七升八數(shù)學(xué)暑期銜接班講義

第一講與三角形有關(guān)的線段不在一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱角，相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點。三角形的表示方法B三角形用符號“△”表示，頂點是A,B,C的三角形，記作“△ABC”c三角形ABC用符號表示為△ABC。三角形ABC的頂點C所對的邊ABC可用c表示,頂點B所對的邊AC可用b表示,頂點A所對的邊BC可用a表示C【探究】任意畫一個△ABC,假設(shè)有一只小蟲要從B點出發(fā),沿三角形的邊三角形的兩邊之和大于第三邊，可用字母表示為a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b【辨析】有三條線段a、b、c，a+b＞c，扎西認(rèn)為：這三條線段能組成三角形.你同意扎西【小結(jié)】三角形的兩邊之和是指任意兩邊之和各邊的長是多少？（2）能圍成有一邊長為4㎝的等腰三角形嗎？為什么？三角形的高(1)定義：從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高（簡稱三角形的高）(2)高的敘述方法AD是△ABC的高AD⊥BC，垂足為D點D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90度[練習(xí)]畫出①、②、③三個△ABC各邊的高,并說明是哪條邊的高.AAABBC①②BBC①②AB邊上的高是線段AB邊上的高是線段AB邊上的高是線段BC邊上的高是BC邊上的高是BC邊上的高是AC邊上的高是AC邊上的高是AC邊上的高是[辨析]高與垂線有區(qū)別嗎？鈍角三角形，上面的結(jié)論還成立嗎？試著畫一畫【結(jié)論】三角形的中線 （1）定義：在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線[練習(xí)]畫出①、②、③三個△ABC各邊的中線,并說明是哪條邊的中線.AAAAB邊上的中線是線段BC邊上的中線是ACAB邊上的中線是線段BC邊上的中線是AC邊上的中線是AB邊上的中線是線段AB邊上的中線是線段BC邊上的中線是BC邊上的中線是AC邊上的中線是AC邊上的中線是圖中有相等關(guān)系的線段：[探究1]觀察△ABC的三條邊上的中線，看看有什么發(fā)現(xiàn)？如果三角形是【結(jié)論】[探究2]如圖，AD為三角形ABC的中線，△ABD和△ACD的面積相比A【結(jié)論】三角形的角平分線 （1）定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。[辨析]三角形的角平分線與角的平分線是一樣的嗎？畫出△ABC各角的角平分線,并說明是哪角的角平分線.AAC________________________________________________________________[自我檢測]如圖，AD、AE、CF分別是△ABC的中線、角平分線和高，則：CE2________BAB12三角形的三邊長一旦確定，三角形的形狀就唯一確定，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。四邊鋼架橋、屋頂鋼架和起重機都是利用三角形的穩(wěn)定性，伸縮門則是利用四邊形的不穩(wěn)定性。【試一試】2、如圖，D為△ABC中AC邊上一點，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一點，且△ABC的面積等于△DEC面積的2倍，則BE的長為()[課后作業(yè)]1、一位同學(xué)用三根木棒拼成如圖所示的圖形，其中符合三角形概念的是()A.B.C.5，其中可構(gòu)成三角形的有()3、已知三角形兩邊長分別為4cm和9cm，則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是()A．13cmB．6cmC．5cmD．4cmPB=12m，那么AB間的距離不可能是()A．5mB．15mC．20mD．28m5、一個三角形的周長是偶數(shù)，其中的兩條邊分別為5和9，則滿足上述條件的三角形個6、三角形的角平分線、中線和高都是()AD）是△ABC的()A．中線B．角平分線C．高D．既是中線，又是角平8、如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，下列說法中，錯誤的是()9、若a、b、c表示△ABC的三邊長，則|a-b-c|+|b-c-c|+|c-a-b|=________.（5）S△ABC＝________，S△ABD________S△ADC＝__VAODVAOBVCODVBOC（AB+BC+AC）.知識點1、三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于1【導(dǎo)入】我們在小學(xué)就知道三角形內(nèi)角和等于1800，這個結(jié)論是通過實驗得到的，這個命題是不是真命題還需要證明，怎樣證明呢？回顧我們小學(xué)做過的實驗，你是怎樣操作的？把一個三角形的兩個角剪下拼在第三個角的頂點處，用量角器量出∠BCD的度數(shù)，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。①剪下∠A，按圖（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。