2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程課時(shí)作業(yè)152.3.2.1雙曲線的簡單幾何性質(zhì)含解析新人教A版選修2-1

PAGEPAGE5課時(shí)作業(yè)15雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長是(C)A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)解析：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1，故實(shí)軸長為4.2．設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長為2，焦距為2eq\r(3)，則雙曲線的漸近線方程為(C)A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(1,2)x解析：由題意知，2b＝2,2c＝2eq\r(3)，則b＝1，c＝eq\r(3)，a＝eq\r(2).雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.3．雙曲線的實(shí)軸長與虛軸長之和等于其焦距的eq\r(2)倍，且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(B)A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1C．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1 D．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1解析：由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,2a＋2b＝\r(2)·2c，,a2＋b2＝c2，))得a＝2，b＝2.∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1.4．雙曲線x2－eq\f(y2,m)＝1的離心率大于eq\r(2)的充分必要條件是(C)A．m>eq\f(1,2) B．m≥1C．m>1 D．m>2解析：由離心率公式得到關(guān)于m的不等式，求解即可．依題意可知e2＝eq\f(c2,a2)>2，得1＋m>2，所以m>1.5．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為(A)A．eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B．eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C．eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1 D．eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1解析：雙曲線的一條漸近線為y＝eq\f(b,a)x，又P(2,1)在雙曲線的漸近線上，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2b.又2c＝10，c＝5，且a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.故所求雙曲線方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.6．已知雙曲線C1：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,m－10)＝1與雙曲線C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有相同的漸近線，則雙曲線C1的離心率為(C)A．eq\f(5,4) B．5C．eq\r(5) D．eq\f(\r(5),2)解析：由雙曲線C1：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,m－10)＝1與雙曲線C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有相同的漸近線，可得eq\r(\f(10－m,m))＝2，解得m＝2，此時(shí)雙曲線C1：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1，則雙曲線C1的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2＋8),\r(2))＝eq\r(5)，故選C．7．已知雙曲線eq\f(x2,4－b2)－eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C(0，b)，則△ABC面積的最大值為(B)A．1 B．2C．4 D．8解析：由題意A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\r(4－b2)，0))，因此S△ABC＝beq\r(4－b2)＝eq\r(b24－b2)≤eq\f(b2＋4－b2,2)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)b2＝4－b2，即b＝eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立．故最大值為2.8．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心離為(B)A．eq\r(6) B．eq\r(3)C．eq\r(2) D．eq\f(\r(3),3)解析：由題意，得|F1F2|＝2c，|MF2|＝eq\f(2\r(3),3)c，|MF1|＝eq\f(4\r(3),3)c.由雙曲線定義得|MF1|－|MF2|＝eq\f(2\r(3),3)c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3).二、填空題9．雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的兩條漸近線的方程為y＝±eq\f(3,4)x.解析：令eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝0，解得y＝±eq\f(3,4)x.10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的離心率為eq\r(5)，則m的值為2.解析：由題意得m>0，∴a＝eq\r(m)，b＝eq\r(m2＋4)，∴c＝eq\r(m2＋m＋4)，由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)得eq\f(m2＋m＋4,m)＝5，解得m＝2.11．雙曲線eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1的離心率為e，e∈(1,2)，則k的取值范圍是(－12,0)．解析：由題意知k<0，且a＝2，c＝eq\r(4－k)，∴1<eq\f(\r(4－k),2)<2，解得－12<k<0.三、解答題12．依據(jù)以下條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)過P(3，－eq\r(5))，離心率為eq\r(2)；(2)與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有公共焦點(diǎn)，且離心率e＝eq\f(\r(5),2).解：(1)若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．∵e＝eq\r(2)，∴eq\f(c2,a2)＝2即a2＝b2.①又過點(diǎn)P(3，－eq\r(5))，∴eq\f(9,a2)－eq\f(5,b2)＝1，②由①②得：a2＝b2＝4，雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．同理有：a2＝b2，③eq\f(5,a2)－eq\f(9,b2)＝1，④由③④得a2＝b2＝－4(不合題意，舍去)．綜上所述，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1.(2)由橢圓方程eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，知長半軸a1＝3，短半軸b1＝2，半焦距c1＝eq\r(a\o\al(2,1)－b\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以焦點(diǎn)是F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)．因此雙曲線的焦點(diǎn)也為(－eq\r(5)，0)和(eq\r(5)，0)，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由題設(shè)條件及雙曲線的性質(zhì)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\r(5)，,c2＝a2＋b2，,\f(c,a)＝\f(\r(5),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,c＝\r(5).))即雙曲線方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.13．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(diǎn)(4，－eq\r(10))．(1)求此雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在此雙曲線上，求證：MF1⊥MF2.解：(1)∵離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，∴a＝b.設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝n(n≠0)，∵(4，－eq\r(10))在雙曲線上，∴n＝42－(－eq\r(10))2＝6.∴雙曲線方程為x2－y2＝6.(2)證明：∵M(jìn)(3，m)在雙曲線上，則m2＝3.又F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1·kMF2＝eq\f(m,3＋2\r(3))·eq\f(m,3－2\r(3))＝－eq\f(m2,3)＝－1.∴MF1⊥MF2.——實(shí)力提升類——14．已知雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,25)＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且PF與圓x2＋y2＝16相切于點(diǎn)N，M為線段PF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MN|－|MO|＝－1.解析：設(shè)F′是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF′(圖略)，因?yàn)镸，O分別是FP，F(xiàn)F′的中點(diǎn)，所以|MO|＝eq\f(1,2)|PF′|，由題意可得ON⊥FP，所以|FN|＝eq\r(|OF|2－|ON|2)＝5，由雙曲線的定義知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝－eq\f(1,2)|PF′|＋|MF|－|FN|＝eq\f(1,2)(|PF|－|PF′|)－|FN|＝eq\f(1,2)×8－5＝－1.15．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過點(diǎn)(a,0)和(0，b)，且點(diǎn)(1,0)到直線l的距離與點(diǎn)(－1，0)到直線l的距離之和s≥eq\f(4,5)c，求雙曲線離心率e的取值范圍．解：設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.由點(diǎn)到直線的距離公式，且a>1，得點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d1＝eq\f(ba－1,\r(a2＋b2))，點(diǎn)(－1,0)到直線l的距離d2＝eq\f(ba＋1,\r(a2＋b2)).∴s＝d1＋d2＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2)