2025屆安徽省銅陵市義安區(qū)銅都雙語學(xué)校高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

2025屆安徽省銅陵市義安區(qū)銅都雙語學(xué)校高考數(shù)學(xué)押題試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．棱長為2的正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，過正方體中兩條異面直線，的中點(diǎn)作直線，則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為（）A． B． C． D．12．某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱長為（）．A． B． C．1 D．3．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．4．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于5．已知函數(shù)的一條切線為，則的最小值為（）A． B． C． D．6．已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．定義在上的偶函數(shù)，對，，且，有成立，已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于，兩點(diǎn)，若，則△的內(nèi)切圓的半徑為（）A． B． C． D．9．根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)（其中），求得的回歸方程是，則下列說法正確的是()A．至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上B．若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C．對所有的解釋變量（），的值一定與有誤差D．若回歸直線的斜率，則變量x與y正相關(guān)10．已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項(xiàng)公式()A． B． C． D．11．若雙曲線的焦距為，則的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（）A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若曲線（其中常數(shù)）在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則________.14．已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，點(diǎn)P是上底面15．已知函數(shù)，在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則使得≥0的概率為．16．若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若滿足不等式的正整數(shù)恰有個(gè)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：，恒成立.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線上的任意一點(diǎn)到直線的距離比點(diǎn)到點(diǎn)的距離小1.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線斜率的取值范圍.20．（12分）記函數(shù)的最小值為.（1）求的值；（2）若正數(shù)，，滿足，證明：.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2（1）求橢圓C的方程；（2）假設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．①若A為橢圓的上頂點(diǎn)，M為線段AB中點(diǎn)，連接OM并延長交橢圓C于N，并且ON=62OM，求OB的長；②若原點(diǎn)O到直線l的距離為1，并且22．（10分）P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點(diǎn)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

連結(jié)并延長PO，交對棱C1D1于R，則R為對棱的中點(diǎn)，取MN的中點(diǎn)H，則OH⊥MN，推導(dǎo)出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長．【詳解】如圖，MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結(jié)并延長PO，交對棱C1D1于R，則R為對棱的中點(diǎn)，取MN的中點(diǎn)H，則OH⊥MN，∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，∴MH＝＝＝，∴MN＝．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．2、B【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的棱長．【詳解】解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，所以，該四棱錐體的最長的棱長為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出，設(shè)設(shè)球心為，和的中心分別為、，可得出平面，平面，利用勾股定理計(jì)算出球的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，由和都是正三角形，得，，則，則，由勾股定理的逆定理，得.設(shè)球心為，和的中心分別為、.由球的性質(zhì)可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算，解題時(shí)要分析幾何體的結(jié)構(gòu)，找出球心的位置，并以此計(jì)算出球的半徑長，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.4、D【解析】

試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．5、A【解析】

求導(dǎo)得到，根據(jù)切線方程得到，故，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，計(jì)算得到答案.【詳解】，則，取，，故，.故，故，.設(shè)，，取，解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.6、C【解析】

求出的元素，再確定其真子集個(gè)數(shù)．【詳解】由，解得或，∴中有兩個(gè)元素，因此它的真子集有3個(gè)．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問題，解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù)，解題關(guān)鍵是對集合元素的認(rèn)識，本題中集合都是曲線上的點(diǎn)集．7、A【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對，，且，有在上遞增因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因?yàn)?，，所以故選：A【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.8、B【解析】

設(shè)左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由AB的弦長可得a的值，進(jìn)而可得雙曲線的方程，及左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個(gè)三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設(shè)左焦點(diǎn)，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為:所以，所以三角形ABF2的周長為設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法，內(nèi)切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應(yīng)用，屬于中檔題.9、D【解析】

對每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上﹐故A錯(cuò)誤；所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為，故B錯(cuò)誤；若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則的值與相等，故C錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)r與符號相同，若回歸直線的斜率，則，樣本點(diǎn)分布應(yīng)從左到右是上升的，則變量x與y正相關(guān)，故D正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.10、A【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過累加法求解即可．【詳解】數(shù)列滿足：，，可得以上各式相加可得：，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列累加法以及通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力．11、B【解析】

根據(jù)焦距即可求得參數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為，故可得，解得，不妨??；又焦點(diǎn)，其中一條漸近線為，由點(diǎn)到直線的距離公式即可求的.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的焦距求方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.12、C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡求解即可．【詳解】由得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由解方程即可.【詳解】由已知，，所以，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.14、π.【解析】