如果把上面移動的角在圖上進(jìn)行轉(zhuǎn)移，由圖1你能想到證明三角形內(nèi)角和等于1800的方法證明：已知△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=1800。AA1DCBDCBDADDC1DC1EBBCBDA1CBCDD1【小結(jié)】三角形每個頂點處有兩個外角，便在計算三角形外角和時，每個頂點處只算一個外角，外角和就ADB11CBAACDD85oCACB1BAC141422.已知：如圖，∠1=30°,∠2=50°,∠3=45°,41EA1EA1CD4.如圖，AB∥CD，∠B=55°,∠C=40°,則CDBBDBADBCFCF從例2.我們可以得到一個數(shù)學(xué)結(jié)論:三角形AA6已知：如圖，∠B=30°,∠C=65°,∠BAD=50°,CBCBAACB∠BAC=80°,∠C=40°,則∠BAD=°.CBDADAD∠A=100°,∠C=30°,則∠ADB=°.D1D角平分線，∠BAC=100°,∠C=30°,則∠1=°.【實戰(zhàn)演練】11（2）如圖所示，BD、CD分別是∠ABC、∠ACB的外角平分線．試說明2、如果一個三角形的兩個外角之和為270°,那么這個三角形是()4、如圖所示，∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)為________.5、如圖所示，已知AC∥ED，∠C＝26°,∠CBE＝37°,則∠BED的度數(shù)是_________7、如圖所示，AC⊥DE，垂足為O，∠B＝35°,∠E＝30°,則∠A＝________.8、把一把直尺與一個三角板如圖放置，若∠1＝45°,則∠2的度數(shù)為()9、已知△ABC中，∠B、∠C的外角平分線交于點D，∠A＝40°,那么∠D＝________.10、在△ABC中，若∠A-2∠B=70°,2∠C-∠B=10°,則∠C=________.11、如圖，是用四根木棒搭成的平行四邊形框架，AB=8cm，AD=6cm，使AB固定，轉(zhuǎn)動AD，當(dāng)∠DAB=________時，ABCD的面積最大，最大值是________.13、一副三角板如圖疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)為()14、如圖所示，AB∥CD，∠E=27°,∠C=52°,則∠EAB的度數(shù)為()15、如圖，△ABC中，∠A=50°,點D，E分別在AB，AC上，則∠1+∠2的大小為()16、（2006?臨沂）如圖，已知AB∥CD，則()A．10°B．20°C．30°D．40°1818、如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為()19、若一個三角形三個外角的度數(shù)之比為2：3：4，則與之對應(yīng)的三個內(nèi)角的度數(shù)的比為()（1）若∠ABC=40°,∠ACB=60°,則∠BOC=________；（2）若∠ABC+∠ACB=116°,則∠BOC=________；（3）若∠A=76°,則∠BOC=________；（4）若∠A=m°,則∠BOC=________；（5）若∠BOC=120°,則∠A=________；（6）∠A與∠BOC之間具有的數(shù)量關(guān)系是________.發(fā)生變化，求出變化范圍.（2）畫兩條相交的直線OX、OY，使∠XOY=60°,②在射線OX、OY上分別再任意取A、B兩點，③作小是否會變化？若保持不變，請求出∠C的度定義：在平面內(nèi)，由一些不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……、n邊形。這就是說，一個多邊形由幾條線段組成，就叫做幾邊形，三角形是最簡單的多邊形?！螧、∠C、∠D、∠E。多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形連接多邊形的不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線在圖（1）中，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線，整個圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的四邊形叫做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；而圖（2）就不滿足上述凸多邊形的特征，因為我們畫BD所在直線，整個多邊形不都在這條直線的同一側(cè)，我們稱它為凹多邊形。注意：今后我們討論的多邊形指的都是凸多邊形.我們知道，等邊三角形、正方形的各個角都相等條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。[探究]觀察下面的圖形，填空：五邊形六邊形從五邊形一個頂點出發(fā)可以引從六邊形一個頂點出發(fā)可以引對角線，它們將六邊形分成三角形，六邊形的內(nèi)角和從n邊形一個頂點出發(fā)，可以引對角線，它們將n邊形分成三角形，n邊形的內(nèi)角和等于。個頂點，就能引出(n-3)條對角線，從而得出結(jié)論：從n邊形的一個頂點可引出(n-3)條對角線，每一個頂點可引出(n-3)條對角線，有n個頂點，共有n(n-3)條對角線，但每條對角線都算了兩次，所以n邊形共有對角線的條數(shù)為多邊形內(nèi)角和的證明形。∴五邊形的內(nèi)角和為5×180°一2×180°=（5—2）×180°=540°。方法2、如圖2，在邊AB上取一點O，連OE、OD、OC，則可以（5－1）個三角形。