(人教A版數(shù)學必修一講義)第4章第07講4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用(知識清單+9類熱點題型講練+分層強化訓練)(學生版+解析)

第07講4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用課程標準學習目標①了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用。②在實際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律。通過本節(jié)課的學習，掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及其他函數(shù)模型；會從實際問題中抽象出函數(shù)模型，進而利用函數(shù)知識求解.高考對函數(shù)應(yīng)用的考查，常與二次函數(shù)、基本不等式等知識交匯．知識點一：常見函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型（，為常數(shù)）2、反比例函數(shù)模型（）3、二次函數(shù)模型（）4、指數(shù)函數(shù)模型（且，）5、對數(shù)函數(shù)模型（且，）6、冪函數(shù)模型（，）7、分段函數(shù)模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合8、對勾函數(shù)模型：題型01指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的增長差異【典例1】（23-24高一上·廣東深圳·期末）下列選項分別是四種生意預(yù)期的獲益y關(guān)于時間x的函數(shù)模型，從足夠長遠的角度看，使得公司獲益最大的函數(shù)模型是（

）A． B． C． D．【典例2】（多選）（23-24高一上·遼寧·階段練習）函數(shù)，，，在區(qū)間上（

）A．遞減速度越來越慢 B．遞減速度越來越慢C．遞減速度越來越慢 D．的遞減速度慢于遞減速度【典例3】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）若，則使成立的的取值范圍是，使成立的的取值范圍是．【變式1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）當a>1時，有下列結(jié)論:①指數(shù)函數(shù)y=ax，當a越大時，其函數(shù)值的增長越快;②指數(shù)函數(shù)y=ax，當a越小時，其函數(shù)值的增長越快;③對數(shù)函數(shù)y=logax，當a越大時，其函數(shù)值的增長越快;④對數(shù)函數(shù)y=logax，當a越小時，其函數(shù)值的增長越快.其中正確的結(jié)論是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【變式2】（多選）（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）（多選題）已知函數(shù)，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)和的圖象可能有兩個交點B．，當時，恒有C．當時，，D．當時，方程有解【變式3】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）當時，試探究三個函數(shù)的增長差異，用“＞”把它們的大小關(guān)系連接起來為．題型02根據(jù)實際問題增長率選擇合適的模型【典例1】（23-24高一上·江蘇常州·期末）在一次數(shù)學實驗中，某同學運用圖形計算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：在四個函數(shù)模型（為待定系數(shù)）中，最能反映函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一上·全國·單元測試）在一次數(shù)學實驗中，某同學運用計算器采集到如下一組數(shù)據(jù):x123y0.240.512.023.988.02在以下四個函數(shù)模型（a，b為待定系數(shù)）中，最能反映x，y函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．【典例3】（23-24高一下·福建·期中）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗表明，某種烏龍茶用100℃的水泡制，等到茶水溫度降至60℃時再飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．某實驗小組為探究在室溫下，剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的如下數(shù)據(jù)：時間/min01234水溫/℃100.0091.0082.9075.6169.05設(shè)茶水溫度從100℃開始，經(jīng)過后的溫度為，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①（，）；②（，，）；③（，，）．(1)從上述三種函數(shù)模型中選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并利用表格中的前三列數(shù)據(jù)，求出相應(yīng)的解析式；(2)根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的烏龍茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.01）.（參考數(shù)據(jù)：，．）【變式1】（23-24高一上·河北保定·期末）有一組實驗數(shù)據(jù)及對應(yīng)散點圖如下所示，則下列能體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是（

）04916363791115A． B．C． D．【變式2】（23-24高一上·浙江金華·階段練習）有一組實驗數(shù)據(jù)如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（）A． B．C． D．【變式3】（23-24高一上·四川廣安·期末）科技創(chuàng)新成為全球經(jīng)濟格局關(guān)鍵變量，某公司為實現(xiàn)1600萬元的利潤目標，準備制定一個激勵研發(fā)人員的獎勵方案：當投資收益達到600萬元時，按投資收益進行獎勵，要求獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，獎金總數(shù)不低于20萬元，且獎金總數(shù)不超過投資收益的.(1)現(xiàn)有①；②；③三個獎勵函數(shù)模型.結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及已知條件.當時，判斷哪個函數(shù)模型符合公司要求？(2)根據(jù)（1）中符合公司要求的函數(shù)模型，要使獎金達到50萬元，公司的投資收益至少為多少萬元？題型03利用二次函數(shù)模型解決實際問題【典例1】（23-24高一下·云南·階段練習）某商店銷售兩款商品，利潤（單位：元）分別為和，其中為銷量（單位：袋），若本周銷售兩款商品一共20袋，則能獲得的最大利潤為.【典例2】（23-24高一上·云南曲靖·期中）生產(chǎn)某機器的總成本（萬元）與產(chǎn)量（臺）之間的函數(shù)關(guān)系式是，若每臺機器售價為30萬元，則該廠獲得最大利潤時生產(chǎn)的機器為臺.【典例3】（23-24高一上·湖北恩施·期末）實行垃圾分類，關(guān)系生態(tài)環(huán)境，關(guān)系節(jié)約使用資源.某市新建了一座垃圾回收利用工廠，于2023年年初用98萬元購進一臺垃圾回收分類生產(chǎn)設(shè)備，并立即投入生產(chǎn)使用.該設(shè)備使用后，每年的總收入為50萬元.若該設(shè)備使用年，則其所需維修保養(yǎng)費用年來的總和為萬元（2023年為第一年），設(shè)該設(shè)備產(chǎn)生的盈利總額（純利潤）為萬元.(1)寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；求該機床從第幾年開始盈利（盈利總額為正值）.(2)使用若干年后，對設(shè)備的處理方案有兩種：①當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該設(shè)備；（年平均盈利額＝盈利總額使用年數(shù)）②當盈利總額達到最大值時，以15萬元價格處理該設(shè)備.試問用哪種方案處理較為合理？請說明你的理由.【變式1】（23-24高一上·全國·期中）已知某種商品在第天的銷售價格為元，銷售量為件，則在這15天中，第天該商品日銷售額最多，為元.【變式2】（23-24高一上·山東臨沂·期末）某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計劃建一座八邊形的休閑場所．如圖，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為100平方米的十字形地域．計劃在正方形上建一座花壇，造價為每平方米元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪彩色水磨石地坪，造價為每平方米105元；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為每平方米40元．(1)設(shè)長為米，總造價為S元，求S關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若市面上花壇造價每平方米1000到3000元不等，該小區(qū)投入到該休閑場所的資金最多29500元，問花壇造價最多投入每平方米多少元?【變式3】（23-24高一上·上海奉賢·期末）要建造一面靠墻、且面積相同的兩間相鄰的長方形居室，如圖所示.已有材料可建成的圍墻總長度為30米，寬為米，居室總面積平方米.(1)若居室總面積不少于48平方米，求的取值范圍；(2)當寬為多少米時，才能使所建造的居室總面積最大？題型04分段函數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（23-24高二下·上?！て谀┠彻敬蛩阍?023年度建設(shè)某型芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬元），已知當時，；當時，；當時，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價格售出．(1)已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數(shù)解析式．(2)請你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個計劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤最大，并預(yù)測最大利潤．【典例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為實施“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略，充分利用當?shù)刈匀毁Y源，大力發(fā)展特色水果產(chǎn)業(yè)，將該鎮(zhèn)打造成“水果小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下函數(shù)關(guān)系：，肥料成本投入為4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工費）為6x元，已知該水果的售價為10元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求，記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．(1)求的函數(shù)關(guān)系式；(2)當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？單株利潤最大值是多少元？【典例3】（23-24高一上·云南昭通·期末）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，年固定成本為200萬元，可變成本萬元與年產(chǎn)量（件）的關(guān)系為每件產(chǎn)品的售價為90萬元，且工廠每年生產(chǎn)的產(chǎn)品都能全部售完.(1)將年盈利額（萬元）表示為年產(chǎn)量（件）的函數(shù)；(2)求年盈利額的最大值及相應(yīng)的年產(chǎn)量.【變式1】（23-24高一上·山西呂梁·期末）2023年是共建“一帶一路”倡議提出10周年．2023年10月，習近平主席在第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇上宣布了中國支持高質(zhì)量共建“一帶一路”的八項行動，并將“促進綠色發(fā)展”作為行動之一，為“一帶一路”綠色發(fā)展明確了新方向．源自中國的綠色理念、綠色技術(shù)與清潔能源相結(jié)合，讓能源短缺不再是發(fā)展的瓶頸，點亮共建國家綠色低碳發(fā)展的夢想．某新能源公司為了生產(chǎn)某種新型環(huán)保產(chǎn)品，前期投入固定成本為1000萬元，后期需要投入成本（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：百臺）的函數(shù)關(guān)系式為經(jīng)調(diào)研市場，預(yù)測每100臺產(chǎn)品的售價為500萬元．依據(jù)市場行情，估計本年度生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完．(1)求年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式（利潤=銷售額-投入成本-固定成本）；(2)當年產(chǎn)量為多少時，年利潤最大？并求出最大年利潤．【變式2】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）某加工廠要安裝一個可使用25年的太陽能供電設(shè)備.使用這種供電設(shè)備后，該加工廠每年額外消耗的電費C（單位：萬元）與太陽能電池板面積（單位：平方米）之間的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)）.已知太陽能電池板面積為40平方米時，每年額外消耗的電費為2.5萬元，安裝這種供電設(shè)備的工本費為（單位：萬元），記為該加工廠安裝這種供電設(shè)備的工本費與該加工廠25年額外消耗的電費之和.(1)求出和的解析式；(2)當為多少平方米時，取得最小值？最小值是多少萬元？【變式3】（23-24高一上·江蘇常州·期中）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系；，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理?施肥等人工費）元.已知這種水果的市場售價為20元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為（單位：元）(1)求的解析式；(2)當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？題型05指數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（23-24高二下·浙江·期末）近年來純電動汽車越來越受消費者的青睞，新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風口，于1898年提出蓄電池的容量（單位：），放電時間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：，其中為常數(shù).為測算某蓄電池的常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間；當放電電流時，放電時間.若計算時取，，則該蓄電池的常數(shù)大約為（

