2025屆河北省宣化市第一中學(xué)高三第三次測評數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆河北省宣化市第一中學(xué)高三第三次測評數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若集合,,則()A. B. C. D.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B.4 C. D.3.要排出高三某班一天中,語文、數(shù)學(xué)、英語各節(jié),自習(xí)課節(jié)的功課表,其中上午節(jié),下午節(jié),若要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰(注意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是()A. B. C. D.4.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為的共軛復(fù)數(shù)),則的值為()A.1 B.2 C. D.5.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.26.若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D.函數(shù)在上最大值是17.已知直線過雙曲線C:的左焦點F,且與雙曲線C在第二象限交于點A,若(O為坐標原點),則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.8.由曲線圍成的封閉圖形的面積為()A. B. C. D.9.大衍數(shù)列,米源于我國古代文獻《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋我國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,數(shù)列中的每一項,都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則大衍數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式為()A. B. C. D.10.記集合和集合表示的平面區(qū)域分別是和,若在區(qū)域內(nèi)任取一點,則該點落在區(qū)域的概率為()A. B. C. D.11.2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”,某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動,現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中,醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院,醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院,醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院,其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以,若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生,則不同的分配方案共有()A.18種 B.20種 C.22種 D.24種12.已知,則()A. B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的角所對的邊分別為,且,,若,則的值為__________.14.已知函數(shù)在處的切線與直線平行,則為________.15.已知,則_____.16.平面向量,,(R),且與的夾角等于與的夾角,則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱柱中,平面,,,分別為,的中點.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知分別是橢圓的左、右焦點,直線與交于兩點,,且.(1)求的方程;(2)已知點是上的任意一點,不經(jīng)過原點的直線與交于兩點,直線的斜率都存在,且,求的值.19.(12分)已知直線是曲線的切線.(1)求函數(shù)的解析式,(2)若,證明:對于任意,有且僅有一個零點.20.(12分)某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗,并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點圖(如下圖).表中,.(1)根據(jù)散點圖判斷,與哪一個更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;(3)若單位時間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比,那么,利用第(2)問求得的回歸方程知為多少時,燒開一壺水最省煤氣?附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計值分別為,21.(12分)如圖,正方體的棱長為2,為棱的中點.(1)面出過點且與直線垂直的平面,標出該平面與正方體各個面的交線(不必說明畫法及理由);(2)求與該平面所成角的正弦值.22.(10分)已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定義求解即可.【詳解】解:由集合,解得,則故選:.【點睛】本題考查了并集及其運算,分式不等式的解法,熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的的值,當(dāng),,退出循環(huán),輸出結(jié)果.【詳解】程序運行過程如下:,;,;,;,;,;,;,,退出循環(huán),輸出結(jié)果為,故選:A.【點睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問題,涉及到的知識點有判斷程序框圖輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題目.3、C【解析】

根據(jù)題意,分兩種情況進行討論:①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午;②語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午,一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目,由分類加法計數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分兩種情況進行討論:①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午,要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰,將節(jié)語文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁,然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午,由于節(jié)英語課不加以區(qū)分,此時,排法種數(shù)為種;②語文和數(shù)學(xué)都一個安排在上午,一個安排在下午.語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午,一個安排在下午,但節(jié)語文課不加以區(qū)分,節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分,節(jié)英語課也不加以區(qū)分,此時,排法種數(shù)為種.綜上所述,共有種不同的排法.故選:C.【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分類計數(shù)原理的應(yīng)用,屬于中等題.4、D【解析】

按照復(fù)數(shù)的運算法則先求出,再寫出,進而求出.【詳解】,,.故選:D【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模,考查基本運算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點睛】本題考查向量的投影,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式;利用整體對應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點對稱,錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得:當(dāng)時,在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯誤;當(dāng)時,,關(guān)于點對稱,錯誤;當(dāng)時,此時沒有最大值,錯誤.本題正確選項:【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式,通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).7、B【解析】

直線的傾斜角為,易得.設(shè)雙曲線C的右焦點為E,可得中,,則,所以雙曲線C的離心率為.故選B.8、A【解析】

先計算出兩個圖像的交點分別為,再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點睛】本題考察定積分的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.解題時注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.9、B【解析】

直接代入檢驗,排除其中三個即可.【詳解】由題意,排除D,,排除A,C.同時B也滿足,,,故選:B.【點睛】本題考查由數(shù)列的項選擇通項公式,解題時可代入檢驗,利用排除法求解.10、C【解析】

據(jù)題意可知,是與面積有關(guān)的幾何概率,要求落在區(qū)域內(nèi)的概率,只要求、所表示區(qū)域的面積,然后代入概率公式,計算即可得答案.【詳解】根據(jù)題意可得集合所表示的區(qū)域即為如圖所表示:的圓及內(nèi)部的平面區(qū)域,面積為,集合,,表示的平面區(qū)域即為圖中的,,根據(jù)幾何概率的計算公式可得,故選:C.【點睛】本題主要考查了幾何概率的計算,本題是與面積有關(guān)的幾何概率模型.解決本題的關(guān)鍵是要準確求出兩區(qū)域的面積.11、B【解析】