如果把五邊形換成n邊形，用同樣的方法可以得到n邊形內(nèi)角和n一2）×18n邊形的任何一個外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180度，n個外角連同它們各自相鄰的內(nèi)[自我檢測]3.下列角度中,不能成為多邊形內(nèi)角和的是(A.105B.120C.125D5.一個四邊形的內(nèi)角中,鈍角最多有()A.一個B.兩個C.三個D.四個9.如果一個多邊形除了一個內(nèi)角外,其余各內(nèi)角這和為1190°,則這個內(nèi)角為度,是一個 邊形.9.填空：如果一個多邊形的各外角都等于60°,那么這個多邊形是邊形.10.填空：如果一個多邊形的各內(nèi)角都等于120°,那么這個多邊形是邊形.答案:19.四邊形中,如果有一組對角都是直角,A.都是鈍角B.都是銳角C.是一個銳角,一個鈍角.D.是一個銳角,一個直角B.1:1C.5:2D.5:4【課后作業(yè)】1、過一個多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成6個三角形，這個多邊形的邊數(shù)為()2、一個八邊形的對角線的條數(shù)是()A．5B．203、一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之和為2520°,這個多邊形的邊數(shù)為()A．12B．134、如果一個多邊形的每一個外角都是銳角，那么這個多邊形的邊數(shù)一定不小于()5、一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°,這個多邊形的邊數(shù)是()6、一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1620°,則原來多邊形的邊數(shù)是()7、如圖，小林從P點向西直走12米后，向左轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動的角度為α,再走12米，如此重復(fù)A．30°8、如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F為()A．180°B．360°C．540°D．720°9、如圖，∠1=65°,∠2=85°,∠3=60°,∠4=40°,則∠5=()A．45°B．50°C．55°D．60°2所示的正五邊形ABCDE，其中∠BAC=度.11、如圖，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6的度數(shù)之和是()A．120°B．135°C．180°D．360°12、如圖，若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=n?90°,則n為()么這個六邊形ABCDEF的周長是()面積為()2[觀察與探案]定義：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。4、拿出紙片，對折以后用剪刀剪出兩個三角形，觀察發(fā)現(xiàn)：這兩個三角形_____、_____相同,能夠,因此，我們把的兩個三角形叫做全等三角形。定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形“全等”用“≌”表示，讀作“全等于”，如圖中的兩個三角形全等，記作：△ABC≌△DEF]A△ABC中，AB邊的對角是，AC邊的對角是，[問題]：你手中的兩個三角形是全等的，但是如果任意擺放能重合嗎？該怎樣做它們才能重[發(fā)現(xiàn)]：兩個全等三角形任意擺放時，并不一定能完全重合，只有當(dāng)把重合到一起（或重合到一起）時它們才能完全重合。這時我們把重合在一起的頂點、角、邊分別稱為對應(yīng)頂點、對應(yīng)角、對應(yīng)邊。表示兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點字母寫在對應(yīng)的位置上，這樣便于確定兩個三角形的對應(yīng)關(guān)系。[發(fā)現(xiàn)]全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊，對應(yīng)角用幾何語言表示全等三角形的性質(zhì)∴AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF（全等三角形對應(yīng)邊相等）∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形對應(yīng)角相等）[思考]圖中的各對三角形是全等三角形，怎樣改變其中一個三角形的位置，使它能與另一個三角形完全重合?一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，變化了，但和沒變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。[思考]通過剛才的操作，你能說說每對三角形的對應(yīng)頂點，對應(yīng)角，對應(yīng)邊嗎？[試一試]下列圖形中，至少有兩個三角形是全等的，請寫出你找到的對應(yīng)邊、對應(yīng)角。ADEDOCBC根據(jù)位置元素來推理a.有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊；b.有公共角的，公共角是對應(yīng)角；c.