）A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55【典例2】（23-24高二下·內(nèi)蒙古興安盟·期中）內(nèi)蒙古某地引進了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物濃度N（單位：mg/L）與時長t（單位：h）的關(guān)系為（為最初污染物濃度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%還需要（

）A．3h B．4h C．5h D．6h【典例3】（23-24高一下·安徽阜陽·期中）2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引發(fā)社會廣泛關(guān)注.為了貫徹落實《中共中央國務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》，某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)，假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．14次 B．15次 C．16次 D．17次【變式1】（23-24高一下·湖南·期中）水是生命之源，我國是一個嚴重缺水的國家，保護水資源是每個公民的義務(wù)．在日常生活中淡水需過濾后才能作為飲用水供人們生活使用，假設(shè)某工廠在淡水的過濾過程中的各種有害物質(zhì)的殘留數(shù)量Y（單位：毫克/升）與過濾時間t（單位：小時）之間的關(guān)系滿足，其中為正常數(shù)，為原有害物質(zhì)數(shù)量．該工廠某次過濾淡水時，若前4個小時淡水中的有害物質(zhì)恰好被過濾掉90%，那么再繼續(xù)過濾4小時，淡水中有害物質(zhì)的殘留量約為原有害物質(zhì)的（

）A．5% B．3% C．2% D．1%【變式2】（2024·湖南益陽·三模）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款新車裸車價格，第一年汽車貶值20%，從第二年開始每年貶值10%．剛參加工作的小明打算買一輛約5年的二手車，價格不超過8萬元．根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是萬，則（

）A．13 B．14 C．15 D．16【變式3】（2024·四川德陽·三模）如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進了社會經(jīng)濟發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系．(a，b．為常數(shù))，若該果蔬在7℃的保鮮時間為288小時，在21℃的保鮮時間為32小時，且該果蔬所需物流時間為4天，則物流過程中果蔬的儲藏溫度(假設(shè)物流過程中恒溫)最高不能超過（

）A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃題型06對數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（2024·湖南長沙·三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級最早是由查爾斯?里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為，其中表示某地地震的里氏震級，表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標準地震振幅.假設(shè)在一次地震中，某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標準地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6.3級 B．6.4級 C．7.4級 D．7.6級【典例2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）青少年視力問題是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為和，記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為，則的值所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【典例3】（多選）（2024·吉林·模擬預(yù)測）盡管目前人類還無法準確預(yù)報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為.2024年3月25日，斐濟附近海域發(fā)生里氏5.1級地震，它所釋放的能量是同日我國新疆阿克蘇地區(qū)發(fā)生里氏3.1級地震的（

）A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍【變式1】（2024·青海海西·模擬預(yù)測）北京時間2020年11月24日4時30分，中國在文昌航天發(fā)射場用長征五號遙五運載火箭，成功將嫦娥五號月球探測器送入地月轉(zhuǎn)移軌道，發(fā)射取得圓滿成功．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度和燃料的質(zhì)量、火箭（除燃料外）的質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系是．按照這個規(guī)律，當m時，火箭的最大速度為；當m時，火箭的最大速度為．則（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）物理學家本·福特提出的定律：在進制的大量隨機數(shù)據(jù)中，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，應(yīng)用此定律可以檢測某些經(jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯誤．根據(jù)此定律，在十進制的大量隨機數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率大約是以9開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率的（

）倍（參考數(shù)據(jù)：A．5.5 B．6 C．6.5 D．7【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）青少年視力問題是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5和4.9，記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為，則（

）A． B． C． D．題型07冪函數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（2024·四川瀘州·模擬預(yù)測）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%【典例2】（23-24高一上·青海西寧·期末）為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現(xiàn)在加密密鑰為，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是（

