第09講數(shù)列的綜合應(yīng)用、新定義、不等式（四種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（新高考專(zhuān)用）（原卷版）

第09講數(shù)列的綜合應(yīng)用、新定義、不等式（四種題型）題型一：分期付款一、單選題1．（2023春·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）我們知道，償還銀行貸款時(shí)，“等額本金還款法”是一種很常見(jiàn)的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬(wàn)元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個(gè)月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則（

）A．2192 B． C． D．2．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）某顧客在2020年1月1日采用分期付款的方式購(gòu)買(mǎi)一輛價(jià)值2萬(wàn)元的家電，在購(gòu)買(mǎi)一個(gè)月后2月1日第一次還款，且以后每個(gè)月1日等額還款一次，如果一年內(nèi)還清全部貸款（12月1日最后一次還款），月利率為0.5％.按復(fù)利計(jì)算，則該顧客每個(gè)月應(yīng)還款多少元？（精確到1元，參考值，）（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某單位用分期付款方式為職工購(gòu)買(mǎi)40套住房，總房?jī)r(jià)1150萬(wàn)元.約定：2021年7月1日先付款150萬(wàn)元，以后每月1日都交付50萬(wàn)元，并加付此前欠款利息，月利率，當(dāng)付清全部房款時(shí)，各次付款的總和為（

）A．1205萬(wàn)元 B．1255萬(wàn)元 C．1305萬(wàn)元 D．1360萬(wàn)元二、多選題4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）參加工作年的小郭，因工作需要向銀行貸款萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)小汽車(chē)，與銀行約定：這萬(wàn)元銀行貸款分年還清，貸款的年利率為，每年還款數(shù)為萬(wàn)元，則（

）A． B．小郭第年還款的現(xiàn)值為萬(wàn)元C．小郭選擇的還款方式為“等額本金還款法” D．小郭選擇的還款方式為“等額本息還款法”5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）市民小張計(jì)劃貸款60萬(wàn)元用于購(gòu)買(mǎi)一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.方式①：等額本金，每月的還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款月開(kāi)始，每月還款額與上月還款額的差均相同；方式②：等額本息，每個(gè)月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開(kāi)始首次還款（若2021年7月7日貸款到賬，則2021年8月7日首次還款）.已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年，月利率為0.004，則下列說(shuō)法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）A．選擇方式①，若第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，則小張?jiān)摴P貸款的總利息為289200元B．選擇方式②，小張每月還款額為3800元C．選擇方式②，小張總利息為333840元D．從經(jīng)濟(jì)利益的角度來(lái)考慮，小張應(yīng)選擇方式①三、填空題6．（2022秋·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）沈陽(yáng)京東MALL于2022年國(guó)慶節(jié)盛大開(kāi)業(yè)，商場(chǎng)為了滿足廣大數(shù)碼狂熱愛(ài)好者的需求，開(kāi)展商品分期付款活動(dòng).現(xiàn)計(jì)劃某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率為r，則愛(ài)好者每期需要付款______．7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）趙先生準(zhǔn)備通過(guò)某銀行貸款5000元，然后通過(guò)分期付款的方式還款．銀行與趙先生約定：每個(gè)月還款一次，分12次還清所有欠款，且每個(gè)月還款的錢(qián)數(shù)都相等，貸款的月利率為，則趙先生每個(gè)月所要還款的錢(qián)數(shù)為_(kāi)_____元．（精確到元，參考數(shù)據(jù)）四、解答題8．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知某新型水稻產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率為．某糧食種植基地計(jì)劃種植該品種水稻．已知該基地2020年儲(chǔ)有該品種水稻的產(chǎn)量為15萬(wàn)噸．現(xiàn)計(jì)劃從下一年（2021年）起，每年年初種植，年底從中分出固定的產(chǎn)量用于銷(xiāo)售，15年后清空種植并更換種植品種．設(shè)年后該品種水稻的剩余產(chǎn)量為萬(wàn)噸．(1)設(shè)每年用于銷(xiāo)售的產(chǎn)量為萬(wàn)噸，請(qǐng)用和表示；(2)求（用表示）．9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）市民小張計(jì)劃貸款60萬(wàn)元用于購(gòu)買(mǎi)一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式：①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款月開(kāi)始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每月的還款額均相同．銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開(kāi)始首次還款（如2020年7月7日貸款到賬，則2020年8月7日首次還款）．已知該筆貸款年限為20年，月利率為0.4%．（1）若小張采取等額本金的還款方式，已知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，試計(jì)算該筆貸款的總利息．（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過(guò)家庭平均月收入的一半．已知小張家庭平均月收入為1萬(wàn)元，判斷小張申請(qǐng)?jiān)摴P貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）．參考數(shù)據(jù)：．（3）對(duì)比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式．題型二：產(chǎn)值增長(zhǎng)一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）科技創(chuàng)新離不開(kāi)科研經(jīng)費(fèi)的支撐，在一定程度上，研發(fā)投入被視為衡量“創(chuàng)新力”的重要指標(biāo).“十三五”時(shí)期我國(guó)科技實(shí)力和創(chuàng)新能力大幅提升，2020年我國(guó)全社會(huì)研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入達(dá)到了24426億元，總量穩(wěn)居世界第二，其中基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)投入占研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入的比重是6.16%.“十四五”規(guī)劃《綱要草案》提出，全社會(huì)研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入年均增長(zhǎng)要大于7%，到2025年基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)占比要達(dá)到8%以上，請(qǐng)估計(jì)2025年我國(guó)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)為（