有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角；d.兩個全等三角形最大的邊是對應(yīng)邊，最小的邊也是對應(yīng)邊；e.兩個全等三角形最大的角是對應(yīng)角，最小的角也是對應(yīng)角；的個數(shù)是()DEA【課后作業(yè)】一、選擇、填空A．三個角對應(yīng)相等的兩個三角形B．周長相等的兩個三角形C．面積相等的兩個三角形2、如圖，若△ABC≌△EBD，且BD＝4cm，∠D＝60°,則∠ACB＝________，BC＝______4、如圖，△ACB≌△A＇CB',∠BCB30°,∠ACA＇的度數(shù)為()5、在△ABC中，∠B=∠C，若與△ABC全等的一個三角形中有一個角是92°,那么92°角在△ABC中的對應(yīng)角是()一定有一條邊等于()A．7cmB．2cm或7cmC．5cmD．2cm或5cm8、如圖是一個4×4的正方形網(wǎng)格，圖中所標(biāo)示的7個角的角度之和等于()A．585°B．540°C．270°D．315°FFCC（3）若∠A＝40°,∠E＝80°,求∠DBF的度數(shù)。DBABADAD①AB＝CD，BC＝DA②∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD③AB∥CD，BC∥DA，其中正確的是()A.①B.②C.①②D.①②③BB成的，若∠BAC＝150°,則θ的度數(shù)是________.（1）求證：AB＝BC＋BE15、如圖，△ABC中，AC＝BC（1）求證：AB＝BC＋BECCDAEB第五講全等三角形的判定（一）[思考與探究]B．給出兩個條件畫三角形時，有幾種可能的情況，每種情況下作出的三角形一定全等嗎？分別按下列條件做一做.①三角形一內(nèi)角為30°,一條邊為3cm.②三角形兩內(nèi)角分別為30°和50°.③三角形兩條邊分別為4cm、6cm.[發(fā)現(xiàn)]給出一個或二個條件時，兩個三角形不能保證全等[思考]如果給出三個條件時，兩個三角形會全等嗎？這些條件可以怎樣分類？[操作]1、已知一個三角形的三條邊長分別為6cm、8cm、10cm．你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形剪下與同伴畫的三角形進(jìn)行比較，它們?nèi)葐?？[尺規(guī)作圖]畫出的△A′B′C′剪下來，放在△ABC上，它們能完全重合嗎？（即全等嗎）2．分別以B′、C′為圓心，線段AB、AC為半徑畫弧，兩弧交于點A′；（1）判定方法：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或“SSS（2）判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等.【例1】如圖所示，△ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連接點A與BC中點D的支架，求證△ABD≌△ACD【例【例2】如圖,已知AC=AD,BC=BD,求證AB是∠DAC的平分線.CBAD[探究]通過前面的操作，我們知道當(dāng)滿足三個角相等時，兩個三角形不一定全等，當(dāng)滿足三條邊相等時，兩個三角形全等，如果滿足二條邊和一角對應(yīng)相等時，兩個三角形全等嗎？3、以點A為圓心，以4厘米為半徑作弧交射線OB于E，連結(jié)DE[操作2][思考]在以上的操作中，又滿足了哪些條件呢？通過以上操作，你認(rèn)為二個三角形滿足什么兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫為“邊角邊”或“SAS[尺規(guī)作圖]角平分線的畫法【例1】如圖所示有一池塘，要測池塘兩側(cè)A、B的距離，可先在平地上取一個可以直接到達(dá)A和B的點，連接AC并延長到D，使CD=CA，連接BC并延長到E，使CE=C邊角邊公理證明△ABC≌△CDA，需要三個條件，這二是；還需要一個條件 (這個條件可以證得嗎？).(2)如圖4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1=∠2，要用邊角邊公理證明△ABD≌ACE，需要滿足的三個條件中，已具有兩個條件： (這個條件可以證得嗎？).【例3】已知:如圖,AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF.【例4】如圖,已知：AB=AC,BD=CD,E為AD上一點,求證：∠BED=∠CED【課后作業(yè)】2、如圖所示，已知AB＝CD，AD＝CB，∠1＝40°,∠2＝80°,則∠A＝________.3、如圖，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，則①∠C=∠B，②∠D=∠E，③∠EAD=∠BAC，④∠B=∠E，其中錯誤的結(jié)論是()A．AD＝AE，BE＝CDB．AD＝AE，BD＝CEC．AB＝AC，AD＝AE，BE＝CDD．AB＝AE，AC＝AD5、如圖，D為AE延長線上一點，且AB＝AC，EB＝EC，則圖中共有全等三角形()6、如圖所示，AC＝AD，BC＝BD，∠1＝32°,∠2＝28°,則∠CBE＝________.7、如圖，已知AB＝DC，AC＝DB，若要證明∠A=∠D，則要添加的輔助線是.8、如圖所示，F(xiàn)、C在線段BE上，且∠1=∠2，BC＝EF，若要根據(jù)“≌△CBA，理由是________，則∠BAC=∠DCA，理由是________，則AB∥DC，理由是________13、如圖所示，AD＝AE，BD＝CE，∠ADB=∠AEC＝100°,∠BAE＝70°,求∠C的度數(shù)15、如圖，已知AB＝CD，AC＝BD，求證：∠A=∠DEAFEAF（1）求證：∠C=∠E（2）求證：∠CDE=∠BAD第六講全等三角形的判定（二）到目前為止，可以作為判別兩三角形全等的方法有幾種？