）A． B． C．2 D．【典例3】（23-24高一上·河南平頂山·期末）某企業(yè)為努力實現(xiàn)“碳中和”目標，計劃從明年開始，通過替換清潔能源減少碳排放量，每年減少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均為，并預(yù)計年后碳排放量恰好減少為今年碳排放量的一半.（1）求的值；（2）若某一年的碳排放量為今年碳排放量的，按照計劃至少再過多少年，碳排放量不超過今年碳排放量的？【變式1】（2024·廣西·模擬預(yù)測）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高二下·上海·階段練習）某企業(yè)欲實現(xiàn)在今后10年內(nèi)產(chǎn)值翻兩翻的目標，則該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率為(結(jié)果精確到0.001)【變式3】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關(guān)系為(為常數(shù))，其中x不超過5萬元.已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年投入廣告費用5萬元，預(yù)計今年藥品利潤為萬元.題型08利用給定函數(shù)模型解決實際問題【典例1】（23-24高三上·甘肅定西·階段練習）某皮鞋廠從今年1月份開始投產(chǎn)，并且前4個月的產(chǎn)量分別如下表所示.月份1234產(chǎn)量（萬雙）1.021.101.161.18由于產(chǎn)品質(zhì)量好，款式新穎，前幾個月的產(chǎn)品銷售情況良好.為了推銷員在推銷產(chǎn)品時，接受訂單不至于過多或過少，需要估測以后幾個月的產(chǎn)量.廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程.廠里也暫時不準備增加設(shè)備和工人.如果用表示月份，用表示產(chǎn)量，試比較和哪一個更好一些？（函數(shù)模型，要求用第1，4月份的數(shù)據(jù)確定，；函數(shù)模型，要求用第1，2，3月份的數(shù)據(jù)確定，，，精確到0.01，，）【典例2】（23-24高一上·河南駐馬店·期末）隨著經(jīng)濟發(fā)展，越來越多的家庭開始關(guān)注到家庭成員的關(guān)系，一個以“從心定義家庭關(guān)系”為主題的應(yīng)用心理學的學習平臺，從建立起，得到了很多人的關(guān)注，也有越來越多的人成為平臺的會員，主動在平臺上進行學習．已知前四年，平臺會員的個數(shù)如圖所示：

(1)依據(jù)圖中數(shù)據(jù)，從下列三種模型中選擇一個恰當?shù)哪Ｐ凸浪憬⑵脚_年后平臺會員人數(shù)（千人），并求出你選擇模型的解析式；①，②且，③0且）.(2)為控制平臺會員人數(shù)盲目擴大，平臺規(guī)定無論怎樣發(fā)展，會員人數(shù)不得超過千人，請依據(jù)（1）中你選擇的函數(shù)模型求的最小值．【變式1】（23-24高一上·江西萍鄉(xiāng)·期末）近幾年，直播平臺作為一種新型的學習渠道，正逐漸受到越來越多人們的關(guān)注和喜愛．某平臺從2020年建立開始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會員人數(shù)逐年增加．已知從2020到2023年，每年年末該平臺的會員人數(shù)如下表所示（注：第4年數(shù)據(jù)為截止到2023年10月底的數(shù)據(jù)）．建立平臺第x年1234會員人數(shù)y（千人）28365282(1)請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，從下列三個模型中選擇一個恰當?shù)哪Ｐ凸浪阍撈脚_建立年后會員人數(shù)y（千人），求出你所選擇模型的解析式，并預(yù)測2023年年末的會員人數(shù)；①；②（且）；③（且）；(2)為了更好的維護管理平臺，該平臺規(guī)定第x年的會員人數(shù)上限為千人，請根據(jù)（1）中得到的函數(shù)模型，求k的最小值．【變式2】（23-24高一上·福建漳州·期末）北京時間2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號遙十七運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心精準發(fā)射，約10分鐘后，神舟十七號載人飛船與火箭成功分離，進入預(yù)定軌道，航天員乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功，這是我國載人航天工程立項實施以來的第30次發(fā)射任務(wù)，也是空間站階段的第2次載人飛行任務(wù).航天工程對人們的生活產(chǎn)生方方面面的影響，有關(guān)部門對某航模專賣店的航模銷售情況進行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該專賣店每天銷售一款特價航模，在過去的一個月內(nèi)（以30天計）的特價航模日銷售價格（元/個）與時間（一個月內(nèi)的第天，下同）的函數(shù)關(guān)系近似表示為（常數(shù)）.該專賣店特價航模日銷售量（百個）與時間部分數(shù)據(jù)如下表所示：（天）271423（百個）4567已知一個月內(nèi)第7天該專賣店特價航模日銷售收入為350百元.(1)給出以下三種函數(shù)模型：①，②，③.請你依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從以上三種函數(shù)模型中，選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型，來表示該專賣店特價航模日銷售量（百個）與時間的關(guān)系，說明你的理由.(2)借助你在（1）中選擇的模型，記該專賣店特價航模日銷售收入為（百元），其中，，預(yù)估該專賣店特價航模日銷售收入在一個月內(nèi)的第幾天最低？題型09建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【典例1】（23-24高一下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·開學考試）設(shè)計中的經(jīng)濟原則是指以最低的費用取得最大的效益，即在實現(xiàn)產(chǎn)品功能的同時控制各方面的成本.白塔制藥廠意圖設(shè)計一條新的生產(chǎn)線，以滿足市場需求.已知生產(chǎn)線每年需要投入的固定成本為萬元，且年產(chǎn)量達到噸時，需要另外投入的成本為（萬元），已知每噸藥品的售價為60萬元，每年所生產(chǎn)藥品均可售出，由于環(huán)境因素限制，該生產(chǎn)線允許的最大年產(chǎn)量不超過280噸.(1)要使每年度的總利潤最大，求生產(chǎn)線的規(guī)模及對應(yīng)的年利潤；(2)要使每年度的藥品平均利潤（總利潤與藥品產(chǎn)量的比值）最大，求生產(chǎn)線的規(guī)模及對應(yīng)的年利潤.【典例2】（23-24高一上·浙江杭州·期末）某工廠要設(shè)計一個零部件（如圖陰影部分所示），要求從圓形鐵片上進行裁剪，該零部件由三個全等的矩形和一個等邊三角形構(gòu)成，設(shè)矩形的兩邊長分別為（單位：），該零部件的面積是．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出定義域；(2)設(shè)用到的圓形鐵片的面積為（單位：），求的最小值．【變式1】（23-24高二下·浙江·期中）生物鐘（晝夜節(jié)律）是生物體內(nèi)部的一個調(diào)節(jié)系統(tǒng)，控制著生物的日常生理活動．研究顯示，人體的某些荷爾蒙（如皮質(zhì)醇）在一天中的分泌量會隨著時間的不同而發(fā)生變化，從而影響人的活力和認知能力．假設(shè)人體某荷爾蒙的分泌量（單位：）與一天中的時間（單位：小時，以午夜0點為起點）的關(guān)系可以通過以下分段函數(shù)來描述：●在夜間，荷爾蒙分泌量保持在較低水平，可以近似為常數(shù)．●在早晨，隨著人醒來和太陽升起，荷爾蒙分泌量線性增加，其關(guān)系為，當時，分泌量達到最大值●在下午和晚上，荷爾蒙分泌量逐漸降低，可以用指數(shù)衰減模型描述，即．已知午夜時荷爾蒙分泌量為，峰值分泌量為(1)求參數(shù)，和的值以及函數(shù)的解析式；(2)求該同學一天內(nèi)荷爾蒙分泌量不少于的時長．【變式2】（23-24高一上·江西宜春·期末）某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，最大產(chǎn)能為100臺．每生產(chǎn)臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完．(1)寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤銷售收入成本）；(2)當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用表示從開始，晶體管數(shù)量隨時間變化的函數(shù)，，若是以年為單位，則的解析式為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·湖南衡陽·期中）衡陽五一期間某服裝店每天進店消費的人數(shù)每天都在變化，設(shè)第天進店消費的人數(shù)為y，且y與（表示不大于的最大整數(shù)）成正比，第1天有15人進店消費，則第2天進店消費的人數(shù)為（）A．15 B．16 C．17 D．183．（2024·江蘇·一模）德國天文學家約翰尼斯·開普勒根據(jù)丹麥天文學家第谷·布拉赫等人的觀測資料和星表，通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律——繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系：，其中M為太陽質(zhì)量，G為引力常量．已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的（

