2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1合情推理學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-2．1.1合情推理[目標(biāo)]1.結(jié)合實(shí)例，能說出合情推理的含義.2.能利用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)潔的推理.3.體會(huì)并相識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)覺中的作用．[重點(diǎn)]合情推理及歸納推理的定義．[難點(diǎn)]歸納推理的基本方法．學(xué)問點(diǎn)一歸納推理[填一填]1．歸納推理的含義由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)．2．歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理．[答一答]1．為什么歸納推理所得的結(jié)論不肯定正確？什么狀況下得出的結(jié)論肯定正確？提示：在歸納推理中，由于前提一般是部分的，因此依據(jù)同一個(gè)前提不同的人可能得出不同的結(jié)論，即結(jié)論不唯一．這就說明歸納推理所得的結(jié)論不肯定正確．在歸納過程中，窮盡了全部歸納對(duì)象，假如歸納的前提是真的，那么歸納所得的結(jié)論也肯定是真的．這種歸納推理是一種必定性的推理，可以用來作為嚴(yán)格證明的工具．學(xué)問點(diǎn)二類比推理[填一填]1．類比推理的含義由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比)．2．類比推理的特征類比推理是由特別到特別的推理．[答一答]2．類比推理適合在什么狀況下運(yùn)用？它得出的結(jié)論肯定正確嗎？提示：當(dāng)給出的是兩類不同的對(duì)象，且它們具有一些類似的特征時(shí)，可以運(yùn)用類比推理．它得出的結(jié)論也是揣測(cè)性的，不肯定正確．3．?dāng)?shù)學(xué)中常見的類比有哪些？提示：數(shù)學(xué)中常見的類比：直線與平面、平面與空間、方程與不等式、一元與多元、等差數(shù)列與等比數(shù)列等．學(xué)問點(diǎn)三合情推理及其推理過程[填一填]1．合情推理的含義歸納推理和類比推理都是依據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過視察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，它們統(tǒng)稱為合情推理．2．合情推理的思維過程[答一答]4．合情推理是指“合乎情理”的推理，那么由合情推理得到的結(jié)論就肯定正確，對(duì)嗎？提示：不肯定．合情推理包括歸納推理與類比推理，而由歸納推理與類比推理得到的結(jié)論不肯定正確，所以合情推理得到的結(jié)論就不肯定正確．5．合情推理的作用是什么？提示：合情推理是指“合乎情理”的推理．?dāng)?shù)學(xué)探討中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理經(jīng)常能幫助我們猜想和發(fā)覺結(jié)論；證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理經(jīng)常能為我們供應(yīng)證明的思路和方向．歸納推理與類比推理的異同點(diǎn)類型一數(shù)式中的歸納推理【例1】已知：1>eq\f(1,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2；….依據(jù)以上不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，請(qǐng)你歸納一般結(jié)論．【思路分析】視察不等式左邊最終一項(xiàng)的分母特點(diǎn)為2n－1，不等式右邊為eq\f(n,2)，由此可得一般性結(jié)論．【解】1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左邊最終一項(xiàng)的分母為2n－1，而不等式右端依次分別為：eq\f(1,2)，eq\f(2,2)，eq\f(3,2)，eq\f(4,2)，…，eq\f(n,2).歸納得一般結(jié)論：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)(n∈N＋)．依據(jù)給出的數(shù)與式，歸納一般結(jié)論的思路：1視察數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特征，如數(shù)、式與符號(hào)的關(guān)系，代數(shù)式的相同或相像之處等；2提煉出數(shù)、式的改變規(guī)律；3運(yùn)用歸納推理寫出一般結(jié)論.(1)已知an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n，把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如下的三角形：a1a2a3a5a6a7a……記A(s，t)表示第s行的第t個(gè)數(shù)，則A(11,12)＝(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))67 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))68C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))111 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))112解析：該三角形每行所對(duì)應(yīng)元素的個(gè)數(shù)為1,3,5……那么第10行的最終一個(gè)數(shù)為a100，第11行的第12個(gè)數(shù)為a112，即A(11,12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))112.(2)已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，則f2014(x)的表達(dá)式為eq\f(x,1＋2014x).解析：由f1(x)＝eq\f(x,1＋x)?f2(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,1＋x)))＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋x))＝eq\f(x,1＋2x)；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(\f(x,1＋2x),1＋\f(x,1＋2x))＝eq\f(x,1＋3x)，故可猜想f2014(x)＝eq\f(x,1＋2014x).類型二幾何圖形中的歸納推理【例2】(1)有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()A．26B．31C．32D．36(2)把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)閭€(gè)數(shù)等于這些數(shù)目的點(diǎn)可以分別排成一個(gè)正三角形(如下圖)，試求第七個(gè)三角形數(shù)是________．【解析】(1)法1：有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123…個(gè)數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5×(6－1)＝31.法2：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無紋正六邊形需6個(gè)有紋正六邊形圍繞(題中圖案1)外，每增加一塊無紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形(每兩塊相鄰的無紋正六邊形之間有一塊“公共”的菱形紋正六邊形)，故第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)為：6＋5×(6－1)＝31.故選B.(2)第七個(gè)三角形數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.