）A．1500億元左右 B．1800億元左右 C．2200億元左右 D．2800億元左右2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問(wèn)題，“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱(chēng)遞減的比例為“衰分比”.如：已知，，三人分配獎(jiǎng)金的衰分比為，若分得獎(jiǎng)金1000元，則，所分得獎(jiǎng)金分別為800元和640元.某科研所四位技術(shù)人員甲、乙、丙、丁攻關(guān)成功，共獲得單位獎(jiǎng)勵(lì)68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配獎(jiǎng)金，且甲與丙共獲得獎(jiǎng)金36200元，則“衰分比”與丁所獲得的獎(jiǎng)金分別為A．，14580元 B．，14580元C．，10800元 D．，10800元3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在“全面脫貧”行動(dòng)中，貧困戶(hù)小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開(kāi)發(fā)的農(nóng)產(chǎn)品、土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算：每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，每月底街繳房租800元和水電費(fèi)400元，余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)2020年小王的農(nóng)產(chǎn)品加工廠的年利潤(rùn)為（

）（取，）A．25000元 B．26000元 C．32000元 D．36000元4．（2021秋·江蘇淮安·高三江蘇省盱眙中學(xué)校考期中）2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，接續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金500萬(wàn)元，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到20%．每年年底扣除下一年必須的消費(fèi)資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)為了實(shí)現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達(dá)到800萬(wàn)元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金至多為（

）（單位：萬(wàn)元，結(jié)果精確到萬(wàn)元）（參考數(shù)據(jù)：，）A．83 B．60 C．50 D．445．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為了更好地解決就業(yè)問(wèn)題，國(guó)家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，有不少地區(qū)出臺(tái)了相關(guān)政策去鼓勵(lì)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”．老王2020年6月1日向銀行借了免息貸款10000元，用于進(jìn)貨.因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算：每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費(fèi)1000元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2021年5月底該攤主的年所得收入為（

）（取，）A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元二、多選題6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在“全面脫貧”行動(dòng)中，貧困戶(hù)小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開(kāi)設(shè)的農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算每月獲得的利潤(rùn)是該月月初投人資金的，每月月底需繳納房租600元和水電費(fèi)400元，余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù).設(shè)第月月底小王手中有現(xiàn)款為，則下列論述正確的有（