）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍4．（23-24高一上·云南紅河·期末）在一次數(shù)學實驗中，運用圖形計算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：x01.002.003.00y0.240.5112.023.988.02則，的函數(shù)關(guān)系式與下列哪類函數(shù)最接近？（其中為待定系數(shù)）（

）A． B． C． D．5．（23-24高三上·湖北·期中）當強度為的聲音對應(yīng)的等級為分貝時，有（其中為常數(shù)），某挖掘機的聲音約為分貝，普通室內(nèi)談話的聲音約為分貝，則該挖掘機的聲音強度與普通室內(nèi)談話的聲音強度的比值為（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個月其性能指數(shù)都要損失10%，且一般認為當該種類型的電池的性能指數(shù)降低到原來的以下時就需要更換其中的硫酸來達到持久續(xù)航，則最多使用（

）個月就需要更換純硫酸（參考數(shù)據(jù)，）A．11 B．12 C．13 D．147．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車，都屬于違法駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時的速度減少，要保證他不違法駕車，則他至少要休息(結(jié)果精確到小時，參考數(shù)據(jù)：)（

）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時8．（2024·廣東茂名·一模）Gompertz曲線用于預(yù)測生長曲線的回歸預(yù)測，常見的應(yīng)用有：代謝預(yù)測，腫瘤生長預(yù)測，有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預(yù)測，工業(yè)產(chǎn)品的市場預(yù)測等，其公式為：（其中，為參數(shù)）.某研究員打算利用該函數(shù)模型預(yù)測公司新產(chǎn)品未來的銷售量增長情況，發(fā)現(xiàn).若表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計明年的產(chǎn)量將是今年的倍，那么的值為（為自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)）（

）A． B． C． D．萬元，每生產(chǎn)一臺需要另投入元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入（萬元）與年產(chǎn)量（萬臺）滿足如下關(guān)系式：.(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式；（利潤=銷售收入-成本）(2)當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大？并求出最大利潤.14．（23-24高一上·貴州安順·期末）人類已經(jīng)進入大數(shù)據(jù)時代.目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從TB（1TB=1024GB）級別躍升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）級別.國際數(shù)據(jù)公司（IDC）的研究結(jié)果表明，2008年起全球每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量如下表所示：年份2008200920102011…2020數(shù)據(jù)量（ZB）0.490.81.21.82…80(1)設(shè)2008年為第一年，為較好地描述2008年起第年全球生產(chǎn)的數(shù)據(jù)量（單位：ZB）與的關(guān)系，根據(jù)上述信息，試從（，且），，（，且）三種函數(shù)模型中選擇一個，應(yīng)該選哪一個更合適?（不用說明理由）；(2)根據(jù)（1）中所選的函數(shù)模型，若選取2009年和2020年的數(shù)據(jù)量來估計模型中的參數(shù)，預(yù)計到哪一年，全球生產(chǎn)的數(shù)據(jù)量將達到2020年的100倍?B能力提升1．（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）在我國，每年因酒后駕車引發(fā)的交通事故達數(shù)萬起，酒后駕車已經(jīng)成為交通事故的第一大“殺手”．《中華人民共和國道路交通安全法》中規(guī)定：酒后駕車是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于．某課題小組研究發(fā)現(xiàn)人體血液中的酒精含量（單位：）與飲酒后經(jīng)過的時間（單位：）近似滿足關(guān)系式其中為飲酒者的體重（單位：），為酒精攝入量（單位：）．根據(jù)上述關(guān)系式，已知某駕駛員體重，他快速飲用了含酒精的白酒，若要合法駕駛車輛，最少需在（

）（?。海〢．12小時后 B．24小時后 C．26小時后 D．28小時后2．（23-24高一下·安徽·開學考試）中國茶文化源遠流長，博大精深，茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.為了控制水溫，某研究小組聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規(guī)律：設(shè)物體的初始溫度是，經(jīng)過后的溫度是T，則，其中表示環(huán)境溫度，h為常數(shù).該研究小組經(jīng)過測量得到，剛泡好的綠茶水溫度是，放在的室溫中，以后茶水的溫度是，在上述條件下，大約需要再放置能達到最佳飲用口感.（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）3．（23-24高一下·上海閔行·期末）銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后將利息并入本金，這種計算利息的方法叫做復(fù)利．現(xiàn)在某企業(yè)進行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案：一次性向銀行貸款10萬元，技術(shù)改造后第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比上年增加30%的利潤；乙方案：每年向銀行貸款1萬元，技術(shù)改造后第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比前一年多獲利5000元．(1)設(shè)技術(shù)改造后，甲方案第n年的利潤為（萬元），乙方案第n年的利潤為（萬元），請寫出、的表達式；(2)假設(shè)兩種方案的貸款期限都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行貸款利息均以年息10%的復(fù)利計算，試問該企業(yè)采用哪種方案獲得的扣除本息后的凈獲利更多？（精確到0.1）（凈獲利=總利潤-本息和）（參考數(shù)據(jù)，第07講4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用課程標準學習目標①了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用。②在實際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律。通過本節(jié)課的學習，掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及其他函數(shù)模型；會從實際問題中抽象出函數(shù)模型，進而利用函數(shù)知識求解.高考對函數(shù)應(yīng)用的考查，常與二次函數(shù)、基本不等式等知識交匯．知識點一：常見函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型（，為常數(shù)）2、反比例函數(shù)模型（）3、二次函數(shù)模型（）4、指數(shù)函數(shù)模型（且，）5、對數(shù)函數(shù)模型（且，）6、冪函數(shù)模型（，）7、分段函數(shù)模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合8、對勾函數(shù)模型：題型01指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的增長差異【典例1】（23-24高一上·廣東深圳·期末）下列選項分別是四種生意預(yù)期的獲益y關(guān)于時間x的函數(shù)模型，從足夠長遠的角度看，使得公司獲益最大的函數(shù)模型是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的增長快慢差異判斷.【詳解】解：因為指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，其增長速度隨著時間的推移會越來越快，比冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)增長的速度快，所以從足夠長遠的角度看，使得公司獲益最大的函數(shù)模型是，故選：A【典例2】（多選）（23-24高一上·遼寧·階段練習）函數(shù)，，，在區(qū)間上（