分兩類:一類是醫(yī)院A只分配1人,另一類是醫(yī)院A分配2人,分別計算出兩類的分配種數(shù),再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類:第一類:若醫(yī)院A只分配1人,則乙必在醫(yī)院B,當(dāng)醫(yī)院B只有1人,則共有種不同分配方案,當(dāng)醫(yī)院B有2人,則共有種不同分配方案,所以當(dāng)醫(yī)院A只分配1人時,共有種不同分配方案;第二類:若醫(yī)院A分配2人,當(dāng)乙在醫(yī)院A時,共有種不同分配方案,當(dāng)乙不在A醫(yī)院,在B醫(yī)院時,共有種不同分配方案,所以當(dāng)醫(yī)院A分配2人時,共有種不同分配方案;共有20種不同分配方案.故選:B【點睛】本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用,在做此類題時,要做到分類不重不漏,考查學(xué)生分類討論的思想,是一道中檔題.12、B【解析】

結(jié)合求得的值,由此化簡所求表達式,求得表達式的值.【詳解】由,以及,解得..故選:B【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值,考查二倍角公式,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先利用余弦定理求出,再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式,結(jié)合可求的值.【詳解】因為,故,因為,所以.由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足,所以即.因為,解得或(舍).故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,注意結(jié)合求解目標對所得的方程組變形整合后整體求解,本題屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)題意得出,由此可得出實數(shù)的值.【詳解】,,直線的斜率為,由于函數(shù)在處的切線與直線平行,則.故答案為:.【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù),解題時要結(jié)合兩直線的位置關(guān)系得出兩直線斜率之間的關(guān)系,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

對原方程兩邊求導(dǎo),然后令求得表達式的值.【詳解】對等式兩邊求導(dǎo),得,令,則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式,考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件,考查賦值法,屬于中檔題.16、2【解析】試題分析:,與的夾角等于與的夾角,所以考點:向量的坐標運算與向量夾角三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)詳見解析;(2).【解析】

(1)連接,,則且為的中點,又∵為的中點,∴,又平面,平面,故平面.(2)由平面,得,.以為原點,分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè),則,,,,,.取平面的一個法向量為,由,得:,令,得同理可得平面的一個法向量為∵平面平面,∴解得,得,又,設(shè)直線與平面所成角為,則.所以,直線與平面所成角的正弦值是.18、(1)(2)【解析】

(1)不妨設(shè),,計算得到,根據(jù)面積得到,計算得到答案.(2)設(shè),,,聯(lián)立方程利用韋達定理得到,,代入化簡計算得到答案.【詳解】(1)由題意不妨設(shè),,則,.∵,∴,∴.又,∴,∴,,故的方程為.(2)設(shè),,,則.∵,∴,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立整理得.∵在上,∴,∴上式可化為.∴,,,∴,,∴.∴.【點睛】本題考查了橢圓方程,定值問題,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.19、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo),并設(shè)切點,利用點既在曲線上、又在切線上,列出方程組,解得,即可得答案;(2)當(dāng)x充分小時,當(dāng)x充分大時,可得至少有一個零點.再證明零點的唯一性,即對函數(shù)求導(dǎo)得,對分和兩種情況討論,即可得答案.【詳解】(1)根據(jù)題意,,設(shè)直線與曲線相切于點.根據(jù)題意,可得,解之得,所以.(2)由(1)可知,則當(dāng)x充分小時,當(dāng)x充分大時,∴至少有一個零點.∵,①若,則,在上單調(diào)遞增,∴有唯一零點.②若令,得有兩個極值點,∵,∴,∴.∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∴極大值為.,又,∴在(0,16)上單調(diào)遞增,∴,∴有唯一零點.綜上可知,對于任意,有且僅有一個零點.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運用、利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的零點個數(shù),考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意零點存在定理的運用.20、(1)選取更合適;(2);(3)時,煤氣用量最小.【解析】

(1)根據(jù)散點圖的特點,可得更適合;(2)先建立關(guān)于的回歸方程,再得出關(guān)于的回歸方程;(3)寫出函數(shù)關(guān)系,利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.【詳解】(1)選取更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型;(2)由公式可得:,,所以所求回歸直線方程為:;(3)根據(jù)題意,設(shè),則煤氣用量,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,即時,煤氣用量最小.【點睛】此題考查根據(jù)題意求回歸方程,利用線性回歸方程的求法得解,結(jié)合基本不等式求最值.21、(1)見解析(2).【解析】

(1)與平面垂直,過點作與平面平行的平面即可(2)建立空間直角坐標系求線面角正弦值【詳解】解:(1)截面如下圖所示:其中,,,,分別為邊,,,,的中點,則垂直于平面.(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面的一個法向量為,則.不妨取,則,所以

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