《線性代數(shù)》課件第3章

3.1n維向量及其運算

3.2向量組的線性相關(guān)性

3.3極大無關(guān)組與向量組的秩3.4向量空間的運算3.1.1n維向量

定義3.1.1

n個有序的數(shù)a1，a2，…，an所組成的數(shù)組稱為n維向量，記為3.1n維向量及其運算或

n維向量可以寫成一列，也可以寫成一行，分別稱為列向量和行向量.按第二章中的規(guī)定，也就是行矩陣和列矩陣，并規(guī)定行向量與列向量按矩陣的運算規(guī)則進行運算.因此，n維列向量與n維行向量

αT=(a1，a2，…，an)

總看做是不同的向量(按定義3.1.1，α與αT應(yīng)是同一向量)。

所有n維向量構(gòu)成的集合稱為n維向量空間，記為

Rn={x=(x1，x2，…，xn)T|xi∈R})在解析幾何中，如果取定一個空間坐標系［o:x，y，z］，并以i，j，k分別表示與三個坐標軸方向一致的單位向量，那么空間的任一向量α可分解為

α=xi+yj+zk

其中，x，y，z稱為向量α在坐標系［o:x，y，z］中的坐標(或分量)。向量α也可以簡單表示為

例3.1.1

任意一個m行n列矩陣A，它的每一行是一個n維行向量，稱為矩陣A的行向量，它的每一列是一個m維列向量，稱為矩陣A的列向量。矩陣A的各個行構(gòu)成了A的行向量組，A的各個列構(gòu)成了A的列向量組。向量與矩陣關(guān)系密切，既可以利用向量組研究矩陣，也可以利用矩陣研究向量組。3.1.2向量的運算

n維向量可如同矩陣一樣進行運算。

設(shè)λ是實數(shù)，α，β是n維向量則分別是向量α與β的和以及數(shù)λ與向量α的乘積.向量加法以及向量的數(shù)乘兩種運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。

稱-α

為α的負向量。

例3.1.2

已知β=(1，0，1)T，γ=(3，2，-1)T，且2x+3β=γ+4x，求x。

解3.1.3向量組的線性組合

定義3.1.2

給定向量組A:

α1，α2，…，αm，向量k1α1+k2α2+…+kmαm稱為向量組A的一個線性組合，k1，k2，…，km稱為這個線性組合的系數(shù)。

如果向量β可以表示為

β=k1α1+k2α2+…+kmαm

例3.1.3

向量組ε1=，ε2，…，

εn=稱為n維單位坐標向量組。顯然任一n維向量α=

都可以表示為ε1，ε2，…，εn的線性組合，即

α=a1ε1+a2ε2+…+anεn

例3.1.4

設(shè)向量組α1=，α2=,α3=和向量

β=，向量β能否由向量組α1，α2，α3

線性表示？若

能，求表示的系數(shù)。

解設(shè)β=k1α1+k2α2+k3α3，即

方程組的系數(shù)行列式利用克萊姆法則可以計算方程組的解為

所以

定義3.2.1

設(shè)向量組A:

α1，α2，…，αm是n維向量組，如果存在一組不全為零的實數(shù)k1，k2，…，km，使

k1a1+k2a2+…+kmam=03.2向量組的線性相關(guān)性例3.2.1

證明:單獨一個零向量組成的向量組是線性相關(guān)的，單獨一個非零向量α組成的向量組是線性無關(guān)的。

證取λ=1≠0，使λ0=0成立，所以零向量線性相關(guān)。設(shè)λα=0，若α≠0，必有λ=0，所以非零向量線性無關(guān)。

例3.2.2

證明:含有零向量的向量組必線性相關(guān)。

證設(shè)向量組A:0，α1，α2，…，αm，容易知道有不全為零的數(shù)λ(λ≠0)，0，0，…，0使得

λ0+0α1+0a2+…+0am=0(λ≠0)定理3.2.1向量組α1，α2，…，αm(m≥2)線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個向量可以由其余m-1個向量線性表示。

證必要性設(shè)α1，α2，…，αm

線性相關(guān)，即有一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，km，使

k1α1+k2α2+…+kmαm=0

因為k1，k2，…，km中至少有一個不為零，不妨令k1≠0，則有

即α1可由其余m-1個向量線性表示。

充分性在α1，α2，…，αm中至少有一個向量(不妨設(shè)α1)能由其余m-1個向量線性表示，即有

α1=k2α2+…+kmαm

也就是

(-1)α1+k2α2+…+kmαm=0

因為(-1)，k2，…，km這m個數(shù)不全為零(至少-1≠0)，所以α1，α2，…，αm線性相關(guān)。例3.2.3

討論向量組

α1＝

，α2=，α3=的線性相關(guān)性。

解設(shè)有數(shù)k1，k2，k3，使

k1α1+k2α2+…+k3α3=0

即

由方程組的系數(shù)行列式

例3.2.4

討論n維單位坐標向量的線性相關(guān)性。

解設(shè)有k1，k2，…，kn，使則

于是

例3.2.5

討論向量組α1=，α2=的線性相

關(guān)性。

解因為α1，α2的對應(yīng)坐標不成比例，所以α1，α2

線性無關(guān)。例3.2.6

討論向量組

α1=，α2=，α3=的線性相關(guān)性。

解設(shè)有一組數(shù)k1，k2，k3，使

k1α1+k2α2+…+k3α3=0即

由方程組的系數(shù)行列式例3.2.7

設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1,證明向量組β1，β2，β3也線性無關(guān)。

