2025屆上海市高東中學高考仿真卷數(shù)學試題含解析

2025屆上海市高東中學高考仿真卷數(shù)學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某校團委對“學生性別與中學生追星是否有關”作了一次調查，利用列聯(lián)表，由計算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結論是()A．有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星無關”B．有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星無關”D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星有關”2．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．已知（為虛數(shù)單位，為的共軛復數(shù)），則復數(shù)在復平面內對應的點在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．在邊長為1的等邊三角形中，點E是中點，點F是中點，則（）A． B． C． D．5．記為數(shù)列的前項和數(shù)列對任意的滿足.若，則當取最小值時，等于（）A．6 B．7 C．8 D．96．若函數(shù)的圖象上兩點，關于直線的對稱點在的圖象上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設，，，則的大小關系是()A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長均為1，則該幾何體的體積是A． B． C． D．9．已知向量，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．6311．已知平面向量，滿足，，且，則（）A．3 B． C． D．512．已知函數(shù)的零點為m，若存在實數(shù)n使且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），若關于x的方程恰有5個相異的實根，則實數(shù)a的取值范圍為________.14．已知，分別是橢圓：（）的左、右焦點，過左焦點的直線與橢圓交于、兩點，且,，則橢圓的離心率為__________．15．已知集合，則_______．16．函數(shù)的定義域為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某商場為改進服務質量，隨機抽取了200名進場購物的顧客進行問卷調查．調查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下：滿意不滿意男4040女8040（1）是否有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關？（2）為答謝顧客，該商場對某款價格為100元/件的商品開展促銷活動．據(jù)統(tǒng)計，在此期間顧客購買該商品的支付情況如下：支付方式現(xiàn)金支付購物卡支付APP支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應事件發(fā)生的概率，記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為，求的分布列和數(shù)學期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知函數(shù)，為的導數(shù)，函數(shù)在處取得最小值．（1）求證：；（2）若時，恒成立，求的取值范圍．19．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）在平面直角坐標系中，點是直線上的動點，為定點，點為的中點，動點滿足，且，設點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點的直線交曲線于，兩點，為曲線上異于，的任意一點，直線，分別交直線于，兩點.問是否為定值？若是，求的值；若不是，請說明理由.21．（12分）已知，均為正數(shù)，且.證明：（1）；（2）.22．（10分）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004.（1）若小張采取等額本金的還款方式，現(xiàn)已得知第一個還款月應還4900元，最后一個還款月應還2510元，試計算小張該筆貸款的總利息；（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；（3）對比兩種還款方式，從經濟利益的角度來考慮，小張應選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù)：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

通過與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較，可以得出正確的選項.【詳解】解:，可得有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”，故選B.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，屬于基礎題.2、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個選項的正誤.【詳解】對于，，，錯誤；對于，在上單調遞減，，錯誤；對于，，，，錯誤；對于，在上單調遞增，，正確.故選：.【點睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調性比較大小的問題；關鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調性.3、D【解析】

設，由，得，利用復數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設，則，所以，解得，故，復數(shù)在復平面內對應的點為，在第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義，涉及到共軛復數(shù)的定義、復數(shù)的模等知識，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.4、C【解析】

根據(jù)平面向量基本定理，用來表示，然后利用數(shù)量積公式，簡單計算，可得結果.【詳解】由題可知：點E是中點，點F是中點，所以又所以則故選：C【點睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式，掌握公式，細心觀察，屬基礎題.5、A【解析】

先令，找出的關系，再令，得到的關系，從而可求出，然后令，可得，得出數(shù)列為等差數(shù)列，得，可求出取最小值.【詳解】解法一：由，所以，由條件可得，對任意的，所以是等差數(shù)列，，要使最小，由解得，則.解法二：由賦值法易求得，可知當時，取最小值.故選：A【點睛】此題考查的是由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項，采用了賦值法，屬于中檔題.6、D【解析】

由題可知，可轉化為曲線與有兩個公共點，可轉化為方程有兩解，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點，關于直線的對稱點在上，即曲線與有兩個公共點，即方程有兩解，即有兩解，令，則，則當時，；當時，，故時取得極大值，也即為最大值，當時，；當時，，所以滿足條件．故選：D【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.7、A【解析】

選取中間值和，利用對數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】因為對數(shù)函數(shù)在上單調遞增,所以,因為對數(shù)函數(shù)在上單調遞減,所以，因為指數(shù)函數(shù)在上單調遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型.8、B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體，其中三棱柱的高為2，底面是高和底邊均為4的等腰三角形，圓錐的高為4，底面半徑為2，則其體積為，.故選B點睛：由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調整.9、D【解析】

由兩向量垂直可得，整理后可知，將已知條件代入后即可求出實數(shù)的值.【詳解】解：，，即，將和代入，得出，所以.故選:D.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標運算.對于向量問題，若已知垂直，通常可得到兩個向量的數(shù)量積為0，繼而結合條件進行化簡、整理.10、B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結構的運算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結果.【詳解】執(zhí)行程序框；；；；；，滿足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【點睛】本題考查循環(huán)結構輸出結果，模擬程序運行是解題的關鍵，屬于基礎題.11、B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【詳解】解：由，所以，，，故選：B【點睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運算，是基礎題.12、D【解析】