各是什么？三角形中已知兩角一邊有幾種可能？[問題]如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶哪塊去？[做一做]三角形的兩個內(nèi)角分別是60°和80°,它們的夾邊為4cm，你能畫一個三角形同時滿足這些條件嗎？將你畫的三角形剪下，與同伴比較，觀察它們是不是全等，你能兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA[思考]在一個三角形中兩角確定，第三個角一定確定．我們是不是可以不作圖，用“ASA”推出“兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩三角形全等”呢？【例2】如下圖，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求證：AD=AE.ADOAAFED【課后作業(yè)】1、下列各組條件中，能判定△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE，BC＝EF，∠A=∠DB.∠A=∠D，∠C=∠F，AC＝EFC．AB＝DE，BC＝EF，△ABC的周長=△DEF的周長D.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（2）∠B=∠C，________；①如果兩個三角形可以依據(jù)“AAS”來判定全等，那么一定也可以③要判定兩個三角形全等，給出的條件中至少要有一條邊對應(yīng)相等．正確的是()②AB＝DE，∠B=∠E，BC＝EF；③∠B=∠E，BC＝EF，∠C=∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有()5、在△ABC與△A＇B＇C＇中，∠A=∠ACD和C＇D＇分別是AB邊和A＇B＇邊上的中可構(gòu)成正確命題的個數(shù)為()6、如圖，AB＝AC，AD＝AE，BD交CE③OA平分BAC；④S△AOB＝S△AOC．其中正確的是()A.①②B.①③C.①②④D.①②③④7、如圖，點C是BD的中點，∠1=∠2．請補充一個條件使△ABC≌△EDC．若用“ASA”證，補充的條添加一個適當(dāng)?shù)臈l件，使得AC＝DF9、如圖，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求證：AB＝AD10、已知：如圖，B、C、E三點在同一條直線上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD=∠B．求證：△ABC≌11、已知：點B、E、C、F在同一直線上，AB＝DE，∠A=∠D，AC∥DF.求證1）△ABC≌△DEF；F、E.求證：BE＝CF第七講直角三角形全等的條件(HL)[問題]如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但兩個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量播放課件）3．以B′為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C′N于點A′。連接A′B′?！纠?】如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求證BC=AD.【課后作業(yè)】1、下列條件不能判斷兩個直角三角形全等的是()A．兩條直角邊分別對應(yīng)相等B．斜邊和一個銳角分別對應(yīng)相等C．兩個銳角對應(yīng)相等D．斜邊和一直角2、如圖，AD⊥BD于D，若根據(jù)“HL”判定△ABD≌△ACD，還需要________條件，若所加條件為=∠C，則可用________判定.=CF，這樣可證Rt△BCE≌Rt△CBF，理由是________.6、如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC＝BD，那么下列結(jié)論：①Rt△ABD≌Rt△BAC，②AD＝BC，③∠ABC=∠BAD，④∠DAC=∠CBD．其中正確的是()7、如圖所示，已知AE＝CE，∠B=∠D=∠AEC＝90°,AB＝8cm，CD＝3cm，則BD＝______A．DE＝DBB．DE＝AEC．AE＝BE10、如圖，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°,點P在AB上，AD⊥C足．AE=CF，求證：∠ACB=90°.【例6】已知：BC＝EF，BC∥EF，∠A=∠D，∠ABF=∠DEC。求證：AF＝DC?！菊n后作業(yè)】2、如圖，CD=CA，∠1=∠2，EC=求證1）△ABC≌△AED2）OB=OE.9、如圖，點C,E分別為△ABD的邊BD、AB上兩點，且AE=AD,C（1）△ABC≌△DEF2）∠CBF=∠FEC.DDFECAB（2求證：CP=CD[問題]如圖，是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是已知：∠AOB.（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N.12（3）作射線OC，射線OC即為所求.