證設(shè)有一組數(shù)k1，k2，k3，使

k1β1+k2β2+k3β3=0

即有

k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0

從而得

(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0因為α1，α2，α3線性無關(guān)，所以

由于此齊次線性方程組的系數(shù)行列式

定理3.2.2

若向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)，而向量組α1，α2，…，αn，β線性相關(guān)，則β可以由α1，α2，…，αn線性表示，且表示式唯一。

證因為向量組α1，α2，…，αn，β線性相關(guān)，故有一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，kn，k，使得

k1α1+k2α2+…+knαn+kβ=0

成立，若k=0，則有

k1α1+k2α2+…+knαn=0

因為α1，α2，…，αn線性無關(guān)，所以

k1=k2=…=kn=0于是

設(shè)有兩組數(shù)k1，k2，…，kn和λ1，λ2，…，λn，使得

β=k1α1+k2α2+…+knαn

β=λ1α1+λ2α2+…+λnαn

兩式相減得

(k1-λ1)α1+(k2-λ2)α2+…+(kn-λn)αn=0

定理3.2.3

如果向量組A:α1，α2，…，αn中有部分向量線性相關(guān)，則向量組A線性相關(guān).反言之，若A:α1，α2，…，αn線性無關(guān)，則A的任意部分組也線性無關(guān)。

證明此定理的兩個部分互為逆否命題，故只證明前一部分。

不妨設(shè)A的部分向量α1，α2，…，αr(r≤n)線性相關(guān)，由定義知必有不全為零的數(shù)k1，k2，…，kr，使得

k1α1+k2α2+…+krαr=0

從而

k1α1+k2α2+…+krαr+0αr+1+…+0αn=0例3.2.8

討論向量組

解易知向量組a，d線性相關(guān)，由定理3.2.3知，向量組a，b，c，d線性相關(guān)。

例3.2.9

設(shè)向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，向量組α2，

α3，α4線性無關(guān)，證明:

(1)α1能由α2，α3線性表示；

(2)α4不能由α1，α2，α3線性表示。定理3.2.4

設(shè)

證此定理的兩個部分互為逆否命題，故只證明前一部分。設(shè)若向量組A線性無關(guān)，則上述方程組只有零解。因此方程組3.3.1等價向量組

定義3.3.1

給定兩個向量組A:α1，α2，…，αr和向量組B:β1，β2，…，βs，若向量組A中的每一個向量ai(i=1，2，…，r)都能由向量組B線性表示，即存在矩陣K，使A=BK，其中

A=(α1，α2，…，αr)B=(β1，β2，…，βs)3.3極大無關(guān)組與向量組的秩3.3.2向量組的秩

定義3.3.2

設(shè)A是n維向量組，如果滿足

(1)在A中存在r個向量α1，α2，…，αr線性無關(guān)；

(2)在A中任意r+1個向量(如果存在的話)線性相關(guān)，

則稱α1，α2，…，αr是向量組A的一個極大線性無關(guān)

組，簡稱極大無關(guān)組；數(shù)r稱為向量組A的秩。定理3.3.1

向量組中的每個向量都可用其一個極大線性無關(guān)組線性表示，且表示是唯一的。

例3.3.1

求全體n維向量構(gòu)成的向量組是R

n的一個極大線性無關(guān)組。

解由例3.2.4知，Rn中單位坐標向量組ε1，ε2，…，εn線性無關(guān)，而Rn中任一向量α=(a1，a2，…，an)都可以表示為

α=a1ε1+a2ε2+…+anεn

例3.3.2

設(shè)有向量組

解因為向量α1，α2對應(yīng)分量不成比例，所以向量組α1，α2線性無關(guān)。又因為α3=α1+α2，即向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，所以α1，α2是向量組α1，α2，α3的一個極大無關(guān)組.例3.3.3求向量組

的秩，并求出它的一個極大線性無關(guān)組。

解顯然，α1，α2，α3線性無關(guān)，α4，α5都可由α1，α2，α3

線性表示，根據(jù)定義3.3.2知，α1，α2，α3為向量組的一個極大無關(guān)組，且所給向量組的秩為3。

定理3.3.2

m×n矩陣A的秩等于矩陣A的列向量組的秩，也等于矩陣A的行向量組的秩。

證設(shè)有m×n矩陣

例3.3.4

求矩陣

的列向量組的秩和它的一個極大無關(guān)組。

解

A的二階子式為

A的三階子式共有4個，且都等于零，可見二階子式D是A的最高階非零子式，R(A)=2.由定理3.3.2知，A的列向量組的秩為2，它的一個極大無關(guān)組是

例3.3.5

求向量組

的一個極大無關(guān)組。

解設(shè)α1，α2，α3，α4構(gòu)成的矩陣A=(α1，

α2，α3，α4)，對A施以初等行變換，可得由此可知R(A)=3，所以向量組α1，α2，α3，α4的秩為3，A1的三階子式

由此可知，α1，α2，α3是向量組α1，α2，α3，α4的一個極大無關(guān)組。

定理3.3.3

設(shè)向量組B:β1，β2，…，βt能由向量組

A:α1，α2，…，αs線性表示，則R(β1，β2，…，βt)≤

R(α1，α2，…，αs)。

證不妨設(shè)向量組A的一個極大無關(guān)組為

(r≤s)例3.3.6

設(shè)向量組B:β1，β2，…，βr可由向量組A:α1，α2，…，αs線性表示，證明:

(1)若向量組B線性無關(guān)，則r≤s；

(2)若r>s，則向量組B線性相關(guān)。

證

(1)因為向量組B線性無關(guān)，故其秩為r；又向量組B可由向量組A線性表示，所以

R(β1，β2，…，βr)≤R(α1，α2，…，αs)≤s

因此r≤s。

(2)因為向量組B可由向量組A線性表示，故

R(β1，β2，…，βr)≤R(α1，α2，…，αr)≤s

例3.3.7

已知β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，證明:

R(α1，α2，α3)=R(β1，β2，β3)

證易知

(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)此式表明β1，β2，β3可由向量α1，α2，α3線性表示，因此

R(β1，β2，β3)≤R(α1，α2，α3)

因為

所以可逆，那么3.3.3矩陣等價的應(yīng)用

向量組的秩、向量組的最大無關(guān)組以及向量之間的線性關(guān)系是向量理論非常重要的一部分內(nèi)容，下面的定理介紹了利用初等變換求解向量組的秩以及向量組的最大無關(guān)組的方法。

定理3.3.4

如果矩陣A經(jīng)有限次初等行(列)變換變到矩陣B，則A與B的行(列)向量組等價，且A的任意r個列(行)向量與B的對應(yīng)的r個列(行)向量有相同的線性相關(guān)性。

例3.3.8

求列向量組

的一個極大無關(guān)組，并用此極大無關(guān)組表示其他列向量。

解設(shè)α1α2，α3，α4構(gòu)成的矩陣A=(α1，α2，α3，

α4)，對A施以初等行變換，可得例3.3.9

證明:當m>n時，m個n維向量線性相關(guān)。

證

m個n維向量可構(gòu)成m×n矩陣A，由于R(A)≤n，故這m個向量的秩也不大于n，因此m個向量的秩小于m，故線性相關(guān)。

例3.3.10

證明:向量組A:α1T=(1，1，1)，α2T=(2，3，4)，α3T=(5，7，9)與向量組B:β1=(3，4，5)T，β2=(0，1，2)T等價，并將β1，β2分別用α1，α2，α3線性表示。

證由定理3.3.3的推論2，只需證

R(A)=R(B)=R(A，B)

將矩陣(A，B)化為行階梯形矩陣，并繼續(xù)化為行最簡形，即定義3.4.1設(shè)V為n維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對于加法及數(shù)乘兩種運算封閉，即若α∈V，β∈V，則α+β∈V；若α∈V，λ∈R，則α∈V，那么稱集合V為向量空間。

例3.4.1

集合

V={x=((0，x2，…，xn)T|x2，…，xn∈R}

例3.4.2

集合

V={x=((1，x2，…，xn)T|x2，…，xn∈R}3.4向量空間

例3.4.3

討論集合

V={x=((x1，x2，…，xn)T|xi=1，xi∈R}是否為向量空間

解不是，因為若α=(x1，x2，…xn)T∈V，則xi=1，取λ=3，則

定義3.4.2

設(shè)有向量空間V1及V2，若V1V2，V1≠，且V1對加法運算及數(shù)乘運算封閉，則稱V1是V2的子空間。

定義3.4.3

設(shè)V為向量空間，向量組α1，α2，…，

αr∈V滿足:

(1)α1，α2，…，αr線性無關(guān)；

(2)V中任一向量都可由α1，α2，…，αr組線性表示，

則稱向量組α1，α2，…，αr為向量空間V的一個基，r為向量空間V的維數(shù)，V為r維向量空間。例3.4.4

設(shè)α1，α2，…，αr為一個已知的向量組，記

V={x=(λ1α1+λ2α2+…+λrαr|λ1，λ2，…，λr∈R}

證明:V為一個向量空間，并且稱V是由α1，α2，…，αr

所生成的向量空間.

證若

x1=λ11α1+λ12α2+…+λ1rαr∈Vx2=λ21

α1+λ22α2+…+λ2rαr∈V則

x1+x2=(λ11+λ21)α1+(λ12+λ22)α2+…+(λ1r+λ2r)αr∈V

對任意的λ∈R

λx1=λλ11α1+λλ12α2+…+λλ1rαr∈V

例3.4.5

設(shè)向量組α1，α2，…，αm與向量組β1，β2，…，βs

等價，記

V1={x=(λ1α1+λ2α2+…+λmαm|

λ1，λ2，…，λm∈R}

V2={x=(μ1β1+μ2β2+…+μsβs|μ