易知單調遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數(shù)即可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調遞增且有惟一的零點為，所以，∴，問題轉化為：使方程在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，而根據(jù)“對勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域為，∴.故選D．【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構造函數(shù)法的應用,考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題,難度較難.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

作出圖象，求出方程的根，分類討論的正負，數(shù)形結合即可.【詳解】當時，令，解得，所以當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，當時，單調遞減，且，作出函數(shù)的圖象如圖：（1）當時，方程整理得，只有2個根，不滿足條件；（2）若，則當時，方程整理得，則，，此時各有1解，故當時，方程整理得，有1解同時有2解，即需，，因為（2），故此時滿足題意；或有2解同時有1解，則需，由（1）可知不成立；或有3解同時有0解，根據(jù)圖象不存在此種情況，或有0解同時有3解，則，解得，故，（3）若，顯然當時，和均無解，當時，和無解，不符合題意．綜上：的范圍是，故答案為：，【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關系，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題．14、【解析】

設,則,,由知,,,作,垂足為C，則C為的中點,在和中分別求出,進而求出的關系式,即可求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,設,則,,由橢圓定義知,,因為,所以,,作,垂足為C，則C為的中點,在中,因為,所以，在中,由余弦定理可得,，即,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:【點睛】本題考查橢圓的離心率和直線與橢圓的位置關系;利用橢圓的定義,結合焦點三角形和余弦定理是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型.15、【解析】

由可得集合是奇數(shù)集，由此可以得出結果.【詳解】解：因為所以集合中的元素為奇數(shù)，所以.【點睛】本題考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性質是本題解題的關鍵.16、【解析】

根據(jù)函數(shù)成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.【詳解】解:要使函數(shù)有意義,則,即.則定義域為:.故答案為:【點睛】本題主要考查定義域的求解,要熟練掌握張建函數(shù)成立的條件.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關；（2）67元，見解析.【解析】

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入公式，結合臨界值即得解；（2）的可能取值為40，60，80，1，根據(jù)題意依次計算概率，列出分布列，求數(shù)學期望即可.【詳解】（1）由題得，所以，有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關.（2）由題意可知的可能取值為40，60，80，1．，，，．則的分布列為4060801所以，（元）．【點睛】本題考查了統(tǒng)計和概率綜合，考查了列聯(lián)表，隨機變量的分布列和數(shù)學期望等知識點，考查了學生數(shù)據(jù)處理，綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）對求導，令，求導研究單調性，分析可得存在使得，即，即得證；（2）分，兩種情況討論，當時，轉化利用均值不等式即得證；當，有兩個不同的零點，，分析可得的最小值為，分，討論即得解.【詳解】（1）由題意，令，則，知為的增函數(shù)，因為，，所以，存在使得，即．所以，當時，為減函數(shù)，當時，為增函數(shù)，故當時，取得最小值，也就是取得最小值．故，于是有，即，所以有，證畢．（2）由（1）知，的最小值為，①當，即時，為的增函數(shù)，所以，，由（1）中，得，即．故滿足題意．②當，即時，有兩個不同的零點，，且，即，若時，為減函數(shù)，（*）若時，為增函數(shù)，所以的最小值為．注意到時，，且此時，（ⅰ）當時，，所以，即，又，而，所以，即．由于在下，恒有，所以．（ⅱ）當時，，所以，所以由（*）知時，為減函數(shù)，所以，不滿足時，恒成立，故舍去．故滿足條件．綜上所述：的取值范圍是．【點睛】本題考查了函數(shù)與導數(shù)綜合，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的最值和不等式的恒成立問題，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，分類討論，數(shù)學運算能力，屬于較難題.19、（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）取中點，根據(jù)，利用線面垂直的判定定理，可得平面，最后可得結果.（2）利用建系，假設長度，可得，以及平面的一個法向量，然后利用向量的夾角公式，可得結果.【詳解】（1）取中點，連接，如圖由，所以由,平面所以平面，又平面所以（2）假設，由，，.所以則，所以又，平面所以平面，所以，又，故建立空間直角坐標系，如圖設平面的一個法向量為則令，所以則直線與平面所成角的正弦值為【點睛】本題考查線面垂直、線線垂直的應用，還考查線面角，學會使用建系的方法來解決立體幾何問題，將幾何問題代數(shù)化，化繁為簡，屬中檔題.20、（1）；（2）是定值，.【解析】

（1）設出M的坐標為，采用直接法求曲線的方程；（2）設AB的方程為，，,，求出AT方程，聯(lián)立直線方程得D點的坐標，同理可得E點的坐標，最后利用向量數(shù)量積算即可.【詳解】（1）設動點M的坐標為，由知∥，又在直線上，所以P點坐標為，又，點為的中點，所以，，，由得，即；（2）設直線AB的方程為，代入得，設，，則，，設，則，所以AT的直線方程為即，令，則，所以D點的坐標為，同理E點的坐標為，于是，，所以，從而，所以是定值.【點睛】本題考查了直接法求拋物線的軌跡方程、直線與拋物線位置關系中的定