按以下步驟折紙將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊然后展開，觀察兩次折疊已知：OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E求證：PD=PE角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.【例2】如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P．求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.且交BC的延長線于E?！菊n后作業(yè)】1、如圖所示，∠B=∠C＝90°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)填空：（1）若∠1=∠2，則________＝________；（2）若∠3=∠4，則________＝________.2、如圖所示，下列推理中正確的個數(shù)是()C.∠CPO=∠DPO5、如圖，∠C＝90°,AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5cm，BD＝3cm，則點D到AB的距離A．5cmB．3cmC．2cmD．不能確定關(guān)系是()A．OD＞OE8、如圖，AB＝AD，∠ABC=∠ADC＝90°,則①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④BD平分∠ADC中，正確的結(jié)論是()F在AC上，BD＝DF．求證1）DC＝DE2）CF＝EB.[思考]角平分線上的點到角兩邊的距離相等，這里的條件是 ；結(jié)論是_________如果將條件和結(jié)論互換，則可以得到命題 求證：點P在∠AOB的平分線上.【例2】如圖，已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求證：D在∠BAC的平分線上.【例3】如圖，∠CAB的角平分線與∠ACB的外角平分線交于點P，求證：BP平分∠CBN【例4】如圖所示，BD平分∠ABC，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N為垂足．求證：PM=PN.于F，EG⊥AC交AC延長線于G，求證：BF=CG。【思考】若OC為∠AOB的角平分線，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，除了可以得到DP=PE之外，【例6】如圖，D是∠EAF平分線上的一點，若∠ACD+∠ABD=180°,求證CD=DB【課后作業(yè)】1、如圖，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB，∠MON＝50°,∠OPC＝30°,則∠PCA=2、如圖，在△ABC中，∠B＝90°,點O到AB、BC兩邊的距離相等，則∠AOC的度數(shù)為應(yīng)是________的平分線與________于P的位置說法最準(zhǔn)確的是()A．BD＋DE＝BCB．DE平分∠ADBC．AD平分∠EDCD．AC＝AE則下列結(jié)論中不正確的是()A．DA平分∠EDFB．AE＝AFAFG；②△AED≌△AFD；③△DEG≌△DFG；④△BDE≌△CDF中正確的個數(shù)有()個加油站的位置共有()10、如圖，∠B=∠C＝90°,M是BC的中點，DM平分∠ADC．求證1）AM平分∠11、如圖，已知∠CAD=∠CDA，AC＝BD，E在BC上，DE＝EC，求證：AD平分∠BAE.第十一講與角平分線有關(guān)的問題（一）利用角平分線條件直接找出（或構(gòu)造）全等三角形。BC交AB于E，求證：AC=AE.CO1A2ABEDBE（二）利用“角平分線+垂直”構(gòu)造全等三角形E，求證：BD=2AE。(三)利用角平線在角兩邊截取兩條相等的線段構(gòu)造全等三角形AC=AE+CD.(四)已知角平分線或要證明角平分線時可考慮作垂線構(gòu)造直角三角形全等.求證:AF-AB=BE.FMD1A2BA2E【例5】如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE，AD，BE交（1）求證：△ACD≌△BCE；BHMDNEAC（五）角平分線中的一個常見基本圖形和基本結(jié)論③∠3+∠4=180°;④OA+OB=20M，若把其中任兩個作為條件，都可得出另兩個結(jié)論（1）已知：①②,求證③④（3）已知：①④,求證②③AB4OMC2（2）已知：①③,求證②④（4）已知：②③,求證①④ABAB43M2【例7】.如圖，點M（2，2將一個90°的角尺的直角頂點放在M處，角尺的兩邊分別交yx軸、y軸正半軸于A、B，AP平分∠OAB交OM于P，PN⊥x軸于N，把角yB（1）求證：OM平分∠AOB；BPxAxA1（3）ON+AB的值是否發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論2【課后作業(yè)】=2CE.9、如圖，AD是∠BAC的平分線，P是AD上的任意一點，且AB＞AC，求證：AB-AC＞P【觀察探案】觀察下面的圖片，它們都有些什么共同特征?你還可以舉出一些例子嗎？概念：如果一個圖形沿一直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線（成【試一試】像這樣，把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點.