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文檔簡介
沙頭角中學(xué)2025屆高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,若,則實(shí)數(shù)的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或72.已知集合,則()A. B.C. D.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的()A.2 B.3 C. D.4.若不等式對恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知數(shù)列為等比數(shù)列,若,且,則()A. B.或 C. D.6.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且滿足,若在中,,則()A. B. C. D.7.陀螺是中國民間最早的娛樂工具,也稱陀羅.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某個陀螺的三視圖,則該陀螺的表面積為()A. B.C. D.8.設(shè)橢圓:的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn),則橢圓E的離心率是()A. B. C. D.9.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的實(shí)部與虛部相等,則的值為()A. B. C. D.10.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn),是線段上的點(diǎn),且,則直線的斜率的最大值為()A.1 B. C. D.11.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計(jì),煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位:)服從正態(tài)分布,則直徑在內(nèi)的概率為()附:若,則,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.954412.設(shè)函數(shù),則,的大致圖象大致是的()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知關(guān)于的不等式對于任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.14.展開式中的系數(shù)為_______________.15.若隨機(jī)變量的分布列如表所示,則______,______.-10116.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析,決定從本班24名女同學(xué),18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為7的樣本進(jìn)行分析.(1)如果按照性別比例分層抽樣,可以得到多少個不同的樣本?(寫出算式即可,不必計(jì)算出結(jié)果)(2)如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué),物理成績(單位:分)對應(yīng)如下表:學(xué)生序號1234567數(shù)學(xué)成績60657075858790物理成績70778085908693①若規(guī)定85分以上(包括85分)為優(yōu)秀,從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué),記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;②根據(jù)上表數(shù)據(jù),求物理成績關(guān)于數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?6分,預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜??附:線性回歸方程,其中,.768381252618.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,過的直線與曲線相交于,兩點(diǎn).(1)若的斜率為2,求的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;(2)求的值.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若恒成立,求的取值范圍.20.(12分)已知圓的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是是參數(shù)),若直線與圓相切,求實(shí)數(shù)的值.21.(12分)如圖所示,已知平面,,為等邊三角形,為邊上的中點(diǎn),且.(Ⅰ)求證:面;(Ⅱ)求證:平面平面;(Ⅲ)求該幾何體的體積.22.(10分)設(shè)前項(xiàng)積為的數(shù)列,(為常數(shù)),且是等差數(shù)列.(I)求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,且,求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,化簡即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,代入化簡可得.∴解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
先由得或,再計(jì)算即可.【詳解】由得或,,,又,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集,補(bǔ)集的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.3、B【解析】
運(yùn)行程序,依次進(jìn)行循環(huán),結(jié)合判斷框,可得輸出值.【詳解】起始階段有,,第一次循環(huán)后,,第二次循環(huán)后,,第三次循環(huán)后,,第四次循環(huán)后,,所有后面的循環(huán)具有周期性,周期為3,當(dāng)時(shí),再次循環(huán)輸出的,,此時(shí),循環(huán)結(jié)束,輸出,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識,經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題型.4、B【解析】
轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求函數(shù)最值,即得解.【詳解】由,可知.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以.所以.故的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.5、A【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得,通分化簡即可.【詳解】由題意,數(shù)列為等比數(shù)列,則,又,即,所以,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了推理能力與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
根據(jù)的結(jié)構(gòu)形式,設(shè),求導(dǎo),則,在上是增函數(shù),再根據(jù)在中,,得到,,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性,得到,再利用的單調(diào)性求解.【詳解】設(shè),所以,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,即,所以,在上是增函數(shù),在中,因?yàn)?,所以,,因?yàn)?,且,所以,即,所以,即故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.7、C【解析】
畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可,【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖:上部是底面半徑為1,高為3的圓柱,下部是底面半徑為2,高為2的圓錐,幾何體的表面積為:,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.8、C【解析】
連接,為的中位線,從而,且,進(jìn)而,由此能求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,連接,橢圓:的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),不妨設(shè)B在第二象限,直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn)為的中位線,,且,,解得橢圓的離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì),考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法,以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】,又的實(shí)部與虛部相等,,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.10、A【解析】