）A．遞減速度越來越慢 B．遞減速度越來越慢C．遞減速度越來越慢 D．的遞減速度慢于遞減速度【答案】ABC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象可知在區(qū)間上，遞減速度越來越慢，故A正確；遞減速度越來越慢，故B正確；遞減速度越來越慢，故C正確；的遞減速度慢于遞減速度，故D錯誤.故選：ABC.【典例3】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）若，則使成立的的取值范圍是，使成立的的取值范圍是．【答案】【分析】畫出指對冪函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合法判斷不等關(guān)系下對應(yīng)x的范圍即可.【詳解】在同一平面直角坐標系中作出，，在上的圖象如下．由圖得，若，則，若，則或．故答案為：，【變式1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）當a>1時，有下列結(jié)論:①指數(shù)函數(shù)y=ax，當a越大時，其函數(shù)值的增長越快;②指數(shù)函數(shù)y=ax，當a越小時，其函數(shù)值的增長越快;③對數(shù)函數(shù)y=logax，當a越大時，其函數(shù)值的增長越快;④對數(shù)函數(shù)y=logax，當a越小時，其函數(shù)值的增長越快.其中正確的結(jié)論是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷①②的真假，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷③④的真假.【詳解】結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的圖象可知，指數(shù)函數(shù)，當越大時，其函數(shù)值的增長越快，對數(shù)函數(shù)，當越小時，其函數(shù)值的增長越快，（也可舉例：例如，，可判斷①對②錯）①④正確．故選：B【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，增長性的問題，屬于中檔題．【變式2】（多選）（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）（多選題）已知函數(shù)，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)和的圖象可能有兩個交點B．，當時，恒有C．當時，，D．當時，方程有解【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，零點存在性定理以及函數(shù)的增長速度逐一判斷即可.【詳解】對于選項,因為，，所以點為函數(shù)和圖象的交點，又因為，，且和單調(diào)遞增，所以和的圖象在區(qū)間有一個交點，當時，函數(shù)的增長速度比函數(shù)的增長速度要快，則它們的圖象不再有交點，故正確；

對于選項,和在區(qū)間上都是單調(diào)遞增，一次函數(shù)保持固定的增長速度，而對數(shù)函數(shù)增長的速度越來越慢，由于的增長慢于的增長，因此總會存在一個，當時，恒有，故錯誤；對于選項,當時，和關(guān)于對稱，在直線上方,在直線下方，所以不存在使，故錯誤；對于選項,時，，則和均過點，所以方程有解，故D正確.故選：AD.【變式3】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）當時，試探究三個函數(shù)的增長差異，用“＞”把它們的大小關(guān)系連接起來為．【答案】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)條件求出范圍，進而可求出結(jié)果.【詳解】令，易知三個函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞增，所以，當時，，，，故，故答案為：.題型02根據(jù)實際問題增長率選擇合適的模型【典例1】（23-24高一上·江蘇常州·期末）在一次數(shù)學實驗中，某同學運用圖形計算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：在四個函數(shù)模型（為待定系數(shù)）中，最能反映函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出散點圖，對照四個選項即可得出結(jié)果.【詳解】由題，作出散點圖如下，由散點圖可知，散點圖和對數(shù)函數(shù)圖象接近，可選擇反映函數(shù)關(guān)系，故選：C.【典例2】（23-24高一上·全國·單元測試）在一次數(shù)學實驗中，某同學運用計算器采集到如下一組數(shù)據(jù):x123y0.240.512.023.988.02在以下四個函數(shù)模型（a，b為待定系數(shù)）中，最能反映x，y函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題中表格數(shù)據(jù)畫出散點圖，由圖觀察散點圖符合指數(shù)型函數(shù)圖象.【詳解】由題中表格數(shù)據(jù)畫出散點圖，如圖所示，觀察圖象，類似于指數(shù)函數(shù)圖象，對于A，是一次函數(shù)，圖象是一條直線，所以A錯誤，對于B，是以y軸為對稱軸的二次函數(shù)，所以B錯誤，對于C，是對數(shù)型函數(shù)，由于表中的取到了負數(shù)，所以C錯誤，對于D，是指數(shù)型函數(shù)，所以D正確，故選：D

【典例3】（23-24高一下·福建·期中）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗表明，某種烏龍茶用100℃的水泡制，等到茶水溫度降至60℃時再飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．某實驗小組為探究在室溫下，剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的如下數(shù)據(jù)：時間/min01234水溫/℃100.0091.0082.9075.6169.05設(shè)茶水溫度從100℃開始，經(jīng)過后的溫度為，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①（，）；②（，，）；③（，，）．(1)從上述三種函數(shù)模型中選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并利用表格中的前三列數(shù)據(jù)，求出相應(yīng)的解析式；(2)根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的烏龍茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.01）.（參考數(shù)據(jù)：，．）【答案】(1)答案見解析(2)5.54min【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)的增減性，以及增減的快慢，即可判斷選擇的函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）的解析式，求解方程.【詳解】（1）選擇②（，，）作為函數(shù)模型．由表格中的數(shù)據(jù)可知，當自變量增大時，函數(shù)值減小，所以不應(yīng)該選擇對數(shù)增長模型③；當自變量增加量為1時，函數(shù)值的減少量有遞減趨勢，不是同一個常數(shù)，所以不應(yīng)該選擇一次函數(shù)模型①．故應(yīng)選擇②（，，）將表中前的數(shù)據(jù)代入，得，解得，所以函數(shù)模型的解析式為：；（2）由（1）中函數(shù)模型，有，即，所以，所以剛泡好的烏龍茶大約放置5.54min能達到最佳飲用口感．【變式1】（23-24高一上·河北保定·期末）有一組實驗數(shù)據(jù)及對應(yīng)散點圖如下所示，則下列能體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是（

