的概率形式，然后利用對稱性求解．[解]因為X～N(110,202)，所以μ＝110，σ＝20，P(110－20≤X≤110＋20)＝0.6826.于是X>130的概率為eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587，X≥90的概率為0.6826＋0.1587＝0.8413.故及格的人數(shù)為54×0.8413≈45(人)，130分以上的人數(shù)為54×0.1587≈9(人)．規(guī)律方法本題是利用正態(tài)曲線的對稱性結(jié)合三個特別概率的值求概率，要體會應(yīng)用方法．一個工廠制造的某機械零件尺寸X聽從正態(tài)分布N(4，eq\f(1,9))，問在一次正常的試驗中，取1000個零件時，不屬于區(qū)間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有多少個？解：∵X～N(4，eq\f(1,9))，∴μ＝4，σ＝eq\f(1,3).∴不屬于區(qū)間(3,5)的概率為P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3<X<5)＝1－P(4－1<X<4＋1)＝1－P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝1－0.997＝0.003，∴1000×0.003＝3(個)，即不屬于區(qū)間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有3個．——誤區(qū)警示系列——錯用正態(tài)曲線的對稱性[例4]若隨機變量X聽從正態(tài)分布N(0,1)，且P(X≤1)＝0.8413，求P(－1<X≤0)．[解]因為P(X≤1)＝0.8413，所以P(X>1)＝1－0.8413＝0.1587，所以P(X≤－1)＝0.1587，所以P(－1<X≤0)＝0.5－0.1587＝0.3413.[易錯警示](1)求解時，錯解為P(－1<X≤0)＝1－P(X≤1)＝0.1587.(2)針對μ＝0的正態(tài)分布，求某區(qū)間上的取值概率時常利用如下兩個公式：①P(X<－x0)＝1－P(X≤x0)；②P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．如圖是當(dāng)σ取三個不同值σ1、σ2、σ3時的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖像，那么σ1、σ2、σ3的大小關(guān)系是(D)A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3解析：當(dāng)μ＝0，σ＝1時，正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)＝在x＝0時取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正態(tài)曲線的性質(zhì)，當(dāng)μ肯定時，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，反之曲線越“矮胖”，故選D.1．對于正態(tài)分布N(0,1)的分布密度函數(shù)f(x)＝，下列說法不正確的是(D)A．f(x)為偶函數(shù)B．f(x)的最大值是eq\f(1,\r(2π))C．f(x)在x>0時是減函數(shù)，在x<0時是增函數(shù)D．f(x)是關(guān)于x＝1對稱的解析：f(x)的對稱軸是x＝μ＝0，不是x＝1.2．正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)＝，x∈R，其中μ<0的圖像是(A)解析：直線x＝μ是函數(shù)圖像的對稱軸，又圖像總在x軸上方，∴選A.3．設(shè)隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，則c等于(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：由正態(tài)分布密度曲線的對稱性，知2＝eq\f(c＋1＋c－1,2)，∴c＝2.4．已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(3，σ2)，則P(ξ<3)＝1,2.解析：由正態(tài)分布圖像知，μ＝3為該圖像的對稱軸，P(ξ<3)＝P(ξ>3)＝eq\f(1,2).5．若隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則下列命題正確的是①③(寫出全部正確命題的序號)．①正態(tài)分布密度曲線關(guān)于直