[辨析]軸對稱與軸對稱圖形是同一概念嗎？成軸對稱的兩個圖形具有怎么的關(guān)系？圖中A、A′是對稱點，AA′與MN垂直，BB′和CC′也與MN垂直.AA′、BB′和CC′與MN除了垂直以外還有什似地，軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線.1．用平面圖將上述問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，先作出線段AB，過AB中點討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律.垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．即【例1】已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，【思考】你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上[尺規(guī)作圖]用尺規(guī)作線段的垂直平分線已知:線段AB,如圖.求作:線段AB的垂直平分線.作法:122.作直線CD.則直線CD就是線段AB的垂直平分線.[思考]剛才的作圖中，體現(xiàn)了哪些相等的條件，你能說明為什么這樣做出來的就是垂直平【尺規(guī)作圖】作軸對稱圖形作△ABC關(guān)于直線的對稱圖形？（【課后作業(yè)】1、如下書寫的四個漢字，其中為軸對稱圖形的是()A.上B.C.D.2、圖所示的四個圖案中的軸對稱圖形，只有一條對稱軸的是()沿直線DE折疊，點A落在點A＇處，且點A＇在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為cm.4、（2009，黃岡）如圖，△ABC與△A＇B＇C＇關(guān)于直線l對稱，且∠A＝78°,∠C48°,則∠B的度數(shù)為()則線段PB的長度為()8、如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有()A．AB垂直平分CD9、如圖所示，C是線段AB的垂直平分線上的一點，垂足為D，則下列結(jié)論中正確的有()①AD=BD；②AC＝BC；③∠A=∠B；④∠ACD=∠BCD；⑤∠ADC=∠BDC＝90°.則△BEC的周長為()若P1P2＝5cm，則△PMN的周長是()A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm13、如圖，已知△ABC中，∠A＝50°,∠B60°,AC的垂直平分線交AB于Q，垂足為P，則∠若AC＝8cm，△ABE的周長為14cm，求AB的長.AA處的一只老鼠正向洞口逃竄，若貓以與老鼠同樣[操作]請利用軸對稱的知識作一個等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角1．等腰三角形是軸對稱圖形嗎？請找出它的對稱軸.1等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）1、如圖，△ABC中，AB=AC，求證∠B=∠C2、如圖，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求證BD=CD,AD⊥BC以上結(jié)論用符號語言描述為（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠_=∠__,__=_;（2）∵AB=AC，AD是中線，∴∠_=∠_,_⊥_;（3）∵AB=AC，AD是角平分線，∴_⊥_,_=__A【例1】如圖，在△ABC中，AB=AC，點D求：△ABC各角的度數(shù).ADD【例2】如圖所示，在等腰△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E在AD上。求證：BE=CE。AD=AE。求證：BD=CE。[思考]：若△ABC為等腰直角三角形，除了以上結(jié)論外，你還可以得到哪些角或線段的關(guān)系【課后作業(yè)】1、等腰三角形的對稱軸是()2、等腰三角形的頂角為80°,則一腰上的高與底邊的夾角為()3、一個等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為()4、△ABC中，AB＝AC，AD⊥CB于D，則下列兩角關(guān)系中正確的是()C.∠BAC=∠ACDD.∠BAC=∠CAD5、若等腰三角形的一個內(nèi)角等于88°,則另兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為()7、如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A等于()∠GEF的度數(shù)是(9、已知等腰△ABC的周長是40cm，AD為底邊上的高，△ABD的周長為30cm，則AD的長為10、已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為()11、如圖，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°,則∠BDC的度數(shù)為________使∠BAD=∠CAE＝90°,則∠DBC=________度=AE，DE的延長線交BC于點F．求證：DF⊥BC。求∠BCD、∠DBC的度數(shù)圖1、求證1）PD=PE（2）AD+EC=AB第十四講等腰三角形的判定[問題]某地質(zhì)專家為估測一條東西流向河流的在這棵樹的正南方(南岸A