【答案】(1)B(2)28解決與圖形有關(guān)的歸納推理問題常從以下兩個(gè)方面著手：(1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值改變與數(shù)量的關(guān)系；(2)從圖形的結(jié)構(gòu)改變規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次改變后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的改變．如下圖，第n個(gè)圖形是由正n＋2邊形“擴(kuò)展”而來(n＝1,2,3，…)，則第n個(gè)圖形中的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為(B)A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)C．n2 D．n解析：第一個(gè)圖形共有12＝3×4個(gè)頂點(diǎn)，其次個(gè)圖形共有20＝4×5個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)圖形共有30＝5×6個(gè)頂點(diǎn)，第四個(gè)圖形共有42＝6×7個(gè)頂點(diǎn)，故第n個(gè)圖形共有(n＋2)(n＋3)個(gè)頂點(diǎn)．類型三類比推理的應(yīng)用【例3】找出圓與球的相像性質(zhì)，并用圓的下列性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì)．(1)圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦；(2)與圓心距離相等的兩弦長相等；(3)圓的周長C＝πd(d是直徑)；(4)圓的面積S＝πr2.【思路分析】先找出相像的性質(zhì)再類比，一般是點(diǎn)類比線、線類比面、面類比體．【解】圓與球有下列相像的性質(zhì)：(1)圓是平面上到肯定點(diǎn)的距離等于定長的全部點(diǎn)構(gòu)成的集合；球面是空間中到肯定點(diǎn)的距離等于定長的全部點(diǎn)構(gòu)成的集合．(2)圓是平面內(nèi)封閉的曲線所圍成的對(duì)稱圖形；球是空間中封閉的曲面所圍成的對(duì)稱圖形．通過與圓的有關(guān)性質(zhì)類比，可以推想球的有關(guān)性質(zhì).類比推理應(yīng)從詳細(xì)問題動(dòng)身，通過視察、分析、比較、聯(lián)想進(jìn)行歸納、類比、提出猜想，在進(jìn)行類比推理時(shí)，留意比較兩個(gè)對(duì)象的相像之處，從而找到可以類比的兩個(gè)量，然后加以猜想，而類比結(jié)論的正確與否需證明.類比三角形中的性質(zhì)：(1)兩邊之和大于第三邊；(2)中位線長等于對(duì)應(yīng)底邊的一半；(3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)．可得四面體的對(duì)應(yīng)性質(zhì)：(1)隨意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；(2)過四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的截面面積等于第四個(gè)面面積的eq\f(1,4)；(3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)．其中類比推理方法正確的有(C)A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不對(duì)解析：以上類比推理方法都正確，需留意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確結(jié)論也不肯定正確．類比推理的結(jié)論作為推理依據(jù)致誤【例4】已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是非零實(shí)數(shù)，不等式a1x2＋b1x＋c1<0，a2x2＋b2x＋c2<0的解集分別為M，N，則“eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)”是“M＝N”成立的________條件(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一種)．【錯(cuò)解】由eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)知兩個(gè)不等式同解，即“eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)”是“M＝N”成立的充要條件．【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解將方程的同解原理類比到不等式中，忽視了不等式與等式的本質(zhì)區(qū)分．【正解】當(dāng)eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)時(shí)，可取a1＝b1＝c1＝1，a2＝b2＝c2＝－1，則M＝?，N＝R，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)?M＝N；當(dāng)M＝N＝?時(shí)，可取a1＝b1＝c1＝1，a2＝1，b2＝2，c2＝3，則eq\f(a1,a2)≠eq\f(b1,b2)≠eq\f(c1,c2)，即M＝N?eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2).綜上知“eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)”是“M＝N”成立的既不充分又不必要條件．【答案】既不充分又不必要【解后反思】類比推理是不嚴(yán)格的，所得結(jié)論的正確與否有待用實(shí)踐來證明，解題時(shí)若干脆運(yùn)用類比所得結(jié)論進(jìn)行推理則簡(jiǎn)潔出現(xiàn)錯(cuò)誤．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．解析：等比數(shù)列類比等差數(shù)列時(shí)，其中積類比和，除法類比減法，于是可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．1．?dāng)?shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(B)A．28B．32C．33D．27解析：由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9,3、6、9均是3的倍數(shù)，所以可揣測(cè)x－20＝12，即x＝32.驗(yàn)證47－32＝15符合上述規(guī)律．2．下列推理正確的是(D)A．把a(bǔ)(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(bǔ)(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把a(bǔ)(b＋c)與ax＋y類比，則有ax＋y＝ax＋ayD．把a(bǔ)(b＋c)與a·(b＋c)類比，則有a·(b＋c)＝a·b＋a·c解析：選項(xiàng)A、B、C沒有從本質(zhì)上類比，是簡(jiǎn)潔類比，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤．對(duì)選項(xiàng)D，a(b＋c)＝ab＋ac，故類比a·(b＋c)＝a·b＋a·c是正確的．3．視察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，……照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).解析：由前幾個(gè)不等式可知1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1).所以第五個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).4．若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則有S2n－1＝(2n－1)an，類似地，若Tn是等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積，則有T2n－1＝beq\o\al(2n－1,n).解析：T2n－1＝