）(參考數(shù)據(jù)：)A．B．C．2020年小王的年利潤(rùn)為40000元D．兩年后，小王手中現(xiàn)款達(dá)41萬(wàn)三、解答題7．（2022·上海金山·統(tǒng)考一模）近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營(yíng)銷(xiāo)模式，帶來(lái)電商行業(yè)的新增長(zhǎng)點(diǎn).某直播平臺(tái)第1年初的啟動(dòng)資金為500萬(wàn)元，由于一些知名主播加入，平臺(tái)資金的年平均增長(zhǎng)率可達(dá)，每年年底把除運(yùn)營(yíng)成本萬(wàn)元，再將剩余資金繼續(xù)投入直播平合.(1)若，在第3年年底扣除運(yùn)營(yíng)成本后，直播平臺(tái)的資金有多少萬(wàn)元？(2)每年的運(yùn)營(yíng)成本最多控制在多少萬(wàn)元，才能使得直播平臺(tái)在第6年年底?除運(yùn)營(yíng)成本后資金達(dá)到3000萬(wàn)元？（結(jié)果精確到萬(wàn)元）8．（2022秋·山東濟(jì)寧·高三?？茧A段練習(xí)）某臺(tái)商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬(wàn)美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬(wàn)美元，以后每年比上一年增加4萬(wàn)美元，每年銷(xiāo)售蔬菜收入50萬(wàn)美元，設(shè)表示前n年的純利潤(rùn)（前n年的總收入-前n年的總支出-投資額）．(1)從第幾年開(kāi)始獲得純利潤(rùn)？(2)若五年后，該臺(tái)商為開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，決定出售該廠，現(xiàn)有兩種方案：①年平均利潤(rùn)最大時(shí)，以48萬(wàn)美元出售該廠；②純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以16萬(wàn)美元出售該廠．問(wèn)哪種方案較合算？9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）保障性租賃住房，是政府為緩解新市民、青年人住房困難，作出的重要決策部署．2021年7月，國(guó)務(wù)院辦公廳發(fā)布《關(guān)于加快發(fā)展保障性租賃住房的意見(jiàn)》后，國(guó)內(nèi)多個(gè)城市陸續(xù)發(fā)布了保障性租賃住房相關(guān)政策或征求意見(jiàn)稿．為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，某地區(qū)計(jì)劃2021年新建住房40萬(wàn)平方米，其中有25萬(wàn)平方米是保障性租賃住房．預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)，另外，每年新建住房中，保障性租賃住房的面積均比上一年增加5萬(wàn)平方米．(1)到哪一年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計(jì)面積(以2021年為累計(jì)的第一年)將首次不少于475萬(wàn)平方米?(2)到哪一年底，當(dāng)年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于?10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某企業(yè)2015年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元,因?yàn)槠髽I(yè)的設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測(cè)從2015年開(kāi)始,此后每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元.如果進(jìn)行技術(shù)改造,2016年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬(wàn)元,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,預(yù)計(jì)2016年的利潤(rùn)為750萬(wàn)元,此后每年的利潤(rùn)比前一年利潤(rùn)的一半還多250萬(wàn)元.(1)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤(rùn)為萬(wàn)元;進(jìn)行技術(shù)改造后,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤(rùn)為萬(wàn)元,求和;(2)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)元,求和;(3)依上述預(yù)測(cè),從2016年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年,進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)將超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)?11．（2022·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）某化工廠從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按生產(chǎn)現(xiàn)狀，每月收入為70萬(wàn)元，同時(shí)將受到環(huán)保部門(mén)的處罰，第一個(gè)月罰3萬(wàn)元，以后每月增加2萬(wàn)元．如果從今年一月起投資500萬(wàn)元添加回收凈化設(shè)備（改造設(shè)備時(shí)間不計(jì)），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本．據(jù)測(cè)算，添加回收凈化設(shè)備并投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累計(jì)生產(chǎn)凈收入是生產(chǎn)時(shí)間個(gè)月的二次函數(shù)（是常數(shù)），且前3個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入可達(dá)309萬(wàn)，從第6個(gè)月開(kāi)始，每個(gè)月的生產(chǎn)凈收入都與第5個(gè)月相同．同時(shí)，該廠不但不受處罰，而且還將得到環(huán)保部門(mén)的一次性獎(jiǎng)勵(lì)100萬(wàn)元．（1）求前8個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入的值；（2）問(wèn)經(jīng)過(guò)多少個(gè)月，投資開(kāi)始見(jiàn)效，即投資改造后的純收入多于不改造時(shí)的純收入．題型三：數(shù)列新定義一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，即，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”.記，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見(jiàn)到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)?公式和定理，如：歐拉函數(shù)（）的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1?2）；（與9互素有1?2?4?5?7?8）.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則=（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱(chēng)其為0-1周期序列，并稱(chēng)滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，恒有，則稱(chēng)數(shù)列有界；若這樣的正數(shù)不存在，則稱(chēng)數(shù)列無(wú)界，已知數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界 B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界 D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界5．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，記表示數(shù)列的前n項(xiàng)乘積.則（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（