）04916363791115A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)及散點圖中點的變化趨勢，逐項分析判斷即得.【詳解】觀察散點圖，圖中的那些點顯然不在一條直線上，模型不符合，A不是；若選擇作為與的函數(shù)模型，將代入，得，解得，則，顯然當時，；當時，；當時，，與表格中的實際值相同，因此適合作為與的函數(shù)模型，B是；模型在處無意義，模型不符合，C不是；散點圖中的點有單調(diào)遞增的趨勢，且增勢逐漸變緩，模型不符合，D不是.故選：B【變式2】（23-24高一上·浙江金華·階段練習）有一組實驗數(shù)據(jù)如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，作出散點圖，結(jié)合選項和函數(shù)的單調(diào)性，逐項判斷即可求解.【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，作出數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示，結(jié)合選項，函數(shù)的增長速度越來越緩慢，不符合題意；函數(shù)隨著的增大，不斷減小，不符合題意；函數(shù)的增長速度越來越快，符合題意；函數(shù)增長速度不變，不符合題意；所以最接近的一個函數(shù)是，故選：C【變式3】（23-24高一上·四川廣安·期末）科技創(chuàng)新成為全球經(jīng)濟格局關(guān)鍵變量，某公司為實現(xiàn)1600萬元的利潤目標，準備制定一個激勵研發(fā)人員的獎勵方案：當投資收益達到600萬元時，按投資收益進行獎勵，要求獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，獎金總數(shù)不低于20萬元，且獎金總數(shù)不超過投資收益的.(1)現(xiàn)有①；②；③三個獎勵函數(shù)模型.結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及已知條件.當時，判斷哪個函數(shù)模型符合公司要求？(2)根據(jù)（1）中符合公司要求的函數(shù)模型，要使獎金達到50萬元，公司的投資收益至少為多少萬元？【答案】(1)①不符合，②不符合，③符合，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)公司要求知函數(shù)為增函數(shù)，同時應(yīng)滿足且，一一驗證所給的函數(shù)模型即可；（2）由，解不等式即可.【詳解】（1）由題意，符合公司要求的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對任意恒有且.①對于函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，不符合要求；②對于函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合要求；③對于函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且當時，，因為而所以當時，恒成立，因此為符合公司要求的函數(shù)模型.（2）由得，所以,所以公司的投資收益至少為萬元.題型03利用二次函數(shù)模型解決實際問題【典例1】（23-24高一下·云南·階段練習）某商店銷售兩款商品，利潤（單位：元）分別為和，其中為銷量（單位：袋），若本周銷售兩款商品一共20袋，則能獲得的最大利潤為.【答案】170【分析】設(shè)該商店銷售商品袋，則商品袋，根據(jù)題意求得利潤的函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】設(shè)該商店銷售商品袋，則商品袋，所以可獲得的利潤，，當或10時，利潤最大，最大利潤為170元.故答案為：170.【典例2】（23-24高一上·云南曲靖·期中）生產(chǎn)某機器的總成本（萬元）與產(chǎn)量（臺）之間的函數(shù)關(guān)系式是，若每臺機器售價為30萬元，則該廠獲得最大利潤時生產(chǎn)的機器為臺.【答案】50【分析】根據(jù)題意，利潤為銷售額減去成本，建立關(guān)系式，配方出求最大值即可【詳解】設(shè)生產(chǎn)臺，獲得利潤（萬元），則，所以當時，獲得的利潤最大.故答案為：50【典例3】（23-24高一上·湖北恩施·期末）實行垃圾分類，關(guān)系生態(tài)環(huán)境，關(guān)系節(jié)約使用資源.某市新建了一座垃圾回收利用工廠，于2023年年初用98萬元購進一臺垃圾回收分類生產(chǎn)設(shè)備，并立即投入生產(chǎn)使用.該設(shè)備使用后，每年的總收入為50萬元.若該設(shè)備使用年，則其所需維修保養(yǎng)費用年來的總和為萬元（2023年為第一年），設(shè)該設(shè)備產(chǎn)生的盈利總額（純利潤）為萬元.(1)寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；求該機床從第幾年開始盈利（盈利總額為正值）.(2)使用若干年后，對設(shè)備的處理方案有兩種：①當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該設(shè)備；（年平均盈利額＝盈利總額使用年數(shù)）②當盈利總額達到最大值時，以15萬元價格處理該設(shè)備.試問用哪種方案處理較為合理？請說明你的理由.【答案】(1)（），第3年開始全年盈利(2)按方案②處理較合理，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得與之間的函數(shù)關(guān)系式，解一元二次不等式即可求解；（2）分別求出方案①②下該設(shè)備的獲利額最大值，比較大小即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意：（），由解得：，，所以，所以該機床從第3年開始全年盈利.（2）方案①：（當且僅當時取“＝”）,所以到2029年，年平均盈利達到最大值，該設(shè)備可獲利萬元.方案②：，所以當時，，故到2032年，盈利額達最大值，該設(shè)備可獲利萬元.所以按方案②可獲利更多，故按方案②處理較合理.【變式1】（23-24高一上·全國·期中）已知某種商品在第天的銷售價格為元，銷售量為件，則在這15天中，第天該商品日銷售額最多，為元.【答案】【分析】先根據(jù)題意求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最值.【詳解】設(shè)第天的日銷售額為元，則，，∴當時，取得最大值，最大值為.故答案為：13，833【變式2】（23-24高一上·山東臨沂·期末）某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計劃建一座八邊形的休閑場所．如圖，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為100平方米的十字形地域．計劃在正方形上建一座花壇，造價為每平方米元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪彩色水磨石地坪，造價為每平方米105元；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為每平方米40元．(1)設(shè)長為米，總造價為S元，求S關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若市面上花壇造價每平方米1000到3000元不等，該小區(qū)投入到該休閑場所的資金最多29500元，問花壇造價最多投入每平方米多少元?【答案】(1)；(2)2100.【分析】（1）利用幾何圖形的特征計算圖形面積即可；（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合基本不等式可知，解不等式即可.【詳解】（1）由題意可得，正方形的面積為，陰影部分面積為，所以，且，則，則；（2）由（1）可知，，當且僅當時，即時，等號成立，由于投入到該休閑場所的資金最多29500元，所以解得，當時，符合題意，所以花壇造價最多投入每平方米2100元．【變式3】（23-24高一上·上海奉賢·期末）要建造一面靠墻、且面積相同的兩間相鄰的長方形居室，如圖所示.已有材料可建成的圍墻總長度為30米，寬為米，居室總面積平方米.(1)若居室總面積不少于48平方米，求的取值范圍；(2)當寬為多少米時，才能使所建造的居室總面積最大？【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，得到長方形的長為米，且，從而得到，再根據(jù)條件建立不等關(guān)系，即可求出結(jié)果；（2）由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題知長方形的長為米，所以，由，得到，由，得到，即，解得，所以的取值范圍為.（2）由（1）知，又，所以當時，有最大值為平方米.題型04分段函數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（23-24高二下·上?！て谀┠彻敬蛩阍?023年度建設(shè)某型芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬元），已知當時，；當時，；當時，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價格售出．(1)已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數(shù)解析式．(2)請你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個計劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤最大，并預(yù)測最大利潤．【答案】(1)(2)產(chǎn)量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元【分析】（1）由分段代入計算即可得；（2）借助一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式計算每段的利潤最大值即可得.【詳解】（1）當時，，當時，，當時，，故；（2）當時，，當時，，對稱軸，，當時，由基本不等式知，當且僅當，即時等號成立，故，綜上，當2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元.【典例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為實施“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略，充分利用當?shù)刈匀毁Y源，大力發(fā)展特色水果產(chǎn)業(yè)，將該鎮(zhèn)打造成“水果小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下函數(shù)關(guān)系：，肥料成本投入為4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工費）為6x元，已知該水果的售價為10元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求，記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．(1)求的函數(shù)關(guān)系式；(2)當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？單株利潤最大值是多少元？【答案】(1)(2)當施用肥料為3千克時，該水果樹的單株利潤最大，單株利潤最大值是90元【分析】（1）由利潤，代入即可得；（2）利用二次函數(shù)以及基本不等式分別求出分段函數(shù)在上的最大值，比較即可得答案.【詳解】（1）；（2）當時，；當時，，當且僅當，即時等號成立．由得當時，．所以當施用肥料為3千克時，該水果樹的單株利潤最大，單株利潤最大值是90元．【典例3】（23-24高一上·云南昭通·期末）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，年固定成本為200萬元，可變成本萬元與年產(chǎn)量（件）的關(guān)系為每件產(chǎn)品的售價為90萬元，且工廠每年生產(chǎn)的產(chǎn)品都能全部售完.(1)將年盈利額（萬元）表示為年產(chǎn)量（件）的函數(shù)；(2)求年盈利額的最大值及相應(yīng)的年產(chǎn)量.【答案】(1)(2)當年產(chǎn)量為109件時該廠盈利額最大，最大為800萬元【分析】（1）分得兩種情況進行研究，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；（2）根據(jù)年盈利額的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當時，利用二次函數(shù)求最值；當時，利用基本不等式求最值，最后比較兩個最值，即可得到答案．【詳解】（1）∵當時，；又當時，，∴（2）①當時，，∴當時，L取得最大值，最大值為600；②當時，.當且僅當，即當時，L取得最大值，最大值為800.綜上，當年產(chǎn)量為109件時該廠盈利額最大，最大為800萬元.【變式1】（23-24高一上·山西呂梁·期末）2023年是共建“一帶一路”倡議提出10周年．2023年10月，習近平主席在第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇上宣布了中國支持高質(zhì)量共建“一帶一路”的八項行動，并將“促進綠色發(fā)展”作為行動之一，為“一帶一路”綠色發(fā)展明確了新方向．源自中國的綠色理念、綠色技術(shù)與清潔能源相結(jié)合，讓能源短缺不再是發(fā)展的瓶頸，點亮共建國家綠色低碳發(fā)展的夢想．某新能源公司為了生產(chǎn)某種新型環(huán)保產(chǎn)品，前期投入固定成本為1000萬元，后期需要投入成本（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：百臺）的函數(shù)關(guān)系式為經(jīng)調(diào)研市場，預(yù)測每100臺產(chǎn)品的售價為500萬元．依據(jù)市場行情，估計本年度生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完．(1)求年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式（利潤=銷售額-投入成本-固定成本）；(2)當年產(chǎn)量為多少時，年利潤最大？并求出最大年利潤．【答案】(1)(2)當年產(chǎn)量為6000臺時，年利潤最大，且最大年利潤為4880萬元．【分析】（1）由利潤=銷售額-投入成本-固定成本，列出年利潤關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式；（2）利用配方法和基本不等式分別求兩段函數(shù)的最大值，得最大值和取最大值時的值.【詳解】（1）當時，，當時，，所以；（2）當時，，當時，取得最大值，當時，，當且僅當，即時等號成立，因為，所以當時，取得最大值，綜上，當年產(chǎn)量為6000臺時，年利潤最大，且最大年利潤為4880萬元．【變式2】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）某加工廠要安裝一個可使用25年的太陽能供電設(shè)備.使用這種供電設(shè)備后，該加工廠每年額外消耗的電費C（單位：萬元）與太陽能電池板面積（單位：平方米）之間的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)）.已知太陽能電池板面積為40平方米時，每年額外消耗的電費為2.5萬元，安裝這種供電設(shè)備的工本費為（單位：萬元），記為該加工廠安裝這種供電設(shè)備的工本費與該加工廠25年額外消耗的電費之和.(1)求出和的解析式；(2)當為多少平方米時，取得最小值？最小值是多少萬元？【答案】(1)，(2)當為平方米時，取得最小值，最小值為萬元【分析】（1）由時，取得，得到的表達式，再由，求得的表達式.（2）由（1）中函數(shù)的解析式，分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式，分別求得的最小值，即可得到答案.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，當時，可得，當時，，可得，解得，所以，因為，所以.（2）解：由（1）知，當時，為單調(diào)遞減函數(shù)，所以當時，，當且僅當時，即時，等號成立，所以，綜上所述，，此時，所以當為平方米時，取得最小值，最小值為萬元.【變式3】（23-24高一上·江蘇常州·期中）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系；，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理?施肥等人工費）元.已知這種水果的市場售價為20元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為（單位：元）(1)求的解析式；(2)當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)當施用肥料為千克時，該水果單株最大利潤，最大利潤為元【分析】（1）根據(jù)題意，利用銷售額減去成本投入可得出利潤解析式；（2）利用分段函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式計算最值即可得解.【詳解】（1）依題意，當時，；當時，；所以；（2）當時，，此時由二次函數(shù)的性質(zhì)可知；當時，，當且僅當，即時，等號成立；綜上，當施用肥料為千克時，該水果單株最大利潤，最大利潤為元.題型05指數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（23-24高二下·浙江·期末）近年來純電動汽車越來越受消費者的青睞，新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風口，于1898年提出蓄電池的容量（單位：），放電時間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：，其中為常數(shù).為測算某蓄電池的常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間；當放電電流時，放電時間.若計算時取，，則該蓄電池的常數(shù)大約為（