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球?yàn)榍騉'，分別取AC、A1C1的中點(diǎn)O、O1，先確定球心O'在線段AC和A1C1中點(diǎn)的連線上，先求出球O【詳解】如圖所示，設(shè)三棱錐P-ABC的外接球?yàn)榍騉'分別取AC、A1C1的中點(diǎn)O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設(shè)球O的半徑為R，則4πR2=所以，OO則O而點(diǎn)P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此，點(diǎn)P所構(gòu)成的圖形的面積為π×O【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問題，根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，屬于中檔題.15、【解析】試題分析：可以得出，所以在區(qū)間上使的范圍為，所以使得≥0的概率為考點(diǎn)：本小題主要考查與長度有關(guān)的幾何概型的概率計(jì)算.點(diǎn)評：幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題，包括“長度”、“角度”、“面積”、“體積”等，但要注意求概率時(shí)做比的上下“測度”要一致.16、【解析】

設(shè)，代入已知條件進(jìn)行化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，求得的值.【詳解】設(shè)，由，得，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查共軛復(fù)數(shù)，考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得出關(guān)于和的方程組，解出這兩個(gè)量的值，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出，可得出，可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)不等式不成立，只考慮為偶數(shù)的情況，利用數(shù)列單調(diào)性的定義判斷數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列的單調(diào)性，由此能求出正實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，整理得，解得，，因此，；（2），滿足不等式的正整數(shù)恰有個(gè)，得，由于，若為奇數(shù)，則不等式不可能成立.只考慮為偶數(shù)的情況，令，則，．.當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則.所以，，又，，，，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查正實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）將不等式化為，利用零點(diǎn)分段法，求得不等式的解集.（2）將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證，恒成立，由的最小值為，得到只要證，即證，利用絕對值不等式和基本不等式，證得上式成立.【詳解】（1）∵，∴，即當(dāng)時(shí)，不等式化為，∴當(dāng)時(shí)，不等式化為，此時(shí)無解當(dāng)時(shí)，不等式化為，∴綜上，原不等式的解集為（2）要證，恒成立即證，恒成立∵的最小值為－2，∴只需證，即證又∴成立，∴原題得證【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的性質(zhì)、解法，基本不等式等知識；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化，分類與整合思想.19、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)題意可得點(diǎn)的軌跡方程滿足的等式，化簡即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)出切線的斜率分別為，切點(diǎn)，，點(diǎn)，則可得過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立拋物線方程并化簡，由相切時(shí)可得兩條切線斜率關(guān)系；由拋物線方程求得導(dǎo)函數(shù)，并由導(dǎo)數(shù)的幾何意義并代入拋物線方程表示出，可求得，結(jié)合點(diǎn)滿足的方程可得的取值范圍，即可求得的范圍.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，∵點(diǎn)到直線的距離等于，∴，化簡得，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）由題意可知，的斜率都存在，分別設(shè)為，切點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立，化簡可得，∴，即，∴，.由，求得導(dǎo)函數(shù)，∴，，，∴，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，由圓的性質(zhì)可得，∴，即直線斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，直線與拋物線相切的性質(zhì)及應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，點(diǎn)和圓位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對值三角不等式進(jìn)行求解；（2）利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【詳解】解法一：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以解法二：（1）如圖當(dāng)時(shí)，解法三：（1）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立.當(dāng)時(shí)解法一：（2）由題意可知，，因?yàn)椋?，，所以要證明不等式，只需證明，因?yàn)槌闪?，所以原不等式成?解法二：（2）因?yàn)?，，，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，原不等式得證.補(bǔ)充：解法三：（2）由題意可知，，因?yàn)?，，，所以要證明不等式，只需證明，由柯西不等式得：成立，所以原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值函數(shù)的最值求解，不等式的證明，絕對值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力.21、（1）x22+y2【解析】

（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a2，b2；（2）聯(lián)立直線和橢圓，利用弦長公式可求得弦長AB，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得原點(diǎn)到直線l的距離，從而可求得三角形面積，再用單調(diào)性求最值可得值域．【詳解】（1）因?yàn)閮山裹c(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以a=2又由右準(zhǔn)線方程為x=2，得到a2解得a=2,c=1，所以所以，橢圓C的方程為x2（2）①設(shè)B(x1,y1∵ON=6因?yàn)辄c(diǎn)B,N都在橢圓上，所以x122+y12所以O(shè)B=x②由原點(diǎn)O到直線l的距離為1，得|m|1+k2聯(lián)立直線l的方程與橢圓C的方程：y=kx+mx2設(shè)A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面積S==1因?yàn)镾=