）A． B． C． D．8．（2022·福建南平·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類(lèi)推；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.則（

）A． B． C． D．三、雙空題9．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個(gè)近似值：“約率”與“密率”．它們可用“調(diào)日法”得到：稱(chēng)小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強(qiáng)率．由，取3為弱率，4為強(qiáng)率，得，故為強(qiáng)率，與上一次的弱率3計(jì)算得，故為強(qiáng)率，繼續(xù)計(jì)算，……．若某次得到的近似值為強(qiáng)率，與上一次的弱率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強(qiáng)率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值，依此類(lèi)推，已知，則________；________．四、解答題10．（2021秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無(wú)窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說(shuō)明理由．11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.12．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱(chēng)Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為正整數(shù)，若無(wú)窮數(shù)列滿足，則稱(chēng)為數(shù)列.(1)數(shù)列是否為數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)已知其中為常數(shù).若數(shù)列為數(shù)列，求；(3)已知數(shù)列滿足，，，求.14．（2023·北京海淀·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果無(wú)窮數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足：①、，，使得；②，、，使得，則稱(chēng)數(shù)列是“數(shù)列”.(1)下列無(wú)窮等差數(shù)列中，是“數(shù)列”的為_(kāi)__________；（直接寫(xiě)出結(jié)論）、、、、、、、、、、、、(2)證明：若數(shù)列是“數(shù)列”，則且公差；(3)若數(shù)列是“數(shù)列”且其公差為常數(shù)，求的所有通項(xiàng)公式.15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列：，，…，，其中是給定的正整數(shù)，且.令，，，，，.這里，表示括號(hào)中各數(shù)的最大值，表示括號(hào)中各數(shù)的最小值.(1)若數(shù)列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，且，求的值；(3)若數(shù)列是公差的等差數(shù)列，數(shù)列是數(shù)列中所有項(xiàng)的一個(gè)排列，求的所有可能值（用表示）.16．（2022·北京·?？既＃?duì)于數(shù)列，，…，，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列，，…，，，記，，．對(duì)于數(shù)列，，…，與，，…，，定義．若數(shù)列，，…，滿足，則稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列．(1)若，寫(xiě)出，并求；(2)對(duì)于任意給定的正整數(shù)，是否存在數(shù)列，使得若存在，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列，若不存在，說(shuō)明理由：(3)若數(shù)列滿足，求數(shù)列A的個(gè)數(shù)．題型四：數(shù)列不等式一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度記為，則（

）A． B．C． D．3．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高三校考開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列中，對(duì)于任意的都有，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．對(duì)于任意的，都有B．對(duì)于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D．若，則當(dāng)時(shí)，4．（2022秋·福建泉州·高三校聯(lián)考期中）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．任意 B．任意C．任意 D．任意5．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列，對(duì)任意的正整數(shù)m、n都有，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A． B．C． D．三、雙空題6．（2022秋·北京昌平·高三昌平一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列對(duì)任意的，都有，且．①當(dāng)時(shí)，_________．②若存在，當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，恒為常數(shù)P，則P＝_________．四、解答題7．（2022·