）A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55【答案】C【分析】利用經(jīng)驗公式將數(shù)據(jù)代入構(gòu)造方程組，再由對數(shù)運算法則可解得常數(shù).【詳解】根據(jù)題意由可得，兩式相除可得，即可得，兩邊同時取對數(shù)可得，即可得；即.故選：C【典例2】（23-24高二下·內(nèi)蒙古興安盟·期中）內(nèi)蒙古某地引進了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物濃度N（單位：mg/L）與時長t（單位：h）的關(guān)系為（為最初污染物濃度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%還需要（

）A．3h B．4h C．5h D．6h【答案】B【分析】由已知有，可得，當時，解得，可求還需的時間.【詳解】由題意知，時，，可得．設(shè)，則，解得，因此，污染物消除至最初的51.2%還需要4h．故選：B.【典例3】（23-24高一下·安徽阜陽·期中）2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引發(fā)社會廣泛關(guān)注.為了貫徹落實《中共中央國務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》，某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)，假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．14次 B．15次 C．16次 D．17次【答案】C【分析】依題運用特殊值求得函數(shù)模型中t的值，然后運用函數(shù)模型得到關(guān)于n的不等式，通過指、對運算求得n的取值范圍，即可得解．【詳解】依題意，，，當時，，即，可得，于是，由，得，即，則，又，因此，所以若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要16次，故選：C.【變式1】（23-24高一下·湖南·期中）水是生命之源，我國是一個嚴重缺水的國家，保護水資源是每個公民的義務(wù)．在日常生活中淡水需過濾后才能作為飲用水供人們生活使用，假設(shè)某工廠在淡水的過濾過程中的各種有害物質(zhì)的殘留數(shù)量Y（單位：毫克/升）與過濾時間t（單位：小時）之間的關(guān)系滿足，其中為正常數(shù)，為原有害物質(zhì)數(shù)量．該工廠某次過濾淡水時，若前4個小時淡水中的有害物質(zhì)恰好被過濾掉90%，那么再繼續(xù)過濾4小時，淡水中有害物質(zhì)的殘留量約為原有害物質(zhì)的（

）A．5% B．3% C．2% D．1%【答案】D【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型，由，，求出，再求出時的值即可.【詳解】依題意，當時，，則，解得，即，因此，再過濾4小時有害物質(zhì)的殘留量，即當時，所以有害物質(zhì)的殘留量為原來的．故選：D【變式2】（2024·湖南益陽·三模）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款新車裸車價格，第一年汽車貶值20%，從第二年開始每年貶值10%．剛參加工作的小明打算買一輛約5年的二手車，價格不超過8萬元．根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是萬，則（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】根據(jù)題意，列出不等式，解之并取近似值，即得的值.【詳解】依題意，，解得，則，又，則.故選：C.【變式3】（2024·四川德陽·三模）如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進了社會經(jīng)濟發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系．(a，b．為常數(shù))，若該果蔬在7℃的保鮮時間為288小時，在21℃的保鮮時間為32小時，且該果蔬所需物流時間為4天，則物流過程中果蔬的儲藏溫度(假設(shè)物流過程中恒溫)最高不能超過（