設(shè),因?yàn)椋玫?,利用直線的斜率公式,得到,結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】由題意,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè),因?yàn)?,即線段的中點(diǎn),所以,所以直線的斜率,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立,所以直線的斜率的最大值為1.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用,直線的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.11、C【解析】
根據(jù)服從的正態(tài)分布可得,,將所求概率轉(zhuǎn)化為,結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意,,,則,,所以,.故果實(shí)直徑在內(nèi)的概率為0.8185.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題,考查了正態(tài)曲線的對稱性,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
采用排除法:通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A;通過判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號排除選項(xiàng)D和選項(xiàng)C即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A:由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)椋潢P(guān)于原點(diǎn)對稱,因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故選A排除;對于選項(xiàng)D:因?yàn)?故選項(xiàng)D排除;對于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先將不等式對于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立,設(shè),求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題可知,不等式對于任意恒成立,即,又因?yàn)?,,對任意恒成立,設(shè),其中,由不等式,可得:,則,當(dāng)時(shí)等號成立,又因?yàn)樵趦?nèi)有解,,則,即:,所以實(shí)數(shù)的取值范圍:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題,利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù),通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.14、【解析】
把按照二項(xiàng)式定理展開,可得的展開式中的系數(shù).【詳解】解:,故它的展開式中的系數(shù)為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
首先求得a的值,然后利用均值的性質(zhì)計(jì)算均值,最后求得的值,由方差的性質(zhì)計(jì)算的值即可.【詳解】由題意可知,解得(舍去)或.則,則,由方差的計(jì)算性質(zhì)得.【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列的性質(zhì),均值的計(jì)算公式,方差的計(jì)算公式,方差的性質(zhì)等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16、18【解析】
先由,可得,再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】解:因?yàn)椋裕?故答案為:18.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的運(yùn)算,重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)不同的樣本的個數(shù)為.(2)①分布列見解析,.②線性回歸方程為.可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分.【解析】
(1)按比例抽取即可,再用乘法原理計(jì)算不同的樣本數(shù).(2)名學(xué)生中物理和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有3名學(xué)生,任取3名學(xué)生,都優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)服從超幾何分布,故可得其概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.而線性回歸方程的計(jì)算可用給出的公式計(jì)算,并利用得到的回歸方程預(yù)測該同學(xué)的物理成績.【詳解】(1)依據(jù)分層抽樣的方法,24名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名,18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名,故不同的樣本的個數(shù)為.(2)①∵7名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名,∴的取值為0,1,2,3.∴,,,.∴的分布列為0123∴.②∵,.∴線性回歸方程為.當(dāng)時(shí),.可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分.【點(diǎn)睛】在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率時(shí),注意利用常見的概率分布列來簡化計(jì)算(如二項(xiàng)分布、超幾何分布等).18、(1):,:;(2)【解析】
(1)根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線的直角坐標(biāo)方程,并轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程,利用,將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程.(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程,結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關(guān)系,求得的值.【詳解】(1)的直角坐標(biāo)方程為,即,則的極坐標(biāo)方程為.曲線的普通方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為的傾斜角),代入曲線的普通方程,得.設(shè),對應(yīng)的參數(shù)分別為,,所以,在的兩側(cè).則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo),考查參數(shù)方程化為普通方程,考查直線參數(shù)方程,考查直線參數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】
分析:(1)先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組,分別求解,最后求并集,(2)先化簡不等式為,再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值,最后解不等式得的取值范圍.詳解:(1)當(dāng)時(shí),可得的解集為.(2)等價(jià)于.而,且當(dāng)時(shí)等號成立.故等價(jià)于.由可得或,所以的取值范圍是.點(diǎn)睛:含絕對值不等式的解法有兩個基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動向.20、【解析】
將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,直線的參數(shù)方程化為普通方程,再根據(jù)直線與圓相切,利用圓心到直線的距離等于半徑,即可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】由,得,,即圓的方程為,又由消,得,直線與圓相切,,.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查方程的互化,考查直線與圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離等于半徑,研究直線與圓相切.21、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析;(Ⅲ).【解析】
(I)取的中點(diǎn),連接,通過證明四邊形為平行四邊形,證得,由此證得平面.(II)利用,證得平面,從而得到平面,由此證得平面平面.(III)作交于點(diǎn),易得面,利用棱錐的體積公式,計(jì)算出棱錐的體積.【詳解】(Ⅰ)取的中點(diǎn),連接,則,,故四邊形為平行四邊形.故.又面,平面,所以面.(Ⅱ)為等邊三角形,為中點(diǎn),所以.又,所以面.又,故面,所以面平
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