）A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃【答案】A【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型建立方程組，再列出不等式即可求解.【詳解】依題意，，則，即，顯然，設(shè)物流過程中果蔬的儲藏溫度為t℃，于是，解得，因此，所以物流過程中果蔬的儲藏溫度最高不能超過14℃.故選：A題型06對數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（2024·湖南長沙·三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級最早是由查爾斯?里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為，其中表示某地地震的里氏震級，表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標準地震振幅.假設(shè)在一次地震中，某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標準地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6.3級 B．6.4級 C．7.4級 D．7.6級【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合對數(shù)的運算法則，即可求解.【詳解】由題意，某地地震波的最大振幅為，且這次地震的標準地震振幅為，可得.故選：B.【典例2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）青少年視力問題是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為和，記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為，則的值所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，建立方程，結(jié)合對數(shù)運算求解即得.【詳解】依題意，，兩式相減得，解得，所以.故選：D【典例3】（多選）（2024·吉林·模擬預(yù)測）盡管目前人類還無法準確預(yù)報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為.2024年3月25日，斐濟附近海域發(fā)生里氏5.1級地震，它所釋放的能量是同日我國新疆阿克蘇地區(qū)發(fā)生里氏3.1級地震的（

）A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍【答案】C【分析】設(shè)里氏5.1級和3.1級地震釋放出的能量分別為和，利用公式，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可求出的值，從而得到的值．【詳解】設(shè)里氏5.1級和3.1級地震釋放出的能量分別為和，由，于是，則，因此，所以它釋放的能量是里氏3.1級地震的1000倍.故選：C【變式1】（2024·青海海西·模擬預(yù)測）北京時間2020年11月24日4時30分，中國在文昌航天發(fā)射場用長征五號遙五運載火箭，成功將嫦娥五號月球探測器送入地月轉(zhuǎn)移軌道，發(fā)射取得圓滿成功．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度和燃料的質(zhì)量、火箭（除燃料外）的質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系是．按照這個規(guī)律，當m時，火箭的最大速度為；當m時，火箭的最大速度為．則（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用給定的函數(shù)關(guān)系式，分別求得，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，求得的值，即可求解.【詳解】由火箭的最大速度和燃料的質(zhì)量、火箭的質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系是，當時，有，所以；當時，有，所以，可得．故選：A．【變式2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）物理學家本·福特提出的定律：在進制的大量隨機數(shù)據(jù)中，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，應(yīng)用此定律可以檢測某些經(jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯誤．根據(jù)此定律，在十進制的大量隨機數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率大約是以9開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率的（

）倍（參考數(shù)據(jù)：A．5.5 B．6 C．6.5 D．7【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別求得，結(jié)合對數(shù)的運算法則，即可求解.【詳解】由題意，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，可得，所以.故選：C.【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）青少年視力問題是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5和4.9，記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到方程組，求出，根據(jù)得到.【詳解】依題意，，兩式相減可得，，故，而，故.故選：C．題型07冪函數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（2024·四川瀘州·模擬預(yù)測）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%【答案】B【分析】設(shè)年平均增長率為，依題意列方程求即可.【詳解】由題意，設(shè)年平均增長率為，則，所以，故年平均增長率為20%.故選：B【典例2】（23-24高一上·青海西寧·期末）為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現(xiàn)在加密密鑰為，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意中給出的解密密鑰為，利用其加密、解密原理，求出的值，解方程即可求解.【詳解】由題可知加密密鑰為，由已知可得，當時，，所以，解得，故，顯然令，即，解得，即．故選：A.【典例3】（23-24高一上·河南平頂山·期末）某企業(yè)為努力實現(xiàn)“碳中和”目標，計劃從明年開始，通過替換清潔能源減少碳排放量，每年減少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均為，并預(yù)計年后碳排放量恰好減少為今年碳排放量的一半.（1）求的值；（2）若某一年的碳排放量為今年碳排放量的，按照計劃至少再過多少年，碳排放量不超過今年碳排放量的？【答案】（1）；（2）年.【解析】（1）設(shè)今年碳排放量為，則由題意得，從而可求出的值；（2）設(shè)再過年碳排放量不超過今年碳排放量的，則，再把代入解關(guān)于的不等式即可得答案【詳解】解：設(shè)今年碳排放量為.（1）由題意得，所以，得.（2）設(shè)再過年碳排放量不超過今年碳排放量的，則，將代入得，即，得.故至少再過年，碳排放量不超過今年碳排放量的.【變式1】（2024·廣西·模擬預(yù)測）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】初始狀態(tài)設(shè)為，變化后為，根據(jù)，的關(guān)系代入后可求解．【詳解】設(shè)初始狀態(tài)為，則，，又，，即，，，，，．故選：D．【變式2】（23-24高二下·上海·階段練習）某企業(yè)欲實現(xiàn)在今后10年內(nèi)產(chǎn)值翻兩翻的目標，則該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率為(結(jié)果精確到0.001)【答案】/【分析】翻兩翻就是變成原來的4倍，再利用增長率公式即可得到方程，然后借助指數(shù)、對數(shù)運算及利用計算器輔助求解.【詳解】設(shè)該企業(yè)的年平均增長率為，則依題意得：，則，即，所以，即，故答案為：.【變式3】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關(guān)系為(為常數(shù))，其中x不超過5萬元.已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年投入廣告費用5萬元，預(yù)計今年藥品利潤為萬元.【答案】125【分析】利用代入法，結(jié)合指數(shù)冪的運算定義進行求解即可.【詳解】因為投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，所以，即當今年投入廣告費用5萬元，預(yù)計今年藥品利潤為，故答案為：題型08利用給定函數(shù)模型解決實際問題【典例1】（23-24高三上·甘肅定西·階段練習）某皮鞋廠從今年1月份開始投產(chǎn)，并且前4個月的產(chǎn)量分別如下表所示.月份1234產(chǎn)量（萬雙）1.021.101.161.18由于產(chǎn)品質(zhì)量好，款式新穎，前幾個月的產(chǎn)品銷售情況良好.為了推銷員在推銷產(chǎn)品時，接受訂單不至于過多或過少，需要估測以后幾個月的產(chǎn)量.廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程.廠里也暫時不準備增加設(shè)備和工人.如果用表示月份，用表示產(chǎn)量，試比較和哪一個更好一些？（函數(shù)模型，要求用第1，4月份的數(shù)據(jù)確定，；函數(shù)模型，要求用第1，2，3月份的數(shù)據(jù)確定，，，精確到0.01，，）【答案】更好些【分析】通過計算可知：采取模型可知有兩個數(shù)據(jù)有誤差，采取模型可知只有一個數(shù)據(jù)有誤差，由此即可得解.【詳解】（函數(shù)模擬）設(shè)，將1，4月份的數(shù)據(jù)代入，則，解得，所以.把和3代入，分別得到和1.14